3 подписчика

Фракталы метода секущих - есть интересные сюжеты.

13 января13 янв

1 мин

Метод секущих (не путать с методом хорд - статья в Википедии общая для двух методов): - это ещё один численный метод решения уравнений, который я добавил в свою программу. Как видно, многое зависит от выбора начальной точки, поэтому я добавил в программу несколько вариантов метода. Попробуем исследовать фракталы метода на "стандартном" уравнении Z**5 - 1 = 0 с теми же стандартными параметрами как в методах Ньютона и Галлея: Как ни странно, эти два варианта дают одинаковые изображения, и корни найдены почти везде, поэтому бассейны как бы "растеклись". С другой стороны, точка z0=0+0*i ничем не выделяется в формуле именно этого метода среди других точек, так что одинаковый результат ожидаем. Если уменьшить максимальное число итераций, то проявляется более привычная картина: Поскольку пять корней данного уравнения и по-факту расположены симметрично относительно оси X, видно как изображение также строго симметрично относительно оси X. Напоминаю, что каждому корню соответствует свой цвет.

Оглавление

Метод секущих:- фиксированная ненулевая z0
Метод секущих 0: z0=0+0*i
Метод секущих X: z0=z.re-z.im*i (зеркальное отображение точки, где надо найти корень, относительно оси X)

Метод секущих (не путать с методом хорд - статья в Википедии общая для двух методов):

ru.wikipedia.org

Метод хорд — Википедия

- это ещё один численный метод решения уравнений, который я добавил в свою программу.

Как видно, многое зависит от выбора начальной точки, поэтому я добавил в программу несколько вариантов метода.

Попробуем исследовать фракталы метода на "стандартном" уравнении

Z**5 - 1 = 0

с теми же стандартными параметрами как в методах Ньютона и Галлея:

область x=-5.5 ... +5.5, y=-3 .. +3
максимальное число итераций - 40
погрешность - 1e-9

Метод секущих:- фиксированная ненулевая z0

Метод секущих 0: z0=0+0*i

Как ни странно, эти два варианта дают одинаковые изображения, и корни найдены почти везде,

поэтому бассейны как бы "растеклись".

С другой стороны, точка z0=0+0*i ничем не выделяется в формуле именно этого метода среди других точек, так что одинаковый результат ожидаем.

Если уменьшить максимальное число итераций, то проявляется более привычная картина:

Метод секущих X: z0=z.re-z.im*i (зеркальное отображение точки, где надо найти корень, относительно оси X)

Стандартные параметры дают такой фрактал.

Поскольку пять корней данного уравнения и по-факту расположены симметрично относительно оси X, видно как изображение также строго симметрично относительно оси X. Напоминаю, что каждому корню соответствует свой цвет.

Замечание. Именно поэтому программа решает уравнения для комплексных многочленов степени не больше чем 7 - чтобы каждому цвету стандартной русской радуги мог соответствовать один корень:

a7*z**7 + a6*z**6 + a5*z**5 + a4*z**4 + a3*z**3 + a2*z**2 + a1*z + a0 = 0

Метод секущих Y: z0=-z.re+z.im*i (зеркальное отображение точки, где надо найти корень, относительно оси Y)

Также результат для стандартных параметров.

Видно как изображение также стремится, но не может стать строго симметричным относительно оси Y.

Метод секущих Z: z0=-z.re-z.im*i (поворот точки, где надо найти корень, на 180° относительно центра координат (0,0))

Здесь явная симметрия вращения для тех же стандартных параметров.

Как видно, последние три варианта метода секущих, отличающиеся разным выбором начальной точки z0, дают интересные картины, отдалённо напоминающие бассейны Ньютона (можно узнать все пять положенных корней), но предоставляют море возможностей для дальнейшего исследования и получения новых сюжетов фракталов.

Вот некоторые примеры:

Это 1-й вариант метода секущих с фиксированной z0

∎