Метод Ньютона и метод Галлея для численного решения уравнений - сравнение.

Добавил в свою JavaScript программу метод Галлея. Интересно сравнить оба метода. Вот краткое описание обоих:

Метод Ньютона

Метод Галлея

Изображения формул мелковаты, но их можно увеличить в отдельном окне.

Метод Галлея более сложный в вычислении и использует не только первую производную, как метод Ньютона, но также и вторую производную.

Возьмём для поиска корней классическое уравнение

Z**5 - 1 = 0

Фрактал "бассейн Ньютона" для этого уравнения неизменно приводится в статьях всех википедий и кочует из одного реферата в другой.

Получим его и мы с помощью моей программы:

Бассейн Ньютона.

Параметры бассейна:

• область x=-5.5 ... +5.5, y=-3 .. +3
• максимальное число итераций - 40
• погрешность - 1e-9

Статистика запуска:

Статистика запуска по методу Ньютона.

Попробуем найти корни уравнения с такими же параметрами, но методом Галлея:

Метод Галлея

Статистика запуска:

Статистика запуска метода Галлея.

Как и ожидалось, метод Галлея с его кубической сходимостью находит корни намного быстрее чем метод Ньютона с квадратичной сходимостью.

Но для поиска красивых фракталов метод Галлея также неплохо подходит.

Вот некоторые примеры для разных уравнений, параметров итераций и цветовых схем:

Спасибо за внимание.

∎