55 подписчиков

Основная теорема алгебры

5 января5 янв

2 мин

или коротко почему без ТФКП невозможно понять то, что в технических университетах называют "Высшей математикой" Основная теорема алгебры — утверждение о том, что поле комплексных чисел алгебраически замкнуто (чего нельзя сказать о поле вещественных чисел, где уранение x^2+1 = 0 не имеет решений, хотя имеет 2 комплексных корня i ; -i), то есть что всякий отличный от константы многочлен (от одной переменной) с комплексными коэффициентами имеет по крайней мере один корень в поле комплексных чисел. Утверждение справедливо и для многочленов с вещественными коэффициентами, так как всякое вещественное число является комплексным с нулевой мнимой частью. Например решения квадратного уравния с D < 0 Самое простое доказательство этой теоремы даётся методами комплексного анализа. Используется тот факт (теорема Лиувилля), что ограниченная функция, аналитическая на всей комплексной плоскости (целая функция) и не имеющая особенностей на бесконечности, — константа. Поэтому функция 1/p(z) , где p(z)

ru.ruwiki.ru

Основная теорема алгебры — Рувики: Интернет-энциклопедия

или коротко почему без ТФКП невозможно понять то, что в технических университетах называют "Высшей математикой"

Основная теорема алгебры — утверждение о том, что поле комплексных чисел алгебраически замкнуто (чего нельзя сказать о поле вещественных чисел, где уранение x^2+1 = 0 не имеет решений, хотя имеет 2 комплексных корня i ; -i), то есть что всякий отличный от константы многочлен (от одной переменной) с комплексными коэффициентами имеет по крайней мере один корень в поле комплексных чисел. Утверждение справедливо и для многочленов с вещественными коэффициентами, так как всякое вещественное число является комплексным с нулевой мнимой частью.

Например решения квадратного уравния с D < 0

Самое простое доказательство этой теоремы даётся методами комплексного анализа. Используется тот факт (теорема Лиувилля), что ограниченная функция, аналитическая на всей комплексной плоскости (целая функция) и не имеющая особенностей на бесконечности, — константа. Поэтому функция 1/p(z) , где p(z) — многочлен, не сводящийся к константе, должна иметь хоть один полюс на комплексной плоскости, а, соответственно, многочлен p(z) имеет хотя бы один корень.

Прямым следствием из теоремы является то, что любой многочлен степени {n} над полем комплексных чисел имеет в нём ровно {n} корней, с учётом их кратности ( это чистая теорема существования ).

Доказательство следствия

У многочлена f(x) есть корень a , — значит, по теореме Безу, он представим в виде (x-a)g(x) , где g(x) — некоторый многочлен, степень которого на 1 меньше степени f(x) , и у него по основной теореме алгебры тоже будет хотя бы один корень, который может не равняться "a", а может и совпасть с "a" (в последнем случае корень "a" окажется кратным). Применим теорему Безу к g(x) и будем использовать её таким же образом до тех пор, пока на месте g(x) не окажется многочлен первой степени.

Другими словами, алгебраическое замыкание поля действительных чисел есть поле комплексных чисел.

Насколько сложна теорема Лиувилля ?

Доказательство основанно на интегральном представлении Коши аналитической функции и ее производных

Смотри, например, Вывод формулы Коши — Помпейю или ТФКП одной переменной в его современном понимании и изложении ( слабое подражение Ларсу Хермандеру )

Вывод формулы Коши — Помпейю или ТФКП одной переменной в его современном понимании и изложении ( слабое подражение Ларсу Хермандеру )

Борис Державец4 января

Это чисто компилятивный пост. Я просто хочу сказать, что не так страшны комплексная плоскость (поле комплексных чисел в котором двумерные векторы можно перемножать в отличие от R^2) и ТФКП одного переменного ( в инженерных границах Общей физики ) в отличие Многомерного комплексного анализа ( проблематика Квантовой физики )