Алгебраическое различение и тернарные структуры: от таблиц Кэли к триадной симметрии

Введение

Классическая алгебра привычна нам как наука о двухместных операциях: сложение и умножение принимают два аргумента, группы и кольца строятся вокруг правил для пар элементов. Однако универсальная алгебра показала, что этот «двоичный» взгляд не является единственно возможным: можно рассматривать операции произвольной арности (в том числе трёхместные), сохраняя строгую аксиоматику и единый язык описания структур (Burris, Sankappanavar, 1981). При таком расширении естественно возникает вопрос: какие понятия классической алгебры остаются фундаментальными, а какие являются следствием привычки работать с парами?

С инженерной точки зрения самым важным является не столько «содержание» операции, сколько её воспроизводимая фиксация и возможность проверять свойства автоматически. Для конечных структур это делает таблица Кэли: она полностью задаёт закон композиции на множестве. Но таблица ценна не только как «список результатов». Она позволяет перейти от вопросов вида «что делает операция?» к вопросам вида «какие преобразования не меняют закон?». Такие преобразования называются автоморфизмами, а их совокупность образует группу симметрий структуры. Именно симметрийный взгляд лежит в основе задач распознавания изоморфизма и реконструкции структур по данным, и он давно оформлен как самостоятельная линия в комбинаторике и теории групп (Babai, 1995), а также как общий аппарат работы с представлениями и инвариантами (Goodman, Wallach, 2009).

Следующий шаг — орбитальный. Если группа симметрий действует на элементах, парах или тройках элементов, то множество распадается на орбиты: классы объектов, неразличимых с точки зрения выбранного действия. Для неспециалиста полезна простая аналогия: если разрешены только определённые «перенумерации» меток, то орбита — это все варианты, которые можно получить такими перенумерациями. Орбитальный подход тем самым переводит различение из плоскости «мы так интерпретируем» в плоскость «это следует из действия группы». В прикладных областях, где конфигурации первичны (например, в системах геометрических ограничений), подобные идеи возникают естественно: важны именно классы эквивалентности конфигураций, а не отдельные координатные записи (Sitharam, St. John, Sidman (eds.), 2018).

На этом фоне тернарные (триадные) структуры приобретают вполне прагматический смысл. Когда мы переходим от пар к тройкам, появляется возможность фиксировать не только «расстояние» или разность между двумя элементами, но и положение третьего относительно выбранной пары, причём так, чтобы это положение сохранялось при допустимых перенумерациях. В некоторых задачах такие триадные инварианты оказываются минимальным уровнем, на котором структура становится «конфигурационно жёсткой»: пары ещё недостаточны, а триады уже задают устойчивый рисунок отношений. Показательно, что родственные триадные конструкции возникают даже в математической теории музыки, где изучаются симметрии и факторизации классов аккордов (Noll, 2005; Fiore, Noll, 2011).

Настоящая статья предназначена для систематического (и максимально ясного) изложения следующей идеи: алгебраическое различение можно строить как дисциплину, где первичны (i) таблица закона, (ii) группа симметрий, (iii) орбитальная факторизация конфигураций. В качестве рабочей модели рассматривается система алгебраического различения, разработанная В. Ленским и доработанная Р. Абдуллиным: в ней уровни L_n задаются на Z_n = {0,1,...,n-1} (арифметика по модулю n), а «различение» формализуется через проверяемые инварианты и гейты. В частности, рассматриваются аффинные перенумерации вида

f_{u,t}(x) = (u*x + t) mod n, где gcd(u,n) = 1,

которые задают естественный класс допустимых смен «кадра» и ведут к строгой орбитальной классификации пар и троек.

Структура статьи такова:

• Глава 1 вводит понятия многоарности, таблицы Кэли, автоморфизмов и орбитального различения в доступной форме.
• Глава 2 описывает уровни L_n как вычислимые объекты (таблица + симметрии + орбиты) и показывает, какие инварианты можно проверять автоматически.
• Глава 3 даёт корректную (в том числе для составных n, например n=4) классификацию троек через канонизацию орбит под действием Aff(n), без ошибочных «универсальных формул».
• Заключение фиксирует, что именно в этой схеме является строгим следствием симметрий и орбит, а что относится к выбору модели и калибровок; отдельно отмечается перспектива применения в задачах машинного извлечения структур (He, 2021).

Глава 1. Тернарные структуры и эволюция понятия симметрии

1.1. От бинарных операций к многоарным: что реально меняется

В школьной и университетской практике мы почти всегда имеем дело с операциями вида

*: X x X -> X.

То есть берём два элемента множества X и получаем третий элемент того же множества. Группы, кольца, поля — всё это строится вокруг таких двухместных законов.

Универсальная алгебра вводит более общий язык: операция может иметь любую арность k,

F: X^k -> X,

и структура задаётся не одной операцией, а целым «словарём» операций и тождеств между ними (Burris, Sankappanavar, 1981). Это важно по двум причинам.

1. Формально ничего «магического» не происходит: многоарная операция — это просто функция от k аргументов.
2. Содержательно меняется то, какие объекты оказываются естественными носителями инвариантов. Для бинарной операции базовый объект анализа — пара (x, y). Для тернарной — тройка (x, y, z). А с ростом арности быстро появляется эффект: свойства, которые на бинарном уровне читаются «по парам», на тернарном уровне становятся конфигурационными (то есть зависят от взаимного расположения всех трёх аргументов, а не только от каждой пары отдельно).

Упрощённая интуиция для неспециалиста такая:

• пара хранит «отношение между двумя»,
• триада хранит «отношение третьего к выбранной паре»,
  и это новое содержание не сводится к сумме парных отношений.

1.2. Таблица Кэли: почему это не “табличка умножения”, а носитель закона

Для конечного множества X бинарная операция * полностью задаётся таблицей: по строке x и столбцу y мы читаем x*y. Это и есть таблица Кэли. На практике она делает две вещи.

(А) Полная фиксация закона.
Если известна таблица, операция известна целиком — нет «скрытых» случаев.

(Б) Переход к симметриям.
Как только закон записан как объект (таблица), появляется корректный вопрос: какие перестановки элементов X оставляют таблицу той же самой?

1.3. Симметрия в строгом смысле: автоморфизмы и «перенумерации без изменения закона»

Пусть дана структура (X, *). Автоморфизм — это биекция (взаимно однозначная перенумерация)

sigma: X -> X,

такая что закон композиции сохраняется:

sigma(x * y) = sigma(x) * sigma(y) для всех x, y в X.

Это определение на удивление простое. Его смысл тоже прост: если вы переименовали элементы, но после переименования таблица Кэли «совпала сама с собой», то вы нашли симметрию.

Множество всех автоморфизмов образует группу Aut(X, *). Почему это важно? Потому что:

• Aut — это строгий источник инвариантов: например, |Aut| (число автоморфизмов) не зависит от того, как вы подписали элементы;
• Aut позволяет перейти к орбитам: элементы (или пары, или тройки) группируются по тому, как симметрия может их переставлять.

Этот взгляд — основа классических задач изоморфизма и реконструкции структур по данным, где вопрос «одинаковы ли структуры?» заменяется вопросом «существует ли допустимая перестановка, переводящая одну в другую?» (Babai, 1995). На языке представлений и инвариантов это же выражается как изучение действий групп и сохраняемых ими характеристик (Goodman, Wallach, 2009).

1.4. От симметрий к орбитам: как устроено «различение» без интерпретаций

Пусть группа G действует на множестве объектов S (например, на элементах X, на парах X x X или на тройках X x X x X). Орбита объекта s — это все объекты, которые можно получить действием элементов группы:

Orb_G(s) = { g(s) : g in G }.

Если два объекта лежат в одной орбите, то с точки зрения допускаемых симметрий они неразличимы: один переходит в другой «разрешённой перенумерацией».

Более понятно:

• мы заранее фиксируем, какие преобразования считаем допустимыми (это и есть группа),
• после этого «тип» объекта — это его орбита.

Это и есть математическая дисциплина различения: типы получаются не из слов и смыслов, а из действия групп.

1.5. Почему триады принципиальны: пары не всегда удерживают структуру

На уровне пар часто хватает единственного инварианта (например, разности или расстояния). Но уже при n=4 в модульной арифметике видно, что пары распадаются более чем на два типа (по делителям 4). То есть даже «парный» мир может быть не дихотомичен.

Триады добавляют следующий слой: они фиксируют не только тип каждой пары внутри тройки, но и конфигурационную форму, которую нельзя восстановить из трёх независимых парных сведений. Это ключевой момент для дальнейшей инженерной модели: если различение строится как «таблица -> симметрии -> орбиты», то естественная лестница различения такова:

• орбиты элементов,
• орбиты пар,
• орбиты троек,
• и далее (при необходимости).

1.6. Почему в статье мы используем именно аффинные перенумерации

Автоморфизмы Aut — это «симметрии закона». Но в инженерной схеме различения часто нужно разрешить более широкий класс перенумераций, которые соответствуют смене координатного кадра. Для Z_n естественный класс таких перенумераций — аффинные преобразования

f_{u,t}(x) = (u*x + t) mod n, где gcd(u,n) = 1.

Интуиция:

• t сдвигает нуль отсчёта,
• u меняет «единичный шаг», но так, чтобы перестановка была обратимой (иначе это не перенумерация, а склейка разных значений).

Этот класс преобразований будет ключевым в главе 2 (как «кадровые симметрии») и в главе 3 (как основа орбитальной классификации троек).

1.7. Связь с триадами в других областях: пример музыкальной теории

Чтобы показать, что триадный аппарат — не искусственная конструкция, полезно отметить параллель: в математической теории музыки триады (например, мажорные/минорные) изучаются через действия групп и факторизации классов эквивалентности. В работах T. Noll и совместно с T. M. Fiore используется язык групповых действий и категориальных конструкций («топос триад») для описания симметрий и переходов между структурами (Noll, 2005; Fiore, Noll, 2011). Нам здесь важен не музыкальный смысл, а факт: триады естественно формализуются как орбитальные классы под действием групп.

1.8. Вывод главы 1

1. Универсальная алгебра легализует операции любой арности как первичные объекты теории.
2. Таблица Кэли превращает закон композиции в «инженерный объект», на котором можно вычислять симметрии.
3. Автоморфизмы — строгие симметрии закона; они дают инварианты и запускают орбитальное разбиение.
4. Орбитальная классификация — это различение без интерпретаций: тип = орбита относительно выбранной группы действий.
5. Переход к триадам необходим, потому что пары не удерживают конфигурационную информацию; для составных n это становится особенно заметно.
6. Для Z_n естественным классом «кадровых перенумераций» являются аффинные преобразования x -> (u*x + t) mod n.

Глава 2. Уровни L_n как инженерные объекты: таблица, симметрии, орбиты, гейты

2.1. Задача главы 2: сделать «уровень» измеримым и проверяемым

В главе 1 мы ввели общий принцип: структуру удобно описывать тройкой

1. закон (операция, фиксируемая таблицей Кэли),
2. симметрии (группа преобразований, не меняющих выбранный смысл),
3. орбиты (классы неразличимости объектов — элементов, пар, троек).

Теперь мы применяем этот принцип к семейства уровней L_n, где базовым множеством служит

Z_n = {0, 1, ..., n-1}

(арифметика по модулю n). Цель — определить такие величины, которые:

• легко вычисляются,
• не зависят от «словесных интерпретаций»,
• могут быть проверены автоматически (гейтами).

2.2. Два канона операции: PLUS и STAR

В инженерной схеме удобно держать два режима закона композиции.

2.2.1. PLUS-канон (циклическая группа)

Определим бинарную операцию:

x PLUS y = (x + y) mod n.

Это стандартная циклическая группа Z_n. Здесь закон симметричен и «равномерный»: нет выделенного элемента, кроме нуля как нейтрального.

2.2.2. STAR-канон (с выделенным центром SUN = 0)

Определим операцию:

x STAR y = 0, если x = 0 или y = 0;
x STAR y = (x + y) mod n, если x != 0 и y != 0.

Смысл: 0 становится поглощающим элементом (“SUN”), а все ненулевые элементы взаимодействуют как в PLUS.

Важно: здесь таблица уже не просто «сложение по модулю», потому что в ней зашит выделенный центр, и это сразу влияет на допустимые симметрии (см. 2.4).

2.3. Таблица Кэли как «прошивка уровня»

Для каждого n и выбранного канона (PLUS или STAR) строится таблица Кэли размера n x n. В инженерном смысле это «прошивка» уровня: если таблица известна, уровень задан полностью.

Чтобы избежать философии и «смыслов», мы фиксируем только вычислимые свойства таблицы:

• замкнутость (все значения в Z_n),
• наличие выделенного элемента (для STAR: строка/столбец нуля дают ноль),
• симметрии таблицы (сколько перенумераций оставляют закон неизменным).

2.4. Два типа симметрий: Aut и Aff

Здесь критическое различение: симметрии закона и симметрии кадра.

2.4.1. Aut: строгие симметрии закона

Автоморфизм — биекция sigma: Z_n -> Z_n, такая что

sigma(x * y) = sigma(x) * sigma(y)

для выбранной операции * (PLUS или STAR).

• Для PLUS-канона известен классический факт:
  Aut(Z_n, PLUS) ~= U(n) (группа обратимых по модулю элементов).
  Поэтому число автоморфизмов равно:S0(n) = |Aut(Z_n, PLUS)| = phi(n).
• Для STAR-канона автоморфизмы обязаны сохранять выделенный 0 (иначе нарушится поглощение):
  sigma(0) = 0.
  В простейшей реализации (когда STAR задаётся как выше) структура ненулевой части совпадает с PLUS и автоморфизмы по-прежнему связаны с действием U(n) на ненулевых элементах, но это уже надо проверять гейтами, а не принимать на веру.

Здесь важно объяснение для неспециалиста:
phi(n) — это количество «масштабов», которые допустимы без потери обратимости. Это и есть количество строгих “перенастроек шкалы”, которые не ломают закон.

2.4.2. Aff: кадровые перенумерации (сдвиг + масштаб)

Пусть разрешены преобразования

f_{u,t}(x) = (u*x + t) mod n, где gcd(u,n)=1.

Их число легко считается: u можно выбрать phi(n) способами, t — n способами. Значит,

S1(n) = |Aff(n)| = n * phi(n).

Смысл для неспециалиста:

• Aut — это “симметрии самой таблицы” (закон сохраняется буквально),
• Aff — это “перенумерации координат”, которые позволяют удобно нормализовать конфигурации и сравнивать их типы (орбиты).

В движке различения удобно держать обе группы, но не смешивать: это разные уровни действия.

2.5. Орбитальная классификация пар: первый слой «типов связей»

Рассмотрим упорядоченную пару (x, y).

Под действием Aff(n) разность

Delta = (y - x) mod n

преобразуется так:

Delta -> (u*Delta) mod n,

потому что сдвиги t сокращаются. Значит, тип пары определяется тем, насколько Delta «делится» вместе с n.

Точный инвариант:

d = gcd(Delta, n).

Две пары имеют один и тот же тип тогда и только тогда, когда их d совпадает.

Отсюда немедленно следует важный инженерный результат:

Q_pairs(n) = tau(n),

где tau(n) — число положительных делителей n.

Пояснение “на пальцах”.
Если n простое, то у любой ненулевой разности Delta gcd(Delta,n)=1, поэтому все ненулевые пары одного типа: различение по парам “бедное”.
Если n составное, появляются разные “классы шагов” (например, при n=4 шаг 2 — особый), и различение по парам становится богаче.

2.6. Инвариантный паспорт уровня L_n

Чтобы уровень был инженерно сравним, фиксируем «паспорт» уровня — набор чисел, которые можно вычислить и проверять:

Passport(L_n) = [ S0(n), S1(n), Q_pairs(n) ]

где

S0(n) = phi(n) (строгие симметрии для PLUS; для STAR — проверяемая величина),
S1(n) = n*phi(n) (кадровые симметрии),
Q_pairs(n) = tau(n) (типы пар).

Это не теория ради теории: это способ сделать уровень объектом тестирования.

2.7. Гейты: как превратить математику в проверяемый контракт

«Гейт» — это булева проверка. Если гейты проходят, значит уровень собран корректно.

Минимальный набор гейтов для бинарной части:

G1 (замкнутость): для всех x,y в Z_n значение x*y тоже в Z_n.
G2 (центр для STAR): 0 STAR x = 0 и x STAR 0 = 0 для всех x.
G3 (симметрии Aut): вычисленный |Aut| совпадает с ожидаемым (для PLUS: phi(n); для STAR — величина, полученная алгоритмом, должна быть стабильной и согласованной с определением).
G4 (кадровые симметрии): |Aff(n)| = n*phi(n).

Инженерная ремарка:
Даже если вы «знаете» теорему, в рамках движка полезнее её не цитировать, а проверять численно для конкретного n, потому что модель может изменяться (например, если STAR усложняется или добавляются ограничения на допустимые перенумерации).

2.8. Почему для L4 и дальше требуется глава 3 (тройки)

Паспорт уровня по парам уже даёт существенное различение, но он не фиксирует конфигурации.

Ключевой момент: начиная с составных n (первый пример — n=4) пары дают несколько типов, но триады начинают давать новые классы, которые нельзя вывести из парных типов. Более того, на составных n ломается «универсальная нормализация» через обратимость, поэтому нельзя пользоваться упрощёнными формулами; нужна строгая орбитальная классификация троек.

Это и будет предметом главы 3:
мы построим корректный алгоритм канонизации орбит троек под действием Aff(n) и покажем на примерах (n=4, n=5), как именно появляются «конфигурационные типы».

2.9. Вывод главы 2

1. Уровень L_n задаётся таблицей Кэли (в режиме PLUS или STAR).
2. Есть два типа симметрий: Aut (строгие симметрии закона) и Aff (кадровые перенумерации).
3. Для Aff(n) мощность равна n*phi(n).
4. Орбитальная классификация пар даёт инвариант d = gcd(Delta,n) и число типов пар tau(n).
5. Паспорт уровня Passport(L_n) = [phi(n), n*phi(n), tau(n)] делает уровень сравнимым и тестируемым.
6. Для полноты различения необходимо перейти к триадам и их орбитам — это делается строго и универсально только в главе 3.

Глава 3. Триады как конфигурации: строгая орбитальная классификация троек под действием Aff(n)

3.1. Почему пары недостаточны: что именно добавляет третья точка

Классификация пар в главе 2 опиралась на один инвариант: для пары (x, y) при аффинных перенумерациях сохраняется

d = gcd((y - x) mod n, n).

Это отвечает на вопрос: «какой тип шага соединяет две точки?». Но тройка (x, y, z) содержит больше информации, чем три независимые пары. Причина простая: третья точка фиксирует конфигурацию, то есть «как именно третья расположена относительно выбранной пары», и эта конфигурация может оставаться различимой даже тогда, когда все парные типы совпадают.

Для неспециалиста удобна аналогия:

• по двум точкам вы задаёте “отрезок”,
• по трём — уже “треугольник”,
  и разные треугольники не сводятся к набору трёх “длин сторон”, если разрешены перенумерации и есть модульная арифметика.

Поэтому следующий слой «алгебраического различения» — это орбиты упорядоченных троек под действием Aff(n).

3.2. Что именно мы классифицируем

Рассматриваем множество строгих упорядоченных троек:

T_strict(n) = { (x, y, z) in Z_n^3 : x, y, z попарно различны }.

Действие Aff(n) на тройке задано покомпонентно:

f_{u,t}(x, y, z) = (f_{u,t}(x), f_{u,t}(y), f_{u,t}(z)),
где f_{u,t}(a) = (u*a + t) mod n, gcd(u,n)=1.

Две тройки считаются эквивалентными (одного конфигурационного типа), если одна получается из другой некоторым f_{u,t}.

3.3. Ключевое упрощение: любую тройку можно привести к виду (0, a, b)

Это первый шаг, делающий задачу практически решаемой.

Берём любую тройку (x, y, z) и применяем сдвиг с t = -x, u = 1:

(x, y, z) -> (0, (y - x) mod n, (z - x) mod n).

Обозначим:

a = (y - x) mod n,
b = (z - x) mod n.

Получаем эквивалентную тройку

(0, a, b).

Строгость тройки означает условия:

a != 0, b != 0, a != b.

После этого сдвиги больше не нужны (первый элемент уже 0), а оставшаяся свобода — только масштаб:

(0, a, b) -> (0, u*a mod n, u*b mod n) для u in U(n).

Итак, вся классификация троек сводится к классификации пар (a, b) с действием группы единиц U(n).

3.4. Универсальный и корректный метод: канонизация орбиты (без «формул, которые ломаются на n=4»)

В простом случае (когда n простое) многие авторы сразу вводят параметр вида r = b*inv(a) mod n. Но этот трюк требует обратимости a и ломается на составных n. Нам нужен метод, работающий всегда.

3.4.1. Определение орбиты пары разностей

Пусть задана пара (a, b) (с условиями строгой тройки). Её орбита под действием U(n):

O(a,b) = { (u*a mod n, u*b mod n) : u in U(n) }.

Это конечное множество размера не больше phi(n).

3.4.2. Канонический представитель

Чтобы каждый конфигурационный тип имел «имя», выбираем из орбиты один представитель по фиксированному правилу. Самое простое и прозрачное правило:

канон = лексикографический минимум.

То есть определяем:

canon(a,b) = min_{lex} O(a,b),

где сравниваем пары как числа: сначала a, при равенстве — b.

Тогда канонический представитель исходной тройки (x, y, z):

1. считаем (a, b) = ((y-x) mod n, (z-x) mod n),
2. считаем (a0, b0) = canon(a,b),
3. получаем каноническую форму тройки:

canon_triple(x,y,z) = (0, a0, b0).

Смысл для неспециалиста:
мы перебираем все допустимые перенумерации шкалы (u), смотрим, какие пары разностей получаются, и выбираем «самую простую» (минимальную). Это полностью снимает проблему составных модулей и не требует никаких делений по модулю.

3.5. Что фиксировать как «триадный инвариант» уровня L_n

Для уровня L_n в рамках движка можно зафиксировать два полезных результата.

3.5.1. Число конфигурационных типов троек

Определим:

Q_triads(n) = число различных canon(a,b),

которые возникают при переборе всех строгих троек.

Это число — проверяемый инвариант уровня (в смысле выбранного действия Aff(n)).

3.5.2. Список канонических представителей

Ещё более информативно хранить не только число, но и множество:

Repr_triads(n) = { (0,a0,b0) : (a0,b0) = canon(a,b) для некоторых строгих (a,b) }.

Это уже «структурный паспорт» триадного слоя. Он особенно полезен, если далее строятся гейты и «гейтовые контракты» на конфигурациях.

3.6. Гейты для главы 3: как проверить корректность канонизации

Добавляем к гейтам главы 2 новые проверки.

G5 (инвариантность канона):
для любого u in U(n) должно быть
canon(u*a, u*b) = canon(a,b).

G6 (идемпотентность):
canon(canon(a,b)) = canon(a,b).

G7 (согласованность с действием Aff):
если тройки (x,y,z) и (x',y',z') связаны некоторым f_{u,t}, то
canon_triple(x,y,z) = canon_triple(x',y',z').

Эти гейты превращают «классификацию троек» в проверяемую инженерную процедуру.

3.7. Примеры (которые можно объяснить без теории групп)

3.7.1. Пример n = 4 (уровень L4): появляется отдельный “необратимый” сектор

Имеем:

Z_4 = {0,1,2,3},
U(4) = {1,3} (только 1 и 3 обратимы по модулю 4),
phi(4) = 2.

Действие u=3 на разностях:

• 3*1 mod 4 = 3,
• 3*3 mod 4 = 1,
• 3*2 mod 4 = 2.

То есть 1 и 3 меняются местами, а 2 остаётся на месте. Отсюда вытекает:

• пары с a=1 и a=3 взаимно переходят;
• пары с a=2 живут в отдельном секторе и не могут быть приведены к a=1 никаким обратимым u.

Перебор строгих (a,b) при a,b in {1,2,3}, a!=b и канонизация дают три канонических типа:

1. (0,1,2)
2. (0,1,3)
3. (0,2,1) (этот тип покрывает также (0,2,3))

Следовательно,

Q_triads(4) = 3.

Это и есть наглядное объяснение: на составном модуле возникает конфигурационный тип, который не виден в “простом” сценарии.

3.7.2. Пример n = 5 (уровень L5): всё снова обратимо, и картина проще

Z_5 — поле, поэтому U(5) = {1,2,3,4}, phi(5)=4.
Для строгих троек после нормализации всегда можно фактически «свести» к (0,1,r), но нам это даже не нужно: канонизация по u автоматически даст три типа:

(0,1,2), (0,1,3), (0,1,4),

то есть

Q_triads(5) = 3.

3.8. Связь с паспортом уровня и переход к «конфигурационному паспорту»

В главе 2 мы фиксировали:

Passport(L_n) = [S0(n), S1(n), Q_pairs(n)] = [phi(n), n*phi(n), tau(n)].

Теперь добавляем триадный слой:

Passport3(L_n) = [phi(n), n*phi(n), tau(n), Q_triads(n)]

или, в более «сильном» варианте:

Passport3(L_n) = [phi(n), n*phi(n), tau(n), Repr_triads(n)].

Идея проста:

• первые три компоненты говорят, «насколько богат уровень по симметриям и парам»,
• четвёртая компонентa фиксирует, «насколько богат уровень по конфигурациям троек».

3.9. Вывод главы 3

1. Триадный слой различения — это орбиты строгих упорядоченных троек под действием Aff(n).
2. Любая тройка приводится к виду (0,a,b), и классификация сводится к действию единиц U(n) на паре (a,b).
3. Универсальный корректный метод для любых n — канонизация орбиты через перебор u in U(n) и выбор лексикографического минимума.
4. Для составных n (первый показательный пример n=4) появляются отдельные конфигурационные типы, недоступные в “поле” и невыводимые из парных инвариантов.
5. Канонизация позволяет ввести проверяемые гейты и сделать триадную классификацию частью инженерного контура движка.

Заключение

В статье была последовательно построена ясная и проверяемая схема того, как из конечного закона композиции получить «алгебру различения» без апелляции к интерпретациям. Ключевой принцип — рассматривать структуру как связку трёх объектов:

1. закон (таблица Кэли),
2. симметрии (группы допустимых преобразований),
3. орбитальная факторизация (классы неразличимости конфигураций).

Такой подход естественен в рамках универсальной алгебры, где операции любой арности рассматриваются на равных правах, а главное внимание уделяется формализму операций, тождеств и гомоморфизмов (Burris, Sankappanavar, 1981). Важное следствие этого взгляда состоит в том, что «тип» объекта (элемента, пары, тройки) определяется не словами, а тем, какие преобразования мы признаём допустимыми и какие инварианты неизбежно сохраняются. Именно поэтому симметрийный аппарат теории групп и комбинаторики — с задачами изоморфизма, реконструкции и классификации по действиям групп — здесь не внешнее украшение, а основной инструмент (Babai, 1995; Goodman, Wallach, 2009).

В инженерной модели уровней L_n на Z_n были выделены два режима закона (PLUS и STAR) и два типа действий:

• Aut как строгие симметрии закона (автоморфизмы таблицы),
• Aff(n) как кадровые перенумерации x -> (u*x + t) mod n, где gcd(u,n)=1.

Эта разница принципиальна: Aut отвечает за «сохранение закона», а Aff — за «нормализацию и сравнение конфигураций» в едином координатном режиме. Для каждого уровня получен «паспорт» бинарного слоя:

Passport(L_n) = [phi(n), n*phi(n), tau(n)],

где phi(n) фиксирует число обратимых масштабов (и тем самым мощность базовых симметрий), n*phi(n) — размер аффинной группы, а tau(n) — число орбитных типов пар, возникающих из инварианта gcd((y-x) mod n, n).

Главный методологический результат связан с переходом к триадам. Показано, что пары в общем случае не удерживают конфигурационную информацию: триада добавляет минимальный слой, где появляется устойчивое различение «положения третьего относительно выбранной пары». При этом критически важно избегать универсальных формул, которые корректны только в поле (то есть при простом n). Для составных модулей (первый показательный пример — n=4) обратимость разностей перестаёт быть всеобщей, и попытка свести все тройки к виду (0,1,r) становится некорректной. Поэтому предложен универсальный, простой и проверяемый алгоритм:

• любую тройку приводим сдвигом к (0,a,b),
• затем рассматриваем орбиту (a,b) под действием U(n),
• выбираем канонический представитель (например, лексикографический минимум).

Так строится триадный паспорт уровня через Q_triads(n) и/или через множество канонических представителей. Существенно, что этот метод не требует деления по модулю и работает одинаково для простых и составных n, что делает его пригодным для автоматической верификации гейтами.

Практическая ценность изложенного заключается в том, что система различения превращается в вычислимую дисциплину: каждый слой (таблица, симметрии, орбиты пар, орбиты троек) может быть зафиксирован в виде конечных объектов и проверен набором булевых контрактов (гейтов). Это сближает алгебраическую часть с инженерной: «уровень L_n» становится не метафорой, а спецификацией, которую можно воспроизвести, протестировать и сравнить между реализациями.

Наконец, схема «таблица -> симметрии -> орбитальные типы» естественно согласуется с современной задачей извлечения структур из данных: если модель должна учиться не на случайных признаках, а на устойчивых закономерностях, то обучение инвариантов относительно действий групп становится принципиально адекватной постановкой. В этом смысле формализм уровней L_n и их паспортов можно рассматривать как минимальный пример того, как «символьное различение» переводится в набор вычислимых инвариантов, потенциально пригодных для машинного обучения структурных представлений (He, 2021).

Список литературы

1. Burris, S.; Sankappanavar, H. P. A Course in Universal Algebra. Graduate Texts in Mathematics, Vol. 78. Springer-Verlag, 1981.
   Примечание: The Millennium Edition — электронное переиздание (ок. 2000), подготовленное авторами на основе издания 1981 г.
2. Linckelmann, M. The Block Theory of Finite Group Algebras. Vol. 1–2. London Mathematical Society Student Texts, 91–92. Cambridge University Press, 2018.
3. Babai, L. Automorphism Groups, Isomorphism, Reconstruction. In: Graham, R. L.; Grötschel, M.; Lovász, L. (eds.) Handbook of Combinatorics. Vol. 2. Elsevier / MIT Press, 1995.
4. Goodman, R.; Wallach, N. R. Symmetry, Representations, and Invariants. Graduate Texts in Mathematics, Vol. 255. Springer, 2009.
5. He, Y.-H. Machine-Learning Mathematical Structures. arXiv:2101.06317, 2021 (preprint).
6. Sitharam, M.; St. John, A.; Sidman, J. (eds.) Handbook of Geometric Constraint Systems: Principles. CRC Press, 2018.
7. Noll, T. The Topos of Triads. In: Fripertinger, H.; Reich, L. (eds.) Colloquium on Mathematical Music Theory. Grazer Mathematische Berichte, Bericht Nr. 347. Karl-Franzens-Universität Graz, 2005.
8. Fiore, T. M.; Noll, T. Commuting Groups and the Topos of Triads. In: Mathematics and Computation in Music (MCM 2011). Lecture Notes in Computer Science, Vol. 6726. Springer, 2011.

Приложение. На чём основана статья: таблица конечной магмы как первичный носитель уровня

А.1. Зачем вводить «конечную магму»

В тексте статьи мы сознательно начинали не с «групп», «колец» и других именованных классов, а с более базового объекта: конечной магмы.

Магма — это множество X с одной бинарной операцией
*: X x X -> X.
Никаких дополнительных требований (ассоциативности, нейтрального элемента и т. п.) по определению не накладывается.

Этот выбор принципиален по двум причинам:

1. он делает систему максимально общей: мы не подгоняем закон под заранее выбранный класс структур;
2. он позволяет построить «инженерный» подход: сначала фиксируется закон как конечный объект, а затем вычисляются и проверяются его инварианты.

Именно такая логика соответствует духу универсальной алгебры: структура задаётся операциями и тождествами, а не названием класса (Burris, Sankappanavar, 1981).

А.2. Таблица Кэли как полное описание конечной магмы

Пусть X — конечное множество мощности n, и выбрана нумерация элементов:

X = {x_0, x_1, ..., x_{n-1}}.

Тогда операция * полностью задаётся таблицей Кэли T размера n x n, где

T[i,j] = k означает x_i * x_j = x_k.

Это и есть центральный тезис приложения:

Таблица Кэли — первичный носитель закона.
Все дальнейшие объекты статьи (симметрии, орбиты, паспорта уровней, гейты) строятся исключительно из этой таблицы, без привлечения внешней семантики.

А.3. Почему это «конечная магма», а не просто «таблица сложения по модулю»

В статье действительно использованы каноны PLUS и STAR на Z_n, но метод не зависит от того, как именно таблица получена.

С инженерной точки зрения важно следующее:

• Z_n и формула (x+y) mod n — это лишь удобный способ породить таблицу;
• после построения таблицы все расчёты ведутся по таблице, а не по формуле.

Это ключ к обобщению: если завтра вместо PLUS/STAR будет использована другая таблица (например, заданная внешним конструктором или эмпирически), весь аппарат статьи сохраняется: симметрии и орбиты вычисляются по определению, а гейты проверяют корректность.

А.4. Какие «производные объекты» извлекаются из таблицы

Ниже перечислены сущности, которые в статье фактически считаются «производными» от таблицы конечной магмы.

А.4.1. Автоморфизмы Aut(T)

Автоморфизм таблицы — это перестановка индексов sigma множества {0,...,n-1}, для которой выполняется:

sigma(T[i,j]) = T[sigma(i), sigma(j)] для всех i,j.

Именно это условие является машинной формой равенства:

sigma(x*y) = sigma(x) * sigma(y).

Так определяется группа Aut(T) и её мощность |Aut(T)|.

А.4.2. Кадровые перенумерации Aff(n) (если задана координатная модель Z_n)

В статье используется частный, но очень удобный класс перенумераций:

f_{u,t}(x) = (u*x + t) mod n, gcd(u,n)=1.

Это уже не «следствие таблицы», а дополнительная конструкция, возникающая при выборе конкретной координатной модели Z_n. Важно не смешивать:

• Aut(T) — симметрии закона (чисто табличные),
• Aff(n) — симметрии кадра (координатные).

В статье Aff(n) выступает как инструмент орбитальной факторизации конфигураций (пар и троек).

А.4.3. Орбиты пар и троек

Как только фиксирована группа действий G (например, Aut(T) или Aff(n)), можно определить орбиты:

Orb_G(s) = { g(s) : g in G }.

В статье орбиты выступают как «типы» связей:

• типы пар (через орбиты на Z_n x Z_n),
• типы троек (через орбиты на Z_n^3).

Триадный слой оформляется через канонизацию орбит пар разностей (a,b) после нормализации тройки к виду (0,a,b).

А.5. Что в статье является строго «из таблицы», а что является выбором модели

Чтобы исключить скрытые допущения, полезно явно разделить два уровня.

(I) Строго из таблицы конечной магмы:

• проверка замкнутости таблицы;
• вычисление автоморфизмов Aut(T) по определению;
• любые инварианты, определённые через действие Aut(T) на элементах/парах/тройках;
• гейты, проверяющие перечисленные свойства.

(II) Дополнительные выборы (калибровки модели):

• выбор конкретного носителя Z_n и нумерации элементов;
• выбор канонов PLUS и STAR как способа порождать таблицы;
• выбор группы «кадровых» преобразований Aff(n) как допустимого класса перенумераций;
• выбор правила канонизации орбиты (лексикографический минимум или иной канон).

С инженерной точки зрения это разделение удобно: блок (I) — это то, что должно быть инвариантно при любых интерпретациях; блок (II) — это то, что может меняться при смене модели и поэтому должно фиксироваться как явная спецификация.

А.6. Минимальная «спецификация уровня» в терминах таблицы магмы

Чтобы уровень L_n был воспроизводим, достаточно зафиксировать:

1. множество элементов X и их нумерацию;
2. таблицу T (матрицу n x n значений в {0,...,n-1});
3. выбранный класс действий G (например, Aut(T) и/или Aff(n));
4. список гейтов (проверок), которые принимаются как контракт корректности.

После этого все «паспорта» и «типы» являются вычислимыми следствиями.

А.7. Резюме приложения

Статья основана на принципе: первичным объектом является таблица конечной магмы (таблица Кэли). Все ключевые сущности — симметрии, орбиты, паспорта уровней и гейты — строятся из таблицы либо напрямую (через Aut(T)), либо через явно заданную координатную калибровку (Aff(n) на Z_n). Это делает подход воспроизводимым, проверяемым и пригодным для инженерной реализации.