Сегодня разберем уравнение 4-й степени, которое решается нестандартным приёмом — переходом к системе квадратных уравнений.
Пример 1
Решите уравнение (x² - 36)² + (x² + 4x - 12)² = 0
Проанализируем представленное уравнение. По сути, оно имеет вид Y² + Z² = 0, где Y = x² - 36, Z = x² + 4x - 12. Иными словами, это сумма квадратов каких-то выражений, которая равна нулю. Как известно, квадрат любого выражения неотрицателен, следовательно, сумма может быть равна нулю только в одном случае — когда оба слагаемых равны нулю одновременно.
Тогда получим систему из двух уравнений:
x² - 36 = 0 (1)
x² + 4x - 12 = 0 (2)
Решим первое уравнение.
x² - 36 = 0 => (x - 6)(x + 6) = 0 => x = -6, x = 6
Решим второе уравнение.
x² + 4x - 12 = 0
Выделим коэффициенты: a = 1, b = 4, c = -12. Затем найдём дискриминант: D = b² - 4ac = 4² - 4 * 1 * (-12) = 16 + 48 = 64. Следовательно, √D = 8.
Найдём корни уравнения:
x = (-b + √D) / 2a = (-4 + 8) / 2 = 4 / 2 = 2
x = (-b - √D) / 2a = (-4 - 8) / 2 = -12 / 2 = -6
Тогда x = 2, x = -6.
В итоге получим корни первого уравнения x = -6 и x = 6 и корни второго уравнения x = 2 и x = -6. Решением системы является только общий корень, т.е. x = -6.
Ответ: x = -6
Пример 2
Решите уравнение (x² - 4)² + (x² - 3x - 10)² = 0
Аналогично примеру 1 проанализируем представленное уравнение и получим систему из двух уравнений:
x² - 4 = 0 (1)
x² - 3x - 10 = 0 (2)
Решим первое уравнение.
x² - 4 = 0 => (x - 2)(x + 2) = 0 => x = -2, x = 2
Решим второе уравнение.
x² - 3x - 10 = 0
Выделим коэффициенты: a = 1, b = -3, c = -10. Затем найдём дискриминант: D = b² - 4ac = (-3)² - 4 * 1 * (-10) = 9 + 40 = 49. Следовательно, √D = 7.
Найдём корни уравнения:
x = (-b + √D) / 2a = (3 + 7) / 2 = 10 / 2 = 5
x = (-b - √D) / 2a = (3 - 7) / 2 = -4 / 2 = -2
Тогда x = 5, x = -2.
В итоге получим корни первого уравнения x = -2 и x = 2 и корни второго уравнения x = 5 и x = -2. Решением системы является только общий корень, т.е. x = -2.
Ответ: x = -2
Алгоритм
Составим алгоритм решения задания, основанный на приведенных решениях:
- Провести анализ уравнения. Если оно имеет вид Y² + Z² = 0, то перейти к системе из двух уравнений: Y = 0 и Z = 0.
- Решить каждое уравнение системы.
- Выделить из полученных корней общий, который является решением обоих уравнений.
- Записать этот корень в ответ.
Итог
Таким образом, уравнение четвертой степени, решение которого на первый взгляд должно быть достаточно объемным, сначала подвергается анализу, который позволяет свести задачу к решению простых квадратных уравнений, избежав раскрытия скобок.
Иными словами, если в уравнении вы видите сумму квадратов, равную нулю, — такое уравнение можно решить через систему более простых уравнений.
P.S. Все задания взяты из открытого банка заданий ОГЭ.
азберём один из типов задания 20 — уравнение третьей степени, решение которого занимает менее 10 строк.
Пример 1
Решите уравнение x³ + 6x² = 4x + 24
Перенесём все в левую часть: x³ + 6x² - 4x - 24 = 0
Группируем слагаемые: (x³ + 6x²) + (-4x - 24) = 0
Вынесем общие множители: x²(x + 6) - 4(x + 6) = 0
Ещё раз вынесем общие множители: (x + 6) * (x² - 4) = 0
Получим произведение скобок, которое равно нулю. Произведению может быть равно нулю тогда и только тогда, когда какой-либо из его множителей равен нулю.
Приравняем каждый из множителей к нулю.
x + 6 = 0 => x = -6
x² - 4 = 0 => (x - 2)(x + 2) = 0 => x = -2, x = 2
Ответ: x = -6, x = -2, x = 2.
Пример 2
Решите уравнение x³ + 5x² - 9x - 45 = 0
Группируем слагаемые: (x³ + 5x²) + (-9x - 45) = 0
Вынесем общие множители: x²(x + 5) - 9(x + 5) = 0
Ещё раз вынесем общие множители: (x + 5)*(x² - 9) = 0
Получим произведение скобок, которое равно нулю. Произведению может быть равно нулю тогда и только тогда, когда какой-либо из его множителей равен нулю.
Приравняем каждый из множителей к нулю.
x + 5 = 0 => x = -5
x² - 9 = 0 => (x - 3)(x + 3) = 0 => x = -3, x = 3
Ответ: x = -5, x = -3, x = 3.
Алгоритм
Составим алгоритм решения задания, основанный на приведенных решениях:
- Перенести все в левую часть (при необходимости).
- Сгруппировать слагаемые.
- Дважды вынести за скобки общие множители. В результате получится произведение скобок, равное нулю.
- Приравнять к нулю каждую из скобок в произведении.
- Решить полученные уравнения.
- Записать ответ.
Итог
Таким образом, решение подобного типа уравнений третьей степени в задании 20 сводится к применению четкого алгоритма, включающего группировку и решение простейших уравнений первой и второй степени.
P.S. Все задания взяты из открытого банка заданий ОГЭ.
🔥 Ваша очередь!
👇 Напишите в комментариях:
Какой шаг алгоритма показался самым сложным?
Это займёт 10 секунд, а я смогу подстроить тренажёр именно под ваши ошибки.
📌 Хочешь сразу все типы задания 20?
Мы готовимся к ОГЭ системно — по плану вторая часть будет ближе к маю.
Но если не терпится разобрать уравнения уже сейчас, я собрала все статьи в одной подборке:
👉 Вторая часть: задание 20 (все типы уравнений - здесь.
Там и новые типы, и сложные случаи, и разборы с лайфхаками.
Забирай, пока готовишься 🔥
✅ Самое надёжное — не отдельные статьи, а система.
Вы только что закрыли одно задание. Всего их 25.
📌 Дальше — задание 21.
👉 Разбор всех типов, ошибок и тренажёр - [выйдет к концу апреля: сразу добавлю ссылку]
🔔 Чтобы не искать — подпишитесь и нажмите колокольчик.
Тогда следующий разбор сам придёт к вам завтра в 10:00.
📚 А если хотите весь план подготовки сразу — заберите его здесь.
Рассчитан на 4 месяца, внутри: теория, разбор ошибок, тренажёры по ВСЕМ заданиям.