1 (4 задание)
Между населёнными пунктами A, B, C, D, E построены дороги, протяжённость которых (в километрах) приведена в таблице.
Определите длину кратчайшего пути между пунктами A и D. Передвигаться можно только по дорогам, протяжённость которых указана в таблице. Каждый пункт можно посетить только один раз.
Решение:
1 способ решения
Поставим пять точек A, B, C, D, E и соединим их согласно условию.
Перечислим все дороги из пункта A в пункт D и найдём их длины:
Сначала найдём все дороги, которые идут через пункт В:
ABCD= 2+3+5=10
ABCED=2+3+2+3=10
Найдём все дороги, которые идут через пункт С:
ACD=6+5=11
ACED=6+2+3=11
ACB - не имеет смысла, так как вернёмся в пункт А.
Далее найдём все дороги, которые идут через пункт Е:
AED=8+3=11
AECD=8+2+5=15
AECB- также не имеет смысла, так как вернёмся в пункт А.
Видим, что кратчайший путь равен 10 км
Ответ: 10
2 способ решения
Рисуем схему в виде дерева дорог:
1 шаг
Ставим точку А и точки B, C, E. Проводим линии и ставим длину этих дорог, указанную в таблице.
2 шаг
Смотрим, какие дороги идут через пункты В, С, Е:
Так как нам нужно найти кратчайший путь между пунктами A и D, то дороги, заканчивающие пунктом D, дальше не продолжаем.
3 шаг
Смотрим, какие дороги идут из пунктов С, В, Е, С
Видим, что из пункта В есть только две дороги: ВА и ВС, эти дороги идут в пункт А, то есть назад, поэтому дальше эти дороги рассматривать не будем.
4шаг
Осталось рассмотреть пункт Е
5 шаг
Найдём расстояние между пунктами А и D и выберем кратчайший путь:
ABCD=10
ABCED=10
ACD=11
ACED=11
AECD=15
AED=11
Значит, длина кратчайшего пути между пунктами A и D равна 10.
Примечание:
1. В задании могли задать вопрос: СКОЛЬКО СУЩЕСТВУЕТ ДОРОГ ИЗ ПУНКТА А В ПУНКТ D.
Что бы вы ответили?
Правильно, 6 дорог.
Ответ: 6
2. Или, СКОЛЬКО СУЩЕСТВУЕТ ДОРОГ ИЗ ПУНКТА А В ПУНКТ D ЧЕРЕЗ ПУНКТ С.
Ответ: 5
Дорогу AED мы уже не считали бы.
3. Или, СКОЛЬКО СУЩЕСТВУЕТ ДОРОГ ИЗ ПУНКТА А В ПУНКТ D, НЕ ПРОХОДЯЩИХ ЧЕРЕЗ ПУНКТ С.
Ответ: 1
И это дорога AED.
4. Также, необходимо внимательно читать условие задачи и понимать, что спрашивается в задании:
длину кратчайшего пути между пунктами A и D;
каждый пункт можно посетить только один раз;
длину кратчайшего пути между пунктами A и D, проходящего через пункт С;
длину кратчайшего пути между пунктами A и D, не проходящего через пункт С;
и т.д.
2 (4 задание)
Между населёнными пунктами A, B, C, D, E построены дороги, протяжённость которых (в километрах) приведена в таблице
Определите длину кратчайшего пути между пунктами A и D, проходящего через пункт С. Передвигаться можно только по дорогам, протяжённость которых указана в таблице. Каждый пункт можно посетить только один раз.
Решение:
1 способ. (рисунок)
Поставим пять точек A, B, C, D, E и соединим их согласно условию
Вычеркнем дорогу, которая не проходит через пункт С.
Перечислим все дороги из пункта A в пункт D через пункт С и найдём их длины:
Сначала найдём все дороги, которые идут через пункт В:
ABCD= 2+3+5=10
ABCED=2+3+2+3=10
Найдём все дороги, которые идут через пункт С:
ACD=6+5=11
ACED=6+2+3=11
ACB - не имеет смысла, так как вернёмся в пункт А.
Далее найдём все дороги, которые идут через пункт Е:
AECD=8+2+5=15
AECB- также не имеет смысла, так как вернёмся в пункт А.
Видим, что кратчайший путь равен 10 км
Ответ: 10
2 способ решения (с помощью дерева дорог)
Решать будем аналогично 1 типу задач, только в конце решения необходимо вычеркнуть те дороги, которые не проходят через пункт С
ABCD=10
ABCED=10
ACD=11
ACED=11
AECD=15
Дорогу AED не считаем, так как она не проходит через пункт С.
Ответ: 10
3 (4 задание)
Между населёнными пунктами A, B, C, D, E построены дороги, протяжённость которых (в километрах) приведена в таблице
Определите длину кратчайшего пути между пунктами A и D, не проходящего через пункт С. Передвигаться можно только по дорогам, протяжённость которых указана в таблице. Каждый пункт можно посетить только один раз.
Решение:
Решать будем аналогично 1 типу задач, только в конце решения необходимо вычеркнуть те дороги, которые проходят через пункт С:
1 способ ( с помощью рисунка):
AED=11
Ответ: 11
2 способ (с помощью дерева дорог):
AED=11
Ответ: 11
Выполним следующее задание:
4 (4 задание)
Между населёнными пунктами A, B, C, D, E, F построены дороги, протяжённость которых (в километрах) приведена в таблице
Определите длину кратчайшего пути между пунктами A и F, проходящего через пункт C. Передвигаться можно только по дорогам, указанным
в таблице. Каждый пункт можно посетить только один раз
Решение:
Решим задание в виде рисунка (по кругу поставим точки и соединим их согласно таблице и километражу между пунктами):
Вычеркнем те дороги, которые не идут через пункт С:
Запишем все дороги и найдём их длины:
ABCDEF= 3+2+1+1+2=9
ABCEF= 3+2+3+2=10
Ответ: 9
5 (4 задание)
Между населёнными пунктами A, B, C, D, E построены дороги, протяжённость которых (в километрах) приведена в таблице
Определите длину кратчайшего пути между пунктами B и D. Передвигаться можно только по дорогам, протяжённость которых указана в таблице. Каждый пункт можно посетить только один раз.
Решение:
Решим задание в виде рисунка (по кругу поставим точки и соединим их согласно таблице и километражу между пунктами):
Перечислим все дороги, которые идут из пункта B в пункт D и найдём их длины:
Считаем дороги последовательно.
Через пункт А:
BAED= 2+1+4=8
BAECD=2+1+1+2=6
Через пункт Е:
BED =4+4=8
BECD =4+1+2=7
Через пункт С:
BCD= 5+2 = 7
BCED= 5+1+4=10
Кратчайший путь равен 6
Ответ: 6
6 (4 задание)
Между населёнными пунктами A, B, C, D, E построены дороги, протяжённость которых приведена в таблице
Определите длину кратчайшего пути между пунктами A и B, проходящего через пункт E (при условии, что передвигаться можно только по указанным
в таблице дорогам). Каждый пункт можно посетить только один раз.
Решение:
Решим задание в виде рисунка (по кругу поставим точки и соединим их согласно таблице и километражу между пунктами)
Вычеркнем те дороги, которые не идут через пункт Е, остальные дороги из пункта А в пункт В через пункт С последовательно посчитаем и найдём их длины:
Через пункт С:
ACEDB= 1+2+1+1=5
Через пункт Е:
AEDB=1+1+1=3
AECDB=1+2+2+1=6
Кратчайший путь между пунктами A и B, проходящего через пункт E равен 3
Ответ: 3
Примечание:
На выполнение этого задания отводится примерно 3 минуты, поэтому первый способ, с помощью рисунка, более удачен.
На решение этого задания вторым способом, то есть с помощью дерева дорог, необходимо больше времени и более высокую концентрацию внимания.
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ИНФОРМАЦИЯ
Система оценивания выполнения отдельных заданий и экзаменационной работы в целом.
Правильное выполнение каждого из заданий 1–12 оценивается 1 баллом. Задание считается выполненным верно, если ответ записан в той форме, которая указана в инструкции по выполнению задания, и полностью совпадает с эталоном ответа. Максимальное количество первичных баллов, которое можно получить за выполнение заданий с кратким ответом, равно 12. Выполнение заданий 13, 15 и 16 с развёрнутым ответом оценивается от 0 до 2 баллов; выполнение задания 14 – от 0 до 3 баллов. Ответы на эти задания проверяются и оцениваются экспертами предметной комиссии (устанавливается соответствие ответов определённому перечню критериев). Максимальное количество баллов, которое можно получить за выполнение заданий с развёрнутым ответом, равно 9. Максимальный первичный балл за выполнение экзаменационной работы – 21.
Требования к предметным результатам освоения основной образовательной программы (5 задание):
Анализировать простейшие модели объектов
Уровень сложности - базовый.
Примерное время выполнения задания (мин.) - 3
Максимальный балл за задание - 1
Всего заданий – 16;
Из них по типу заданий: с кратким ответом – 12, с развёрнутым ответом – 4. По уровню сложности: Базовый – 10; Повышенный – 3; Высокий – 3.
Максимальный первичный балл за работу – 21. Общее время выполнения работы – 2 часа 30 минут (150 мин.).