Математики очень ленивы. Не то, чтобы они ничего не хотят делать. Но из-за природной лени с энтузиазмом пытаются облегчить себе жизнь, изобретая различные приемы, упрощающие доказательства и логические построения. Один из таких приемов - принцип Дирихле, который можно назвать принципом неизбежности.
Звучит принцип Дирихле так: "Если рассаживать 11 кроликов по 10 клеткам, то хотя бы в одной клетке окажется два или более кроликов." Рассаживать по клеткам можно кого угодно, например голубей, но суть не изменится: неизбежно случится то, что должно случиться - в одной клетке окажется пара, либо более, кроликоголубей. Как бы мы не пытались не допустить этого, рассадив поначалу в каждую клетку по одной особи, десять клеток будут заполнены, и одиннадцатую особь придется помещать в какую-то из клеток в пару к уже находящемуся там животному.
Впервые формулировка данного принципа встречается в «Занимательной математике», аж 1624 года, под предположительным авторством французского математика Жана Лёшерона. Но известность этот принцип получил в 1834 году после его применения Иоганном Петером Густавом Лежёном Дирихле́ - немецким математиком, членом Берлинской, Петербургской и Парижской академий, а также Лондонского королевского общества.
Дирихле, как мы видим, был серьезным математиком для своего времени, он даже доказал великую теорему Ферма для пятой степени. Но серьезно ли воспринимал он применяемый принцип, неизвестно. А применял он его в доказательствах в области теории чисел. Другие математики относились к принципу Дирихле также преимущественно утилитарно: принцип делает доказательства и решение некоторых задач проще и понятнее.
Давайте, например, применим принцип Дирихле для решения шуточной задачи о лысеющих новогодних живых ёлках.
Новогодние (рождественские) ёлки объединяют людей. Есть они в большинстве квартир и домов, внося в них всеобщую атмосферу праздника. Но стоять им приходится неделями, от Нового Года до Рождества, потом до Старого Нового Года, потому с "живых" ёлок иголки постепенно осыпаются. И ёлки постепенно лысеют. И это еще один факт, объединяющий их хозяев. Почему? Чтобы ответить на этот вопрос, решим следующую задачу.
Пусть на ёлке природой задано до 600 000 иголок, не более. Докажем теперь, что в таком городе, как Москва, есть по крайней мере две квартиры, в которых могут быть ёлки с одинаковым числом иголок (предположим, что "живые" ёлки установлены в не менее, чем 1 000 000 квартир москвичей, то есть ёлок 1 000 000). И тут нам поможет принцип Дирихле. Предлагаю сначала читателям самостоятельно применить его для решения этой задачи...
Итак, пусть заданное количество иголок от 0 до 600 000 - это 600 001 "клетка", в которые мы рассаживаем 1 000 000 ёлок. Обязательно, согласно принципу Дирихле, в какой-то из клеток окажется 2 ёлки.
Иначе, как бы мы не пытались распределить количество иголок по ёлкам, разнообразия в количестве хватит на 600 001 ёлку, дальше могут быть только повторения. Значит в двух квартирах где-то на бескрайних просторах Москвы, на бесконечных этажах новостроек, есть одинаково лысые ёлки. Хозяева скорее всего не знают об этом факте, но факт этот делает миры их квартир похожими. Факт этот делает эти миры близкими.
Представим, что ёлок не миллион, а миллиард. Нет, представим, что ёлок бесконечно много (такой огромной когда-то станет Москва, если ничего не предпринять). В скольких квартирах будут стоять одинаковые ёлки, в скольких квартирах будет схожая атмосфера праздника? Очевидно (но не наверняка) количество таких квартир с одинаковыми ёлками будет бесконечно много, то есть всегда найдется каждой квартире парная квартира с одинаково лысой ёлкой.
А теперь представим, что квартира с ёлкой в ней - эта планета Земля, на которой мы с Вами живем. Физико-химические параметры, геология, удаленность от звезды нашей планеты и другие условия - это количество иголок. А бесконечное количество квартир - это бесконечное число планет. Каждой квартире-планете согласно принципу Дирихле найдется схожая планета. В бесконечной Вселенной схожая до самых мелких подробностей. До такой степени схожая, что может случиться так, что где-то прямо сейчас в какой-то из точек Вселенной такой же, как Вы, человек читает такую же статью на таком же компьютере, написанную на том же, что пишу и я, русском языке.
Это всего лишь Гипотеза. Но, согласитесь, согревающая нас, несущая нам ощущение того, что мы не одиноки. Даже если мы одни в своей московской квартире, даже в эти новогодние праздники.
Знал ли Дирихле, что рассаживая кроликов по клеткам, он объединяет миры? Возможно. Или, наоборот, думал при этом только о теории чисел? Возможно. Возможно всякое.... И возможно повторение этого всякого. Согласно принципу Дирихле.
Уважаемые читатели, если Вам понравился материал статьи и стиль его изложения, поддержите, пожалуйста, автора подпиской и поставьте👍 ...