Формулировка теоремы.
Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон, умноженное на косинус угла между ними.
Формула записывается следующим образом: а² = b² + c² - 2bcCosA.
Мы имеем треугольник ABC.
Напротив угла А сторона a, напротив угла Bсторона b, напротив угла С сторона С.
Ведем систему координат с началом в точке А. Точка А, соответственно, имеет координаты (0, 0). Точка B будет иметь координаты (c, 0). А точка С будет иметь координаты (bCosA, bSinA).
Для доказательства теоремы нам потребуется формула расстояния между двумя точками.
Обозначим это расстояние d.
Именно в эту формулу мы и будем сейчас подставлять значения. Обратите внимание, в теореме у нас а², поэтому мы сразу же d возведем в квадрат, т.е. избавимся от корня квадратного в правой части этого равенства.
Итак, возьмем сторону BC в нашем треугольнике, она же у нас сторона а.
Это как раз наша формула расстояния между двумя точками. В нашем случае эти две точки B и C, вот именно их координаты мы и будем подставлять. Из координат точки C мы будем вычитать координаты точки B. Точка С у нас имеет координаты (bCosA, bSinA). Подставим это значение вместо x2 и y2.
Точка B у нас имеет координаты (c, 0). Подставим эти значения вместо x1 и y1.
0 можно не писать, во вторых скобках будет просто b2Sin2A.
Раскроем первую скобку квадрат разности.
Cгруппируем выражения b2Cos2A и b2Sin2A.
Группировать мы их будем потому, что здесь общий множитель b2, который мы вынесем за скобки. В скобках у нас останется Cos2A+Sin2A.
Это основное тригонометрическое тождество. Это выражение равно 1.
В итоге мы получим
То есть
Теорема доказана.