Вероятно все математики и физики знают эту шумную историю, которая произошла на Всемирном конгрессе математиков в 1930 году.
Эта история вызвала шок у слабонервных математиков, и повергла в ужас всю современную науку. Я не буду здесь пересказывать эту историю, лишь очень коротко изложу ее суть.
(Из Википедии) Ещё в начале XX века Давид Гильберт провозгласил цель аксиоматизировать всю математику, и для завершения этой задачи оставалось доказать непротиворечивость и логическую полноту арифметики натуральных чисел.
7 сентября 1930 года в Кёнигсберге проходил научный конгресс по основаниям математики, и на этом конгрессе 24-летний Курт Гёдель впервые обнародовал две фундаментальные теоремы о неполноте, показавшие, что программа Гильберта не может быть реализована: при любом выборе аксиом арифметики существуют теоремы, которые невозможно ни доказать, ни опровергнуть простыми (финитными) средствами, предусмотренными Гильбертом, а финитное доказательство непротиворечивости арифметики невозможно.
В этой коротенькой цитате из Википедии сконцентрировано столько вопросов, что нужно вызывать бригаду "толмачей", чтобы на все эти вопросы ответить.
ЧТО ЖЕ ХОТЕЛ СДЕЛАТЬ ГИЛЬБЕРТ - И ЧТО ДОКАЗАЛ ГЁДЕЛЬ?
Удивительно, но я в своей жизни не встречал математиков, которые смогли бы мне своими словами рассказать, что Гёдель пытался нам доказать в своих теоремах.
Более того, я предполагаю, что и сам Гёдель не вполне это понимал, настолько запутано он все изложил.
Поэтому, давайте разбираться!
1.0. Что такое "аксиоматическая система"?
Вероятно многие читатели думают, что ответ на этот вопрос достаточно простой. НО ЭТО НЕ ТАК!
Например, Гильберт на этот вопрос ответить так и не смог.
Не смог на этот вопрос найти ответ и Гёдель.
И вообще, я сомневаюсь, что на этот вопрос сможет ответить хоть кто-нибудь из современных математиков и физиков.
Например, является ли всем известная система аксиом геометрии Евклида аксиоматической системой?
- Как Вы думаете?
Вероятно ВСЕ ВЫ думаете, что ЯВЛЯЕТСЯ, ведь так написано во всех учебниках. Так написано на всех заборах, и во всех подворотнях.
Но здесь Вы ошибаетесь. Ошибался здесь и Гильберт, и Гёдель, и все остальные математики и физики. Продолжают Здесь ошибаться и сейчас.
А является ли полной аксиоматической системой арифметика натуральных чисел, которую так мечтал доказать Гильберт, но так и не смог это сделать?
- НЕТ, НЕ ЯВЛЯЕТСЯ!
А что же тогда является аксиоматической системой?
Я думаю, в такой ситуации бесполезно пытаться что-либо определить и доказать.
В такой ситуации нужно просто все внимательно посмотреть, пощупать, и на интуитивном уровне сделать для себя некоторые правильные интуитивные выводы.
Именно это мы сейчас и попробуем сделать.
2.0. Как сделать геометрию Евклида аксиоматической системой?
Я не буду ничего выдумывать сам, а рассмотрю то, что известно всем.
Рассмотрим общеизвестную систему постулатов геометрии Евклида.
Даже беглого взгляда на эту систему достаточно, чтобы сказать, что эта система не может быть аксиоматической системой.
Почему?
По той простой причине, что в этой системе присутствует окружность, которая не постулируется, а строится. Окружность - это не постулат, а конструктивный геометрический элемент. Окружность - это множество точек, которые находятся на одинаковом расстоянии от заданной точки.
То есть, в заданной системе постулатов присутствует не одна, а как минимум две аксиоматические системы, (а может быть и больше). И чтобы рассмотреть заданную систему как аксиоматическую, мы должны выделить из этой системы все аксиоматические системы и рассмотреть их отдельно друг от друга.
Задача эта довольно сложная, поскольку в результате такого рассмотрения мы получим и геометрию Птолемея, и геометрии Римана и еще много разных проблем. К теоремам Гёделя все это отношения не имеет.
3.0. Аксиоматическая система натуральных чисел
Натуральные числа - это идеальная среда для построения аксиоматической системы.
Множество N = 1,2,3, ... , n, ...
Идеальная эта среда по той простой причине, что множество натуральных чисел однородно по своей структуре, и не нужно решать вопросы однородности множества и совместимости его элементов.
Но сами по себе натуральные числа никому не нужны, и обязательно наступит момент времени, когда с числами потребуется выполнить некоторые действия.
Что мы можем сделать с натуральными числами?
Натуральные числа можно складывать!
Для любых двух натуральных чисел a,b определена операция сложения w(+), результат которой есть число натуральное!
В результате мы получили простейшую непротиворечивую аксиоматическую систему, которая в формализации Гёделя имеет вид S = (N,w(+)).
Это понятно ВСЕМ!
Теперь предположим, что мы захотели выполнить на множестве натуральных чисел всем известную операцию вычитания.
ЗДЕСЬ СРАЗУ ВОЗНИКАЮТ ПРОБЛЕМЫ!
Начну с того, что результат операции вычитания (отнимания) мы можем получить лишь в том случае, когда уменьшаемое строго больше вычитаемого. А если они равны, или уменьшаемое меньше вычитаемого, то результат операции вычитания не определен.
Возникает вопрос: Что нужно сделать, чтобы определить операцию вычитания на множестве натуральных чисел?
Ответ на этот вопрос не такой простой, как это может показаться на первый взгляд.
Начать надо с того, что необходимо определить ЛОГИЧЕСКОЕ отрицание множества натуральных чисел!
Как получить логическое отрицание множества натуральных чисел?
Большинство читателей думают, что для этого достаточно написать знак "минус" перед каждым натуральным числом, и мы получим множество отрицательных целых чисел, которое и будет логическим отрицанием множества натуральных чисел.
Например: 1->-1, 2->-2, 3->-3, 4->-4, ... , n->-n, ...
НО ЭТО НЕ ТАК!!! ЭТО ГРУБАЯ ОШИБКА!!!
Почему это грубая ошибка?
Множество натуральных чисел N является определяемым поэлементно множеством. Каждый элемент множества натуральных чисел является результатом поэлементного счета предметов.
Множество отрицательных чисел является ЛОГИЧЕСКИМ ОТРИЦАНИЕМ (!!!) МНОЖЕСТВА натуральных чисел, а не каждого натурального числа в отдельности. И логическим отрицанием оно является, в том числе, и по действию ОПРЕДЕЛЕНИЯ. Следовательно, отрицательные числа мы не можем определять поэлементно к множеству натуральных чисел. Поэтому любое отрицательное число определяется множественным образом. Например, число -2 мы можем определить лишь как множество результатов действий: (3-5 = -2, 7-9 = -2, 9-11 =-2 ...)
В этом случае мы можем записать результат действия вычитания для любых натуральных чисел, кроме случая, когда натуральные числа РАВНЫЕ (???!!!). Например, как, записать результат 2-2=?.
Результат этой операции записывают как особое число НОЛЬ!
Тогда число -2 можно записать в виде -2 = 0-2.
Но в правой части равенства у нас находятся натуральные числа, и поэтому ноль должно быть числом натуральным.
В силу этой неопределенности НОЛЬ является ОСОБЫМ ЧИСЛОМ, которое не относится ни к натуральным ни к целым отрицательным числам. НОЛЬ - это даже не число, а ЛОГИЧЕСКИЙ ОБЪЕКТ.
4.0. Аксиоматическая система целых чисел
В результате мы получили три самостоятельных множества
1. МНОЖЕСТВО НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ (N)
2. ЛОГИЧЕСКИЙ ОБЪЕКТ "НОЛЬ"
3. ЛОГИЧЕСКОЕ ОТРИЦАНИЕ МНОЖЕСТВА НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ ("не N")
Здесь многие читатели скажут, что мы получили множество ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ,
НЕТ! ЭТО ОПЯТЬ НЕПРАВИЛЬНО!!!
Мы еще не определили никаких действий на этих множествах.
Нам нужно распространить действие СЛОЖЕНИЯ на ЦЕЛЫЕ ОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА И ЧИСЛО НОЛЬ.
Поэтому действие ВЫЧИТАНИЯ мы определим как СЛОЖЕНИЕ, и запишем в виде
n - c = n + (-c)
здесь n - натуральное число, а с - отрицательное целое число или число ноль.
То есть, действие ВЫЧИТАНИЯ является частным случаем действия СЛОЖЕНИЕ, и определяется (!!!) это действие лишь на множестве НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ, а на множество целых отрицательных чисел и число НОЛЬ это действие лишь экспортируется.
В результате мы получили множество ЦЕЛЫХ чисел (С), которое можно записать как ЛОГИЧЕСКУЮ совокупность МНОЖЕСТВ и ДЕЙСТВИЙ
С:(N,(w+,w-),"0","not N")
В результате мы получили Гёделевскую "непротиворечивую" "неполную" систему целых чисел.
--------------------------------------------------------
Если читателям не нравится мое изложение материала, то я могу предложить читателям тоже самое в изложении Википедии. Сравните, и попытайтесь найти разницу.
Вероятно здесь у читателей возникло много вопросов.
Почему аксиоматическая система С "непротиворечива"?
По той простой причине, что выполняя любые действия сложения и вычитания (w+,w-) мы останемся в рамках множества С, и не выйдем за границы этого множества.
Почему аксиоматическая система С "неполна"?
По той простой причине, что на множестве "not N" не определено никаких действий (ни арифметических, ни любых других). Но мы и не можем на этом множестве определять какие-либо действия, поскольку все действия мы определяем на множестве N. И если мы попытаемся определить на множестве "not N" какие-либо действия, то множество "not N" тут же перестанет быть логическим отрицанием множества N по свойству "определяемые действия", и система утратит свойство "непротиворечивости".
В результате мы получили элементарный вывод теоремы Гёделя "о неполноте" на примере множества целых чисел.
Очевидным является и тот факт, что такой же результат мы получим и для любой другой аксиоматической системы.
В результате мы видим, что вывод теоремы Гёделя является ЭЛЕМЕНТАРНО ПРОСТЫМ.
Теперь рассмотрим гораздо более сложный и намного более интересный случай РАЦИОНАЛЬНЫХ чисел.
5.0. Аксиоматическая система рациональных чисел
Теперь представим себе, что нам захотелось на множестве целых чисел определить еще какое нибудь действие. Мы уже выяснили, что определять это действие мы должны на множестве натуральных чисел, и это действие не должно нарушать свойство "непротиворечивости" аксиоматической системы натуральных чисел.
Например, пусть это будет действие умножения на натуральное число - w(x).
Читатели могут легко убедиться сами, что свойство "непротиворечивости" системы при этом не нарушается. А свойства "полноты" у системы натуральных чисел никогда не было.
Теперь, чтобы экспортировать действие умножения на множество "not N", нам необходимо на множестве натуральных чисел определить логическое отрицание действия "умножение". Логическим отрицанием действия "умножение" является действие деления на натуральное число - w(/).
a/b, где а и b - натуральные числа, b не равно 0 ("Нулю").
Но конечная запись числа в виде дроби недопустима, поскольку в записи числа не должно быть математических действий.
Поэтому результат деления мы обычно записываем в виде десятичного (двоичного, восьмеричного , ...) числа, которое называется РАЦИОНАЛЬНЫМ числом r.
Таким образом, получаем результат в виде
r = a/b, где а и b - натуральные числа, b не равно 0 ("Нулю").
Теперь нам осталось распространить этот результат на отрицательные целые числа, и число 0.
Рациональным называется десятичное (двоичное, восьмеричное, ...) число, которое можно записать в виде некоторого результата действий r = с/b, где с целое, b - натуральное, и b не равно 0 ("Нулю").
На первый взгляд может показаться, что у нас все замечательно получилось.
Но при внимательном рассмотрении полученного результата возникают серьезные логические проблемы.
6.0. Проблема дуальности единицы рациональных чисел.
Разделим единицу(1) на 3(три), и результат деления умножим на три(3).
Получим:
1,0000(0)/3 = 0,3333(3)
0,3333(3) * 3 = 0.9999(9)
Здесь мы обнаруживаем проблемы. Равен ли результат этих прямого и обратного действий 0.9999(9) первоначально заданному числу 1,0000(0).
Сказать, что это разные числа язык не поворачивается, поскольку за этим сразу следует невозможность выполнения деления.
Поэтому в математике постулируют их АБСОЛЮТНУЮ ОДИНАКОВОСТЬ!!!
То есть, в любой записи мы имеем полное право заменить 1,0000(0) на 0,9999(9), и сказать, что результаты будут тождественны.
Возьмем произвольное число. Например 2/3 = 0,6666(6), и умножим его на ДУАЛЬНУЮ ЕДИНИЦУ!
0,6666(6) * 1,0000(0) = 0,6666(6);
0,6666(6) * 0,9999(9) = ??????????
0,6666 * 0,9999 = 0,6665 3334;
0,66666 * 0,99999 = 0,66665 33334;
0,666666*0,999999 = 0,666665 333334;
.....................................................................
= 0,666666(6)5 333333(3)4 – (!!!???) – ЧТО ЭТО ЗА ЧИСЛО???
Что это за загадочное число, которое, к тому же, в точности должно быть равно 0,6666(6) = 0,666666(6)5 333333(3)4. – Как такое может быть???
Поскольку 1,0000(0) тождественна 0.9999(9), то и результаты наших действий тоже должны быть тождественны. То есть,
0,6666(6) = 0,666666(6)5 333333(3)4 - тождественные числа
Следовательно, любое рациональное число может быть представлено не только как периодическая десятичная дробь, но и как двухпериодическая дробь.
В результате мы приходим к выводу, что никакое рациональное число не допускает однозначное представление, и любое рациональное число имеет, как минимум, ДВА РАЗНЫХ ДЕСЯТИЧНЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ!
А этот результат, в свою очередь,приводит к тому, что никакое утверждение с числом действий больше или равным двум, не допускает однозначный результат определения.
То есть, аксиоматическую систему с числом определяемых действий больше или равным двум, невозможно построить с однозначным результатом. Любая такая система как минимум дуальна, и состоит из двух разных числовых систем с разными свойствами.
Здесь можно вспомнить геометрию Евклида, аксиоматика которой принадлежит разным геометрическим системам.
Но этот результат уже выходит за рамки теорем Гёделя.
7.0. Аксиоматическая система Моисея
В заключение своего рассказа я хочу рассказать читателям о еще одной, чрезвычайно интересной аксиоматической системе - СИСТЕМЕ МОИСЕЯ.
Изучив разные аксиоматические системы, становится чрезвычайно интересным ответ на вопрос:
А МОЖНО ЛИ ПОСТРОИТЬ ПОЛНУЮ АКСИОМАТИЧЕСКУЮ СИСТЕМУ?
Как я уже сказал ранее, такая система будет заведомо противоречивой.
Вероятно, читатели здесь скажут: - Ну и бог с ней!
Зато она будет полной.
------------------------------------------------
Попытка построения такой полной системы уже была. Это система ВЕТХОЗАВЕТНЫХ ЗАПОВЕДЕЙ МОИСЕЯ
В этой системе, как мы видим, содержатся как положительные, так и отрицательные утверждения.
Насколько она хороша - СУДИТЕ САМИ!
НО ЭТО УЖЕ ДРУГАЯ ТЕМА!