В истории математики есть моменты, когда глубочайшие истины формулируются с поразительной простотой. Один из таких моментов наступил на Рождество 1640 года, когда великий французский математик Пьер де Ферма отправил письмо, в котором содержалось элегантное утверждение о природе простых чисел. Но, как это часто бывает в истории науки, Ферма не был первым, кто заметил эту закономерность. За 15 лет до него это утверждение сформулировал математик Альбер Жирар, хотя ни тот, ни другой не представили доказательства.
Теорема отвечает на обманчиво простой вопрос: «Какие простые числа можно представить в виде суммы двух квадратов?» Например, число 5 легко раскладывается на 1² + 2², а число 13 — на 2² + 3². Однако, сколько бы мы ни старались, простые числа, такие как 3 или 7, невозможно представить в таком виде. Что же отличает эти два типа чисел?
Ключ к этой тайне, который нашел Ферма, разделяет все нечетные простые числа на две четкие и непересекающиеся категории.
Чтобы понять суть теоремы, необходимо сначала классифицировать все нечетные простые числа.
Оказывается, все нечетные простые числа делятся на «хорошие» (good) и «плохие» (bad) в зависимости от их остатка при делении на 4:
Простые числа вида 4k+1 ('хорошие') Простые числа вида 4k+3 ('плохие')
5, 13, 17, 29, 37, 41... 3, 7, 11, 19, 23, 31...
Здесь k — любое целое неотрицательное число. Например, 13 = 4*3 + 1, а 11 = 4*2 + 3. Эта классификация охватывает абсолютно все простые числа, кроме 2.
Теперь мы можем сформулировать Рождественскую теорему Ферма в ее полной форме: Нечетное простое число p можно представить в виде суммы двух квадратов (p = a² + b²) тогда и только тогда, когда оно «хорошее», то есть имеет вид 4k + 1.
2. «Плохие» простые числа вида 4k + 3 никогда не могут быть представлены в виде суммы двух квадратов.
Удивительно, но вторая часть теоремы (о «плохих» числах) доказывается очень просто. Если проанализировать квадраты любых целых чисел, можно заметить, что при делении на 4 они дают в остатке только 0 или 1.
* (четное)² = (2n)² = 4n² (остаток 0)
* (нечетное)² = (2n+1)² = 4n² + 4n + 1 (остаток 1)
Сумма двух квадратов может давать при делении на 4 только остатки 0+0=0, 0+1=1 или 1+1=2. Остаток 3 невозможен в принципе. Поскольку все «плохие» числа вида 4k+3 имеют остаток 3 при делении на 4, они никогда не могут быть суммой двух квадратов.
Доказательство же первой, основной части теоремы — того, что каждое «хорошее» простое число вида 4k+1 представимо в виде суммы двух квадратов — гораздо сложнее. Оно потребовало от математиков нового мощного инструмента, который позволил взломать код, — Гауссовых чисел.
Гауссовы числа — это комплексные числа вида a + bi, где a и b являются обычными целыми числами. В этой новой системе, как и в мире обычных чисел, существуют свои «простые» числа, которые нельзя разложить на множители. Однако здесь происходит удивительная вещь: некоторые простые числа из нашего мира перестают быть простыми в мире Гаусса.
Именно в этом кроется разгадка. Центральная идея, связывающая теорему Ферма с миром Гаусса, заключается в следующем:
Возможность представить простое число p в виде суммы двух квадратов p = a² + b² эквивалентна его способности распадаться на множители в мире Гауссовых чисел: p = (a + bi)(a - bi).
Эта простая алгебраическая трансформация полностью объясняет теорему Ферма:
* «Хорошие» простые числа вида 4k+1 (например, 13) теряют свою «простоту» в Гауссовой системе. Они раскладываются на два сопряженных Гауссовых простых множителя: 13 = (3 + 2i)(3 - 2i). Эта факторизация напрямую соответствует представлению в виде суммы квадратов: 13 = 3² + 2².
* «Плохие» простые числа вида 4k+3 (например, 7) остаются «стойкими» и в Гауссовой системе. Они не могут быть разложены на множители и поэтому называются Гауссовыми простыми. А раз нет разложения на множители вида (a + bi)(a - bi), то нет и представления в виде суммы двух квадратов.
Более подробно можно послушать в подкасте