Исследование, которое провели Генрих Бегер и Дацзян Ван из Свободного университета Берлина, посвящено так называемому принципу паркетного отражения. Суть метода в том, что геометрическую фигуру многократно отражают относительно ее границ, постепенно заполняя всю плоскость упорядоченным симметричным узором. Похожие приемы использовал в своих знаменитых работах художник Мауриц Эшер. Однако ученые пошли гораздо дальше оценки визуальной привлекательностью таких узоров и выяснили, что за ней скрывается мощный аналитический инструмент, который может быть применим для решения классических краевых задач математической физики — например, задач Дирихле и Неймана.
«Наше исследование показывает, что красота в математике — это не только эстетическое понятие, но нечто, обладающее структурной глубиной и эффективностью, — говорит профессор Бегер. — Предыдущие работы по мозаикам, включая известные исследования нобелевского лауреата сэра Роджера Пенроуза, в основном были сосредоточены на том, как фигуры могут покрывать поверхность. Использование метода паркетного отражения для создания новых мозаик открывает иные возможности: это практический инструмент для построения представлений функций в замощенных областях, полезный в математической физике и инженерии».
Одним из ключевых результатов стала возможность получать точные формулы для ядерных функций — функций Грина, Неймана и Шварца, которые широко применяются при решении краевых задач. Метод связывает геометрические паттерны с аналитическими выражениями, объединяя наглядное визуальное мышление и строгую математическую точность.
Принцип работает не только в привычной евклидовой геометрии, но и в гиперболических пространствах, используемых в теоретической физике и современных моделях пространства-времени. В прошлом году Бегер опубликовал работу о построении функции Грина для треугольника Швейкарта — особого гиперболического треугольника с одним прямым и двумя нулевыми углами.
За последние пятнадцать лет метод привлек значительное внимание молодых ученых: в Свободном университете Берлина защитили пятнадцать диссертаций по этой теме, еще семь — в других странах.
«Мы надеемся, что наши результаты найдут отклик не только в теоретической математике и математической физике, но, возможно, станут источником вдохновения для специалистов, работающих в сферах архитектуры или компьютерной графики», — отмечает Дацзян Ван.
Ранее ученые выяснили, что «мозгоподобные» компьютеры эффективны в решении сложных уравнений.