Сегодня разберем уравнение 4-й степени, которое решается нестандартным приёмом — переходом к системе квадратных уравнений.
Пример 1
Решите уравнение (x² - 36)² + (x² + 4x - 12)² = 0
Проанализируем представленное уравнение. По сути, оно имеет вид Y² + Z² = 0, где Y = x² - 36, Z = x² + 4x - 12. Иными словами, это сумма квадратов каких-то выражений, которая равна нулю. Как известно, квадрат любого выражения неотрицателен, следовательно, сумма может быть равна нулю только в одном случае — когда оба слагаемых равны нулю одновременно.
Тогда получим систему из двух уравнений:
x² - 36 = 0 (1)
x² + 4x - 12 = 0 (2)
Решим первое уравнение.
x² - 36 = 0 => (x - 6)(x + 6) = 0 => x = -6, x = 6
Решим второе уравнение.
x² + 4x - 12 = 0
Выделим коэффициенты: a = 1, b = 4, c = -12. Затем найдём дискриминант: D = b² - 4ac = 4² - 4 * 1 * (-12) = 16 + 48 = 64. Следовательно, √D = 8.
Найдём корни уравнения:
x = (-b + √D) / 2a = (-4 + 8) / 2 = 4 / 2 = 2
x = (-b - √D) / 2a = (-4 - 8) / 2 = -12 / 2 = -6
Тогда x = 2, x = -6.
В итоге получим корни первого уравнения x = -6 и x = 6 и корни второго уравнения x = 2 и x = -6. Решением системы является только общий корень, т.е. x = -6.
Ответ: x = -6
Пример 2
Решите уравнение (x² - 4)² + (x² - 3x - 10)² = 0
Аналогично примеру 1 проанализируем представленное уравнение и получим систему из двух уравнений:
x² - 4 = 0 (1)
x² - 3x - 10 = 0 (2)
Решим первое уравнение.
x² - 4 = 0 => (x - 2)(x + 2) = 0 => x = -2, x = 2
Решим второе уравнение.
x² - 3x - 10 = 0
Выделим коэффициенты: a = 1, b = -3, c = -10. Затем найдём дискриминант: D = b² - 4ac = (-3)² - 4 * 1 * (-10) = 9 + 40 = 49. Следовательно, √D = 7.
Найдём корни уравнения:
x = (-b + √D) / 2a = (3 + 7) / 2 = 10 / 2 = 5
x = (-b - √D) / 2a = (3 - 7) / 2 = -4 / 2 = -2
Тогда x = 5, x = -2.
В итоге получим корни первого уравнения x = -2 и x = 2 и корни второго уравнения x = 5 и x = -2. Решением системы является только общий корень, т.е. x = -2.
Ответ: x = -2
Алгоритм
Составим алгоритм решения задания, основанный на приведенных решениях:
- Провести анализ уравнения. Если оно имеет вид Y² + Z² = 0, то перейти к системе из двух уравнений: Y = 0 и Z = 0.
- Решить каждое уравнение системы.
- Выделить из полученных корней общий, который является решением обоих уравнений.
- Записать этот корень в ответ.
Итог
Таким образом, уравнение четвертой степени, решение которого на первый взгляд должно быть достаточно объемным, сначала подвергается анализу, который позволяет свести задачу к решению простых квадратных уравнений, избежав раскрытия скобок.
Иными словами, если в уравнении вы видите сумму квадратов, равную нулю, — такое уравнение можно решить через систему более простых уравнений.
P.S. Все задания взяты из открытого банка заданий ОГЭ.
Заключение
Для того, чтобы и дальше следить за публикациями на тему подготовки к ОГЭ по математике, подписывайтесь на мой канал. Также не забудьте посмотреть следующие полезные статьи:
Все для ОГЭ по математике 2025 в одной статье
Легальная шпаргалка для ОГЭ по математике 2025 : что такое справочные материалы и зачем они нужны
Как рассчитать свою оценку за ОГЭ по математике в 2025 году?