Здравствуйте, дорогие девятиклассники! Сегодня мы с вами разбираем одну из самых красивых и важных тем в геометрии — окружность. Именно в задании №9 ОГЭ проверяются ваши знания о свойствах окружностей, и поверьте мне: если вы их хорошо усвоите, то эти задачи станут для вас одними из самых легких на экзамене.
Окружность — главные «действующие лица»
Давайте договоримся о терминах, чтобы говорить на одном языке:
· Центр (точка O) — «сердце» окружности, все точки окружности равноудалены от нее
· Радиус (OA, OB, OC) — отрезок, соединяющий центр с любой точкой окружности. Все радиусы одной окружности равны!
· Хорда (AB, CD) — отрезок, соединяющий две точки окружности
· Диаметр (AB, если проходит через центр) — самая большая хорда, равна двум радиусам
· Касательная (прямая a) — прямая, которая имеет с окружностью ровно одну общую точку (точку касания A)
· Секущая (прямая b) — прямая, которая пересекает окружность в двух точках
Основные свойства: правила, которые нельзя нарушать
1. Правило №1: Радиус и касательная — перпендикулярные друзья
Формулировка: Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной.
Почему это важно: Если в задаче есть касательная и радиус к точке касания — сразу ищите прямой угол (90°)! Это почти всегда ключ к решению.
2. Правило №2: Хорды и их расстояния до центра
Формулировка: Равные хорды равноудалены от центра. И наоборот: если хорды равноудалены от центра, то они равны.
3. Правило №3: Диаметр — хорда-«дирижер»
Формулировка: Диаметр, перпендикулярный хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею дуги пополам.
Если OM ⊥ AB, то AM = MB и ∪AM = ∪MB
Углы в окружности: учимся различать
Центральный угол — «угол из центра»
Определение: Угол с вершиной в центре окружности.
Свойство: Центральный угол измеряется дугой, на которую он опирается.
Вписанный угол — «угол с окружности»
Определение: Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность.
Свойство: Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.
Теорема о вписанном угле — золотое правило
Теорема: Вписанный угол равен половине соответствующего центрального угла, опирающегося на ту же дугу.
Важнейшее следствие: Все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны!
Особый случай: угол, опирающийся на диаметр
Свойство: Вписанный угол, опирающийся на диаметр, является прямым (90°).
Типичные ошибки: учимся на чужих ошибках
Ошибка 1: «Центральный и вписанный — почти одно и то же»
Неправильно: «∠AOB = ∠ACB» (если оба опираются на дугу AB)
Правильно: ∠AOB = 2·∠ACB
Ошибка 2: «Любая хорда через центр — это диаметр»
Неправильно: Любой отрезок через центр — диаметр
Правильно: Только тот отрезок, оба конца которого лежат на окружности
Ошибка 3: «Касательная может пересекать окружность»
Неправильно: Касательная может иметь две точки пересечения
Правильно: Касательная имеет ровно одну общую точку с окружностью
Ошибка 4: «Вписанный угол всегда острый»
Неправильно: Вписанный угол не может быть тупым
Правильно: Вписанный угол может быть любым от 0° до 180° (исключая концы)
Практика: Решаем задачи типа №9 из ОГЭ
Давайте применим все эти знания на практике. Я покажу вам, как рассуждать при решении.
Задача 1 (базовая)
В окружности с центром O проведены диаметр AB и хорда AC. Найдите угол между хордой AC и касательной к окружности в точке A, если ∠BAC = 35°.
Решение:
1. Чертим окружность, проводим диаметр AB, хорду AC, касательную в точке A.
2. ∠BAC = 35° — это вписанный угол, опирающийся на дугу BC.
3. Касательная в точке A и радиус OA перпендикулярны ⇒ ∠OAB = 90°.
4. Угол между хордой AC и касательной — это угол между AC и касательной.
5. Вспоминаем: угол между касательной и хордой равен вписанному углу, опирающемуся на дугу, стягиваемую этой хордой.
6. Хорда AC стягивает дугу AC. Вписанный угол, опирающийся на эту дугу — это ∠ABC.
7. ∠ABC и ∠BAC опираются на дугу AC? Проверим: ∠BAC опирается на дугу BC, а ∠ABC — на дугу AC.
8. В треугольнике ABC: ∠ABC = 180° - 90° - 35° = 55° (так как ∠C = 90°, опирается на диаметр).
9. Ответ: 55°.
Задача 2 (средней сложности)
В окружности проведены хорды AB и CD, пересекающиеся в точке E. Найдите CE, если AE = 8, BE = 6, DE = 4.
Решение:
1. Чертим окружность, две пересекающиеся хорды.
2. Вспоминаем теорему: при пересечении двух хорд произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой.
3. AE · EB = CE · ED
4. 8 · 6 = CE · 4
5. 48 = 4 · CE
6. CE = 12
7. Ответ: 12.
Алгоритм решения задач на окружность
Чтобы не запутаться, действуйте по плану:
1. Внимательно читаем условие — выписываем все данные
2. Делаем чертеж — аккуратно, с указанием всех точек
3. Смотрим, какие элементы есть — касательные, хорды, диаметры
4. Вспоминаем соответствующие теоремы — что нам дают эти элементы?
5. Составляем уравнение — если нужно найти числовое значение
6. Проверяем решение — нет ли противоречий с условием?
Тренировочные задачи для самостоятельной работы
Попробуйте решить сами:
1. В окружности с центром O хорды MN и PK пересекаются в точке A. Найдите PA, если MA = 5, NA = 4, KA = 2.
2. К окружности проведены касательная AB и секущая ACD (точки C и D лежат на окружности, C между A и D). Найдите AD, если AB = 8, AC = 4.
3. В окружности диаметр AB и хорда CK пересекаются в точке E. Найдите CK, если AE = 4, BE = 9, CE = 6.
Ответы для самопроверки:
1. 10 (по теореме о пересекающихся хордах: MA·NA = PA·KA)
2. 16 (по теореме о касательной и секущей: AB² = AC·AD)
3. 9 (используем свойство пересекающихся хорд, но осторожно: диаметр — это хорда, так что AE·EB = CE·EK, находим EK, затем CK = CE + EK)
Дорогие ребята, окружность — это удивительный объект с красивыми свойствами. Если вы разберетесь с этой темой, задание №9 станет для вас источником легких баллов на ОГЭ. На следующем уроке мы будем говорить о вписанных и описанных четырехугольниках.
Домашнее задание: Решите 5 задач на окружность из сборника ОГЭ. Обратите особое внимание на задачи с касательными и пересекающимися хордами.
Успехов!