Формализация закона вихря: таблицы Кэли, симметрии и многополярность как алгебраическая система различения

Глава 1. Базовая конструкция уровня Ln: таблица Кэли, симметрии закона и «вихрь» как вычислимая процедура

1.1. Цель и метод: от риторики к проверяемому вычислению

Я трактую «закон вихря» не в качестве метафоры, а как строго формализованный, воспроизводимый протокол, регулирующий переход между уровнями различения. В рамках этого протокола предмет дискуссии может составлять исключительно процесс вычисления, поскольку каждый шаг подлежит проверке посредством инвариантов и гейтов.

Содержание закона вихря в минимальном виде:

1. задать конечное множество состояний уровня Ln;
2. задать бинарный закон композиции (операцию), полностью определяемый таблицей Кэли;
3. вычислить две группы преобразований:
   строгие симметрии закона (автоморфизмы),
   кадровые (аффинные) преобразования, отвечающие за смену координат/кадра;
4. факторизовать конфигурации (пары, затем тройки) по действию кадровой группы;
5. закрепить вычислимые счётчики уровня и гейты, которые запрещают «съезжать» с канона.

Далее в главе я даю точные определения и вывожу базовые формулы счётчиков, на которых держится вся инженерная дисциплина.

1.2. Уровень Ln: множество состояний

Пусть n >= 1. Уровень Ln задаётся конечным множеством состояний

Z_n = {0,1,...,n-1}.

Все дальнейшие операции и равенства понимаются по модулю n.

1.3. Таблица Кэли как полное задание закона

Пусть OP — бинарная операция

OP: Z_n x Z_n -> Z_n.

Таблица Кэли операции OP — это полное задание значений OP(x,y) для всех (x,y) из Z_n x Z_n.

Важно подчеркнуть, что таблица Кэли — это не декоративное оформление или иллюстративный материал, а полноценная форма спецификации закона. Если закон не задан посредством таблицы Кэли (либо эквивалентным правилом, которое однозначно позволяет построить такую таблицу), то любые дальнейшие рассуждения о симметриях, инвариантах и факторизациях утрачивают строгую обоснованность и перестают иметь чёткий математический смысл.

1.4. Два канона операции: PLUS и STAR(SUN)

1.4.1. PLUS-канон

Определим:

x PLUS y = (x + y) mod n.

Это каноническая циклическая операция уровня Ln.

1.4.2. STAR-канон с выделенным элементом SUN

Зафиксируем SUN = 0 и определим:

x STAR y = 0, если x=0 или y=0,
x STAR y = (x + y) mod n, если x не равно 0 и y не равно 0.

Здесь SUN работает как «поглощающий» элемент: любое умножение STAR с участием SUN даёт SUN. В инженерном языке это не «верование», а фиксация режима, где нулевое состояние обладает выделенной ролью и отсечением композиции.

1.5. Строгие симметрии закона: автоморфизмы таблицы

Пусть задана система (Z_n, OP), где OP — либо PLUS, либо STAR.

Биекция

sigma: Z_n -> Z_n

называется строгой симметрией (автоморфизмом), если для всех x,y из Z_n выполняется

sigma( OP(x,y) ) = OP( sigma(x), sigma(y) ).

Для STAR-канона добавляется обязательная фиксация поглощающего элемента:

sigma(0) = 0.

Обозначу:

Aut(Z_n, OP) — группа автоморфизмов,
S0(n) = |Aut(Z_n, OP)| — число строгих симметрий.

1.5.1. Формула для PLUS-канона

Для (Z_n, PLUS) автоморфизмы имеют вид:

sigma_u(x) = (u*x) mod n,

где gcd(u,n)=1.

Отсюда:

S0(n) = phi(n),

где phi(n) — функция Эйлера (количество u в {1,...,n-1}, взаимно простых с n).

Замечание о STAR. Для указанного STAR(SUN) в принятом каноне строгие симметрии согласованы с PLUS при условии sigma(0)=0; однако если STAR меняется (например, меняется правило на ненулевом слое), то S0(n) должно подтверждаться гейтами, а не «по аналогии».

1.6. Кадровые симметрии: аффинная группа Aff(n)

Строгая симметрия сохраняет закон в фиксированном кадре. Но в инженерном протоколе часто допустима смена кадра: «какая метка считается нулём», «где начало отсчёта», «какой сдвиг координат выбран».

Определяю кадровые преобразования:

f_{u,t}(x) = (u*x + t) mod n,

где gcd(u,n)=1, t in Z_n.

Множество всех таких преобразований образует группу Aff(n). Её мощность:

S1(n) = |Aff(n)| = n * phi(n).

Это второй счётчик уровня Ln: число допустимых перенастроек координат (кадра) при сохранении обратимости масштабирования и допустимости сдвига.

1.7. Два разных уровня эквивалентности: таблицы и конфигурации

Здесь принципиально важно развести две разные задачи, которые часто смешивают.

1.7.1. Лока таблиц (эквивалентность законов)

Есть множество операций OP на Z_n. Две операции OP и OP' считаются изоморфными, если существует биекция pi: Z_n -> Z_n такая, что

pi( OP(x,y) ) = OP'( pi(x), pi(y) ) для всех x,y.

Это эквивалентность самих законов (таблиц Кэли). Здесь живёт группа Aut(Z_n, OP) как автоморфизмы одного закона.

1.7.2. Лока конфигураций (орбиты при смене кадра)

Даже при фиксированном законе OP можно рассматривать конфигурации (пары, тройки, эпизоды) из Z_n и факторизовать их по действию кадровой группы Aff(n). Это уже не про «какой закон», а про «какие конфигурации неразличимы при допустимой смене координат».

То есть:

• изоморфизмы таблиц = симметрии закона как алгебры,
• орбиты конфигураций = симметрии представления/кадра, действующие на выбранные конфигурации.

Вся дальнейшая «орбитальная факторизация» относится ко второму уровню: к конфигурациям и действию Aff(n).

1.8. «Закон вихря» в минимальной инженерной форме

Теперь можно записать «вихрь» как последовательность вычислимых объектов:

1. фиксирую Ln: множество Z_n;
2. фиксирую канон операции OP (PLUS или STAR(SUN)) как таблицу Кэли;
3. вычисляю S0(n) = |Aut(Z_n, OP)| (строгие симметрии закона);
4. фиксирую кадровую группу Aff(n) и счётчик S1(n) = |Aff(n)|;
5. перехожу к факторизации конфигураций по Aff(n), получая орбиты и типы (это будет в Главе 2);
6. ввожу гейты, которые проверяют, что все эти величины действительно совпадают с каноном.

Смысл этой дисциплины: система различения объявляется «существующей» не потому, что она красиво описана, а потому что она проходит проверки, которые нельзя пройти риторикой.

1.9. Примеры счётчиков для L1–L5 (для ориентира)

Здесь я фиксирую базовые значения, которые затем должны подтверждаться валидаторами.

• L1: n=1
  phi(1)=1, tau(1)=1 (значения тривиальны, так как различения нет).
• L2: n=2
  phi(2)=1, поэтому S0(2)=1, S1(2)=2.
• L3: n=3
  phi(3)=2, поэтому S0(3)=2, S1(3)=6.
• L4: n=4
  phi(4)=2, поэтому S0(4)=2, S1(4)=8.
• L5: n=5
  phi(5)=4, поэтому S0(5)=4, S1(5)=20.

Факторизация пар (Q_pairs(n)) и строгая нормализация орбит — предмет Главы 2.

1.10. Итог главы 1

1. Уровень Ln задаётся конечным множеством Z_n и таблицей Кэли выбранного канона операции (PLUS или STAR(SUN)).
2. Строгие симметрии закона — автоморфизмы; в PLUS-каноне их число равно S0(n)=phi(n).
3. Кадровые симметрии задаются аффинной группой Aff(n); её мощность S1(n)=n*phi(n).
4. Разведены два типа эквивалентности: изоморфизмы таблиц (законов) и орбиты конфигураций при смене кадра.
5. «Закон вихря» фиксирован как протокол: таблица -> симметрии -> факторизация -> канон -> гейты.

Глава 2. Орбитальная факторизация конфигураций: пары и тройки под действием Aff(n)

В Главе 1 я развёл два уровня: (i) законы (таблицы Кэли и их изоморфизмы), (ii) конфигурации внутри фиксированного носителя и их факторизация по кадровым симметриям. Теперь я делаю следующий шаг закона вихря: формализую орбитальную факторизацию пар и затем троек при действии аффинной группы

Aff(n) = { f_{u,t}(x) = (u*x + t) mod n | gcd(u,n)=1, t in Z_n }.

Ключевой инженерный смысл: мы больше не рассматриваем «все пары/тройки как есть», а работаем с типами (орбитами), которые и являются устойчивыми объектами уровня.

2.1. Действие Aff(n) на конфигурациях

2.1.1. Упорядоченные пары

Множество упорядоченных пар:

OrdPair(n) = Z_n x Z_n.

Действие Aff(n):

f_{u,t} . (x,y) = (ux + t, uy + t) mod n.

2.1.2. Неупорядоченные пары

Множество неупорядоченных пар (мультимножества размера 2):

UnordPair(n) = { {x,y} | x,y in Z_n }.

Действие:

f_{u,t} . {x,y} = { f_{u,t}(x), f_{u,t}(y) }.

2.1.3. Упорядоченные тройки

Множество троек:

Triad(n) = Z_n x Z_n x Z_n,

действие:

f_{u,t} . (x,y,z) = (ux + t, uy + t, u*z + t) mod n.

2.2. Пары: нормализация и Лемма 1 (строго)

Я даю полную классификацию орбит упорядоченных пар и сразу получаю формулы числа орбит.

Определение (разность и gcd-инвариант)

Для пары (x,y) определим

Delta(x,y) = (y - x) mod n,

d(x,y) = gcd(Delta(x,y), n).

Лемма 1 (классификация орбит упорядоченных пар)

Лемма 1. Две упорядоченные пары (x,y) и (x',y') лежат в одной орбите действия Aff(n) тогда и только тогда, когда

gcd(y-x, n) = gcd(y'-x', n).

То есть орбиты OrdPair(n)/Aff(n) классифицируются делителями d | n.

Доказательство (через нормализацию пары)

Шаг 1. Инвариантность gcd.
Пусть f_{u,t} in Aff(n). Тогда

Delta(f.(x,y)) = (uy + t) - (ux + t) = u*(y-x) mod n.

Следовательно,

gcd(Delta(f.(x,y)), n) = gcd(u*Delta(x,y), n) = gcd(Delta(x,y), n),

поскольку gcd(u,n)=1. Значит d(x,y) неизменен на орбите.

Шаг 2. Нормализация сдвигом: (x,y) -> (0,Delta).
Возьмём f_{1,-x}. Тогда

f_{1,-x}.(x,y) = (0, y-x) = (0,Delta).

Значит каждая орбита содержит представителя вида (0,Delta).

Шаг 3. Сведение к действию единиц на Delta.
Преобразование f_{u,0} даёт

f_{u,0}.(0,Delta) = (0, u*Delta).

Поэтому два представителя (0,Delta) и (0,Delta') лежат в одной орбите тогда и только тогда, когда существует u с gcd(u,n)=1 такое, что

Delta' = u*Delta mod n.

Шаг 4. Транзитивность на множествах с фиксированным d.
Пусть d = gcd(Delta,n) = gcd(Delta',n). Тогда

Delta = da, Delta' = da',

где gcd(a, n/d)=gcd(a', n/d)=1.

В модуле m = n/d элементы a и a' обратимы, значит существует u0 такое, что

u0*a = a' mod m.

Тогда u0Delta = Delta' mod n. Выбирая представителя u congruent u0 mod m и взаимно простой с n (это реализуемо стандартной конструкцией по CRT), получаем требуемое u in Z_n^. Следовательно, все Delta с одним и тем же d лежат в одной орбите.

Итак, d полностью классифицирует орбиту. Лемма доказана. QED.

2.3. Число орбит пар: упорядоченные и неупорядоченные (разные объекты)

Теперь я фиксирую именно то, что вы требовали: формулы для числа орбит разных объектов, а не «всё одно и то же».

2.3.1. Упорядоченные пары (включая диагональ)

Из Леммы 1:

| OrdPair(n) / Aff(n) | = tau(n),

где tau(n) — число положительных делителей n.

Канонический представитель орбиты, соответствующей делителю d | n:

(0,d).

Диагональ (x=x) соответствует Delta=0, то есть d=n.

2.3.2. Упорядоченные пары без диагонали

Определим

OrdPair_neq(n) = { (x,y) in Z_n x Z_n | x не равно y }.

Это ровно исключение Delta=0, то есть исключение d=n. Следовательно,

| OrdPair_neq(n) / Aff(n) | = tau(n) - 1.

2.3.3. Неупорядоченные пары (включая диагональ)

Объект другой:

UnordPair(n) = { {x,y} | x,y in Z_n }.

Хотя объект другой, число орбит совпадает по причине того, что в Aff(n) есть преобразование, меняющее элементы местами.

Факт (swap лежит в Aff(n)).
Для любой пары x,y преобразование

s_{x,y}(z) = (-1)*z + (x+y) mod n

меняет x и y местами:

s_{x,y}(x)=y, s_{x,y}(y)=x.

Значит порядок внутри пары не является дополнительным инвариантом: он уже факторизован действием группы.

Отсюда:

| UnordPair(n) / Aff(n) | = tau(n).

2.3.4. Неупорядоченные пары без диагонали

Определим

UnordPair_neq(n) = { {x,y} | x не равно y }.

И снова исключается только класс Delta=0, значит:

| UnordPair_neq(n) / Aff(n) | = tau(n) - 1.

2.3.5. Примеры (контроль здравого смысла)

• n=4: tau(4)=3
  Орбиты упорядоченных пар: d in {1,2,4}.
  Без диагонали: 2 орбиты (d=1 и d=2).
• n=5: tau(5)=2
  Орбиты: d in {1,5}.
  Без диагонали: 1 орбита (все разные пары эквивалентны).

Это и есть строгая причина, почему на уровне пар «L3 и L5 выглядят одинаково», а L4 даёт третий тип связи: это не «мистика триады», а арифметика делителей n.

2.4. Тройки: нормализация и триадный инвариант (невырожденный режим)

Теперь я перехожу от пар к тройкам. Именно здесь появляется первый содержательный слой «вихря» как отличия между уровнями: на парах всё держится на gcd, на тройках появляется параметр отношения.

2.4.1. Нормализация тройки аффинным действием

Для тройки (x,y,z) применим сдвиг t=-x:

(x,y,z) -> (0, y-x, z-x) = (0, a, b),

где

a = (y-x) mod n,
b = (z-x) mod n.

Затем применим масштабирование u (gcd(u,n)=1):

(0,a,b) -> (0, ua, ub).

То есть классификация троек сводится к классификации пар (a,b) с одновременным умножением на единицу u.

2.4.2. Невырожденные тройки и инвариант r

Критически важна обратимость a. Если gcd(a,n)=1, то a обратим по модулю n, и можно нормализовать a в 1:

выбираем u = inv(a) mod n,

получаем:

(0, a, b) -> (0, 1, r),

где

r = b * inv(a) mod n.

Итак, в невырожденном режиме (gcd(a,n)=1) тройка классифицируется параметром r.

Это и есть ваш триадный инвариант:

Delta1 = (y-x) mod n
Delta2 = (z-x) mod n
если gcd(Delta1,n)=1, то
r = Delta2 * inv(Delta1) mod n.

2.4.3. Инвариантность r при действии Aff(n) (в невырожденном режиме)

Пусть f_{u,t} действует на (x,y,z). После нормализации к (0,Delta1,Delta2) мы имеем:

Delta1 -> uDelta1,
Delta2 -> uDelta2.

Тогда

r' = (uDelta2) * inv(uDelta1) mod n
= (u*Delta2) * (inv(Delta1)*inv(u)) mod n
= Delta2 * inv(Delta1) mod n
= r,

поскольку u обратим. Значит r — инвариант орбиты (при условии gcd(Delta1,n)=1).

2.5. Вырожденные тройки: когда inv(Delta1) не существует

Если gcd(Delta1,n) не равно 1, то инвариант r в форме выше не определён. Тогда классификация троек требует дополнительной структуры: появляются классы, зависящие от делителя d = gcd(Delta1,n), и инвариант строится уже в модуле n/d.

Практически для инженерного протокола достаточно разделить тройки на три класса:

1. дегенерация по совпадению: y=x или z=x (Delta1=0 или Delta2=0);
2. полувырожденный режим: gcd(Delta1,n)=d>1, но Delta1 не равно 0;
3. невырожденный режим: gcd(Delta1,n)=1.

В законе вихря именно этот разрыв и существенен: на уровне L4 (n=4) возникает промежуточный делитель 2, который создаёт устойчивый «полувырожденный» слой троек, невозможный для простых n.

2.6. Итог главы 2

1. Действие Aff(n) на парах позволяет строго классифицировать орбиты через d=gcd(Delta,n).
2. Число орбит упорядоченных пар и неупорядоченных пар (как разных объектов) равно tau(n); без диагонали равно tau(n)-1.
3. На тройках действует строгая нормализация: (x,y,z) -> (0,Delta1,Delta2) -> (0,1,r) в невырожденном режиме gcd(Delta1,n)=1, где r=Delta2*inv(Delta1) mod n — инвариант орбиты.
4. Вырожденные режимы троек появляются там, где у n есть нетривиальные делители (в частности, n=4), и именно они дают новый слой различения, который не виден на парах.

Глава 3. Закон вихря как вычислимая дисциплина: две категории, гейты, канон и спираль уровней

В Главе 1 я задал уровень Ln как (Z_n, OP) и развёл симметрии закона (Aut) и кадровые преобразования (Aff). В Главе 2 я построил орбитальную факторизацию конфигураций (пары и тройки) под действием Aff(n) и дал строгие формулы числа орбит и нормализацию (Лемма 1). Теперь я делаю последний шаг: оформляю «закон вихря» как строгую вычислимую процедуру, фиксируя:

(i) явное категориальное различение «конфигураций» и «изоморфизмов таблиц»;
(ii) канонический набор счётчиков уровня и их места в протоколе;
(iii) систему гейтов/валидаторов как форму инженерной верификации;
(iv) «спираль уровней» L1 -> L2 -> ... как повторяющийся цикл: симметрии -> орбиты -> канон -> переход.

Все формулы даны в ASCII.

3.1. Две разные категории: таблицы (законы) и конфигурации (наблюдаемые)

Ключевая строгость, без которой метод постоянно «плывёт»: нельзя смешивать

• изоморфизмы таблиц (симметрии/переопределения закона), и
• эквивалентность конфигураций (калибровочная смена кадра для наблюдаемых объектов).

Я фиксирую это как две категории.

3.1.1. Категория таблиц Кэли: CayleySys_n

Объекты. Объектом является пара (Z_n, OP), где OP: Z_n x Z_n -> Z_n — бинарная операция (закон), заданная таблицей Кэли.

Морфизмы. Морфизмом (изоморфизмом) между (Z_n, OP) и (Z_n, OP') является биекция

pi: Z_n -> Z_n

такая, что для всех x,y:

pi( OP(x,y) ) = OP'( pi(x), pi(y) ).

Композиция морфизмов — обычная композиция биекций. Тождественный морфизм — тождественная биекция.

Автоморфизмы. Aut(Z_n, OP) — группа автоморфизмов объекта (Z_n, OP) в этой категории.

Это и есть «строгие симметрии таблицы» в математическом смысле.

3.1.2. Категория конфигураций: Config_n

Здесь объектами служат не законы, а пространства конфигураций на фиксированном носителе Z_n, а морфизмы — кадровые преобразования.

Объекты. Для каждого типа конфигураций k я задаю объект:

Conf_k(n) = Z_n^k

(например, k=2 — пары, k=3 — тройки). При необходимости фиксируются подмножества (например, без диагонали).

Морфизмы. Морфизмом выступает преобразование из Aff(n), действующее диагонально:

f_{u,t}(x_1,...,x_k) = (ux_1 + t, ..., ux_k + t) mod n,
где gcd(u,n)=1, t in Z_n.

Орбиты. Фактор-объект (на уровне множеств) определяется как множество орбит:

Conf_k(n) / Aff(n).

Эти орбиты — не «симметрии закона», а типы конфигураций при смене кадра.

3.1.3. Почему это различение принципиально

• В CayleySys_n мы сравниваем законы: одна таблица Кэли может быть изоморфна другой.
• В Config_n мы сравниваем представления одного и того же пространства: разные координаты и разные сдвиги считаются калибровочно эквивалентными.

Смешение этих уровней ведёт к логическим ошибкам: например, утверждать «таблица изменилась», когда на деле произошла только смена кадра, или наоборот, «это просто переименование», когда реально изменён закон OP.

3.2. Канонический набор счётчиков уровня Ln

В вашей дисциплине «уровень» считается фиксированным, только если проходит проверяемый набор инвариантов. В базовой версии (для PLUS-канона, а STAR(SUN) проверяется гейтами отдельно) это три счётчика:

(1) S0(n) = |Aut(Z_n, OP)| (строгие симметрии закона),
(2) S1(n) = |Aff(n)| (кадровые симметрии),
(3) Q_pairs(n) = |OrdPair(n)/Aff(n)| = tau(n) (типы связей на парах).

Из Главы 1 и 2:

S0(n) = phi(n) (для OP=PLUS),
S1(n) = n*phi(n),
Q_pairs(n) = tau(n).

Дополнительно (различение объектов, требуемое строгостью):

Q_pairs_neq(n) = |OrdPair_neq(n)/Aff(n)| = tau(n) - 1,
и те же значения для неупорядоченных пар.

3.3. «Вихрь» как протокол: симметрии -> орбиты -> канон -> гейты

Теперь я фиксирую сам закон вихря в форме вычислимого цикла.

3.3.1. Определение (вихревой цикл уровня Ln)

Вихревой цикл уровня Ln — это алгоритм:

Step A (Law): зафиксировать закон OP (таблицу Кэли) на Z_n.
Step B (Aut): вычислить Aut(Z_n, OP) и счётчик S0(n).
Step C (Frame): зафиксировать Aff(n) и счётчик S1(n).
Step D (Orbits): факторизовать конфигурации (пары/тройки/эпизоды) по Aff(n), получив Q-слои.
Step E (Canon): выбрать канонических представителей орбит (нормализация).
Step F (Gates): прогнать гейты, подтверждающие совпадение с каноном.
Step G (Lift): определить переход Ln -> Lm (например, n -> n+1 или другие лифты), проверяя совместимость счётчиков/слоёв.

Смысл: «вихрь» не производит текст, а производит канонизированное состояние и протокол проверки.

3.4. Канонизация (нормализация) как обязательный элемент протокола

Без канонизации орбитальная факторизация остаётся «абстрактной». Канонизация делает её инженерно применимой: любой объект приводится к стандартной форме.

3.4.1. Канон пары

Для упорядоченной пары (x,y):

1. сдвигом t=-x приводим к (0,Delta),
2. далее классифицируем по d=gcd(Delta,n),
3. в каноне выбираем представителя (0,d).

Это и есть канонизация орбит пар.

3.4.2. Канон невырожденной тройки

Для тройки (x,y,z):

1. сдвигом t=-x приводим к (0,Delta1,Delta2),
2. если gcd(Delta1,n)=1, умножением u=inv(Delta1) приводим к (0,1,r),
   где r = Delta2*inv(Delta1) mod n.

Здесь (0,1,r) — канонический представитель орбиты в невырожденном классе.

Вырожденные классы требуют отдельного канона (по делителю d=gcd(Delta1,n)), и именно это является источником дополнительных слоёв различения для составных n.

3.5. Гейты и валидаторы: инженерная форма строгой проверяемости

Я фиксирую гейты как проверяемые контракты. Результат прогона валидаторов должен быть не «правдоподобный текст», а формальный исход:

Outcome in {PASS, BLOCK, REPAIR},
Trace: список применённых шагов/проверок,
Repair: минимальное исправление (если применимо).

Ниже базовый набор гейтов, достаточный для строгого ядра статьи.

3.5.1. Гейты уровня закона (таблица Кэли)

G_LAW_1 (closure): для всех x,y в Z_n OP(x,y) в Z_n.
G_LAW_2 (PLUS canonical): OP(x,y) = (x+y) mod n (если заявлен PLUS-канон).
G_LAW_3 (STAR SUN): если заявлен STAR(SUN), то:

• OP(0,x)=0 и OP(x,0)=0 для всех x,
• OP(x,y)=(x+y) mod n для x не равно 0,y не равно 0.

Замечание: фразу «STAR не обязана быть ассоциативной» я оставляю только как потенциальную свободу модели. В текущем каноне STAR определён явно; вопрос ассоциативности решается вычислительно отдельным гейтом (если он нужен), а не утверждением в тексте.

3.5.2. Гейты строгих симметрий (Aut)

G_AUT_1 (homomorphism): sigma(OP(x,y)) = OP(sigma(x),sigma(y)) для всех x,y.
G_AUT_2 (SUN fixed): для STAR sigma(0)=0.
G_AUT_3 (count): |Aut(Z_n,OP)| = S0(n); для PLUS-канона S0(n) = phi(n).

3.5.3. Гейты кадровых симметрий (Aff)

G_AFF_1 (form): допускаются только f_{u,t}(x)=(ux+t) mod n, gcd(u,n)=1.
G_AFF_2 (count): |Aff(n)| = nphi(n).
G_AFF_3 (action): действие на конфигурациях должно быть диагональным и согласованным.

3.5.4. Гейты орбитальной факторизации конфигураций

G_ORB_PAIR_1 (pair invariant): d=gcd(y-x,n) инвариант при Aff(n).
G_ORB_PAIR_2 (pair orbit count): |OrdPair(n)/Aff(n)| = tau(n).
G_ORB_PAIR_3 (pair orbit count no diag): |OrdPair_neq(n)/Aff(n)| = tau(n)-1.

G_ORB_TRIAD_1 (triad normalization): (x,y,z) канонизируется к (0,Delta1,Delta2).
G_ORB_TRIAD_2 (triad invariant): если gcd(Delta1,n)=1, то r=Delta2*inv(Delta1) mod n инвариант.

3.5.5. Что означает REPAIR в этой статье

В контексте данной статьи REPAIR — это минимальная правка спецификации, приводящая структуру к канону. Типичные ремонты:

• исправить таблицу OP в клетках, где нарушен канон,
• исправить роль SUN или условия STAR,
• исправить допустимый класс кадровых преобразований (запретить u с gcd(u,n) не равно 1),
• исправить процедуру канонизации (например, неверно взят инвариант).

REPAIR всегда должен быть формулирован как конечный атомарный патч, а не как «переписать теорию».

3.6. Спираль уровней: от L1 к Ln как повторяющаяся конструкция различения

Теперь я формулирую «многополярную спираль» строго, как итеративную процедуру.

3.6.1. L1 как нулевая точка различения

L1: n=1, Z_1={0}.
Здесь:

• закон OP тривиален (единственная таблица),
• Aut имеет мощность 1,
• Aff имеет мощность 1,
• конфигурации не содержат различий (всё диагонально).

Инженерно: в L1 нет нетривиальных симметрий и нет пространства различения.

3.6.2. Переход Ln -> Lm как лифт с проверкой совместимости

Переход уровня — это не «прибавить ещё одну метку». Это:

1. определить отображение lift: Z_n -> Z_m (или более общий подъём конфигураций),
2. проверить, что lift совместим с выбранным каноном закона и кадровыми преобразованиями,
3. проверить согласование счётчиков и орбитальных слоёв (гейты вложенности).

Уровни образуют спираль, потому что каждый шаг обязательно включает цикл:

Law -> Symmetry -> Orbit -> Canon -> Gate -> Lift.

Это не линейное «описание мира», а дисциплина сборки: каждый виток переводит структуру в более богатое различение, но только при сохранении проверяемых инвариантов.

3.7. Итог главы 3 (финальная фиксация)

1. Я ввёл два строгих слоя как две категории:
   CayleySys_n: таблицы Кэли и их изоморфизмы (симметрии закона),
   Config_n: конфигурации и их факторизация по Aff(n) (симметрии кадра).
2. Я зафиксировал канонический набор счётчиков уровня Ln:
   S0(n)=phi(n) (для PLUS),
   S1(n)=n*phi(n),
   Q_pairs(n)=tau(n)
   и отдельно указал объекты без диагонали: tau(n)-1.
3. Я оформил «закон вихря» как вычислимый цикл:
   таблица -> Aut -> Aff -> орбиты -> канон -> гейты -> лифт.
4. Я зафиксировал гейты как инженерные контракты, дающие исходы PASS/BLOCK/REPAIR и трассу проверки.

Тем самым «многополярность» в этой постановке является не рассказом, а алгебраической системой различения, где утверждения сводятся к проверяемым инвариантам и орбитальной факторизации.

Заключение

В настоящей работе «закон вихря» был доведён до формы вычислимой дисциплины различения, в которой нет места метафорам: каждый тезис либо редуцируется к таблице Кэли и действию групп, либо блокируется гейтом как некорректный.

Главная методологическая фиксация состоит в строгом разведении двух уровней объектов.

1. Уровень законов (таблиц Кэли).
   
   Уровень Ln задаётся как система (Z_n, OP), где OP: Z_n x Z_n -> Z_n — бинарный закон, полностью определяемый таблицей Кэли. Изоморфизмы таких систем задаются биекциями pi: Z_n -> Z_n, сохраняющими закон:
   
   pi(OP(x,y)) = OP'(pi(x),pi(y)).
   
   Именно здесь определяются строгие симметрии закона (автоморфизмы) Aut(Z_n,OP) и счётчик S0(n). В PLUS-каноне получено каноническое значение:
   
   S0(n) = phi(n).
2. Уровень конфигураций (наблюдаемых объектов).
   
   Пары, тройки и более общие конфигурации рассматриваются как элементы Z_n^k и факторизуются не по изоморфизмам закона, а по кадровым преобразованиям, образующим аффинную группу:
   
   Aff(n) = { x -> (ux + t) mod n | gcd(u,n)=1, t in Z_n }.
   
   Её мощность фиксируется строго:
   
   S1(n) = |Aff(n)| = nphi(n).
   
   Орбитальная факторизация по Aff(n) переводит «сырые» конфигурации в типы (орбиты), которые и являются устойчивыми объектами уровня.

На этом основании построена орбитальная классификация пар, дающая первый универсальный инвариант различения. Для упорядоченной пары (x,y) введена разность

Delta = (y-x) mod n

и доказано, что орбиты действия Aff(n) на OrdPair(n)=Z_n x Z_n полностью классифицируются значением

d = gcd(Delta,n).

Отсюда получены явные формулы числа орбит:

|OrdPair(n)/Aff(n)| = tau(n),

|OrdPair_neq(n)/Aff(n)| = tau(n) - 1,

и аналогичные значения для неупорядоченных пар (как отдельного объекта). Тем самым «типы связей» на парах фиксируются не интерпретацией, а арифметикой делителей n.

Для троек показано, что вихревой слой усложняется: после нормализации сдвигом (x,y,z)->(0,Delta1,Delta2) в невырожденном режиме gcd(Delta1,n)=1 возникает триадный инвариант

r = Delta2 * inv(Delta1) mod n,

который сохраняется при действии Aff(n). Это задаёт первый конструктивный механизм перехода от парных типов к триадным конфигурациям, где различение начинает зависеть не только от делителей, но и от отношения разностей.

Инженерная завершённость конструкции обеспечивается системой гейтов и валидаторов. Гейты фиксируют:

• корректность закона (замкнутость и канон PLUS/STAR(SUN)),
• корректность группы автоморфизмов и совпадение S0(n) с phi(n) (в PLUS-каноне),
• корректность кадровой группы и совпадение S1(n) с n*phi(n),
• корректность орбитальной факторизации (включая формулы для числа орбит на парах и нормализацию конфигураций).
  
  Выход процедуры принципиально имеет форму протокола: PASS/BLOCK/REPAIR, трасса проверок и (при необходимости) минимальный ремонт, а не риторическое «объяснение».

Тем самым закон вихря формулируется как повторяющийся вычислимый цикл:

таблица Кэли -> симметрии закона Aut -> кадровые симметрии Aff -> орбиты конфигураций -> канон -> гейты -> переход уровня.

В этой схеме «спираль уровней» L1->L2->... является не нарративом, а процедурой сборки: новый уровень допустим только тогда, когда он выдерживает проверяемую тройку счётчиков

S0(n)=phi(n), S1(n)=n*phi(n), Q_pairs(n)=tau(n),

и когда конфигурации приводятся к каноническим представителям орбит без скрытой подмены кадра.

Итоговая фиксация отличается простотой и жёсткостью. В данной постановке многополярность представляет собой алгебраическую систему различения, которая:

• задаёт конечный алфавит состояний;
• определяет закон композиции (в форме таблицы Кэли);
• выявляет симметрии закона и симметрии кадра;
• посредством орбитальной факторизации переводит конфигурации в устойчивые типы.

Любой спор о «правильности» в этой системе сводится к чисто вычислительным процедурам: необходимо проверить,

• совпадают ли инварианты,
• проходят ли конфигурации через заданные гейты,
• корректна ли процедура канонизации.

Именно в этом ключе «закон вихря» формирует строгую структуру, которая:

• не требует субъективной веры,
• не зависит от интерпретаций,
• опирается исключительно на формальные вычисления и проверяемые критерии.