Давайте начнем с того, что вспомним, что еще в начальных классах мы начали решать задачи с помощью уравнений. Мы решали вот такие уравнения
и вот такие научились решать
и даже вот такие
А что если в задаче получается вот такое уравнение, которое называется квадратным?
Видите здесь "х" в квадрате? Такие уравнения мы пока еще не умеем решать.
Поможет решить нам такое уравнение дискриминант – "D". В переводе с латинского означает «различающий». Находится он по формуле:
Что это за "b", "a" и "c"?
Чтобы в этом разобраться, вернемся к нашему квадратному уравнению. Более того, перепишем его в общем виде:
И вот теперь стало понятно, что "а", "b" и "с" — это некоторые числа, причем, обязательно a≠0, а "х" — это переменная, которая называется корнем уравнения.
Наше уравнение может иметь разное количество корней:
Корень уравнения — это те значения, которые может принимать переменная "х".
Более подробно про количество корней и почему это так, мы поговорим в конце.
Находится корень уравнения по формуле:
Читается это так: "x" первое-второе равно черта дроби в числителе минус "b" плюс-минус корень из дискриминанта, в знаменателе 2"а".
Обратите внимание, тут нам как раз и нужен дискриминант. Он присутствует в этой формуле в числителе под корнем.
Вот эти две формулы, выделенные красным, нам и нужны для решения квадратного уравнения.
Давайте разберем пример
Решим это уравнение.
Для этого выпишем коэффициенты, которые у нас есть, те самые "a", "b" и "c.
Перед x в квадрате ничего нет, значит а=1, так как умножение на 1 можно не писать; "b" равно минус 26, и "c" равно 25.
Найдем дискриминант.
Вы видите, что мы подставили значение "а", "b" и "c", получили результат 576, это больше 0. То есть дискриминант больше 0, значит, уравнение имеет 2 корня.
Подставим значения в формулу корней и найдем их.
Теперь можно записать ответ уравнения.
Можно выучить эти формулы и решать такие уравнения, просто применяя их. Однако, давайте разберёмся, откуда же эти формулы получили, как их вывели. Поможет нам в этом формула квадрата суммы.
Перепишем её с другими буквами, чтобы не путать с коэффициентами квадратного уравнения
Поменяем местами правую и левую часть, просто для удобства.
Прежде чем мы приступим к преобразованию, давайте посмотрим на эту формулу. Левая часть у нее довольно сложная, и что-либо с ней сделать, кроме как применить формулу сокращенного умножения, довольно сложно. А вот правая часть значительно проще. Представим, что вот это выражение в скобках, которое в квадрате, будет равно нулю. Такое уравнение не составит труда решить. Мы очень легко найдем его значение.
В этом случае "m" будет равно минус "p". Даже если правая часть будет равна не нулю, а, предположим, какому-то числу, все равно и даже в этом случае мы сможем решить подобного вида уравнения.
Вот именно для того, чтобы нам было легко решить уравнение, мы сейчас и займемся преобразованиями. Вернёмся к квадратному уравнению, записанному в общем виде и будем преобразовывать его левую часть.
Объединим в скобки то, что содержит "х". Вынесем за скобки коэффициент "а", для того чтобы перед "х" квадрат была единица.
Выделенная на фото красным формула – это наша подсказка. Нам надо преобразовать квадратное уравнение так, чтобы получилась левая часть этой формулы. Тогда мы перепишем наше квадратное уравнение согласно этому выделенному равенству и легко найдём корни, как в случае с (m+p) в квадрате.
Обратите внимание, в нашей формуле подсказки должно идти "2mp". Здесь "m" – выполняет роль "x". Ещё у нас есть "p" – но мы пока не знаем чему оно равно. Чуть позже мы это увидим. Спойлер ))) – это будет буквенно-числовое выражение.
Вернёмся к выражению (b/a умноженное на х), оно должно превратиться в "2mp". Как минимум его надо удвоить. Но нельзя же это сделать просто так, тогда не будет равенства. Чтобы оно сохранилось, надо одновременно числитель и знаменатель умножить на "2". Иными словами и умножить, и разделить на "2".
И вот теперь мы видим чему равно "p".
p=b/2а.
Перепишем теперь это выражение и прибавим p в квадрате и одновременно вычтем это же выражение, чтобы наше тождество оставалось верным.
Мы получили в скобках такое сложное выражение. Делали мы это, чтобы получить полный квадрат в скобках. Но у нас есть лишнее выражение: минус "b" в квадрате делённой на произведение 4 на "а" в квадрате. Уберём его за скобку, для этого нам надо будет его умножить на "а", что стоит перед скобками. То есть в знаменателе у нас "а квадрат" превратится в просто "а" – сократится с тем "а", на которое будем умножать.
Теперь выражение, которое у нас стоит в скобках, мы преобразуем по нашей формуле подсказки, которая у нас выделена красным цветом.
Объединим выражения, которые у нас стоят за скобками, в одну дробь.
Почему перед "4ac" минус?
Перед дробью у нас стоит знак минус. Минус перед дробью и минус перед "4ас" даст плюс.
Откуда "4а" взялось перед "с"?
Мы приводили к общему знаменателю, то есть умножили на "4а" и разделили на "4а", чтобы осталось равносильное преобразование.
С чего начались наши преобразования? Мы взяли левую часть квадратного уравнения и стали её преобразовывать. Вот теперь и подставим полученное выражение в левую часть уравнения
Перенесем дробь из левой части уравнения в правую.
Разделим обе части нашего уравнения на "a". У нас есть условие, что a≠0, поэтому можем это сделать. И получим следующее равенство
Извлечем квадратный корень, чтобы у нас в левой части уравнения осталось выражение «без корня»
Вынесем значение "4а²" из-под знака корня И у нас в знаменателе не будет больше корней, и останется "2а".
Из левой части уравнения в правую перенесем дробь с противоположным знаком.
Запишем теперь получившееся выражение в правой части уравнения под общим знаменателем "2а". И в итоге мы получим дробь, у которой в знаменателе стоит "2а", а в числителе выражения минус "b" плюс минус корень из "b" квадрат минус "4ac".
Обратите внимание, что подкоренное выражение это и есть наш дискриминант.
Следует отметить, что не просто так мы его выделили в отдельную формулу. И не просто так мы сначала находим дискриминант, и только потом начинаем искать корни уравнения. Именно дискриминант позволяет нам понять, есть ли у уравнения корни в принципе и сколько их. Это правило отражено на фото в правой части.
Если дискриминант больше нуля, то квадратное уравнение имеет два корня. Это очевидно, так как у нас после минус b стоит плюс минус корень из дискриминанта. Очевидно, что первый корень будет, когда мы прибавим корень из дискриминанта, а второй, когда вычтем. Это первая теорема о корнях квадратного уравнения.
Следующая теорема гласит, что если дискриминант равен нулю, то уравнение имеет один корень. Подкоренное выражение равно нулю, остается только минус b, деленное на 2а. Тот самый единственный корень.
Следующая теорема гласит, что если дискриминант меньше нуля, то квадратное уравнение корней не имеет.
Посмотрим на правую часть этого равенства. В числителе дроби у нас стоит дискриминант, который, как мы утверждаем, меньше нуля.
Соответственно, вся правая часть нашего равенства станет меньше нуля. А теперь посмотрим на левую часть равенства. У нас выражение в квадрате. То есть при любом значении х это выражение будет либо больше 0, либо равно 0, но ни при каких значениях х оно не будет меньше нуля. Соответственно, наше равенство не может выполняться. А значит при D<0 – корней уравнение не имеет.
Это всё про решение квадратных уравнений с помощью дискриминанта.