Лока 4 (L4): просто и понятно о четырёхполярности

1. Что такое L4

L4 — это система из четырёх базовых элементов, связанных операцией *. Элементы:

• (+) — нейтральное состояние («начало»);
• i — первый «поворот»;
• (-) — противоположное состояние («пол‑оборота»);
• (-i) — второй «поворот» («три четверти оборота»).

Ключевое правило (операция *):
Чтобы «перемножить» два элемента, нужно:

1. Взять их числовые коды (см. ниже).
2. Сложить коды.
3. Найти остаток от деления суммы на 4 (mod 4).
4. По остатку определить результат.

Коды элементов (exp_map):

• (+) → 0;
• i → 1;
• (-) → 2;
• (-i) → 3.

Пример: i * (-i)

1. Коды: 1 + 3 = 4.
2. 4 mod 4 = 0.
3. Код 0 → (+).
   → Итог: i * (-i) = (+).

Важное свойство:
(+) * x = x * (+) = x для любого элемента x. То есть (+) работает как «ноль» при сложении.

2. Плоскостная четырёхполярность: старые имена для новых правил

Иногда элементы L4 обозначают буквами:

• 0 ≡ (+) (нейтраль);
• A ≡ i;
• B ≡ (-);
• C ≡ (-i).

Это не новая система, а просто другие названия для тех же четырёх элементов.

• Основные законы (теорема 4 по В. Ленскому https://mudrec.us/Комплексные_числа__Четырёхполярность.html) (В. Ленский — абсолютный авторитет и создатель многополярности):

1. Квадраты:
   A * A = B (то есть i * i = (-));
   C * C = B (то есть (-i) * (-i) = (-));
   B * B = 0 (то есть (-) * (-) = (+)).
2. Смешанные связи:
   A * C = 0 (i * (-i) = (+));
   A * B = C (i * (-) = (-i));
   B * C = A ((-) * (-i) = i).
3. Порядки (сколько раз «умножить» элемент на себя, чтобы получить 0):
   4A = 0 (A * A * A * A = 0);
   2B = 0 (B * B = 0);
   4C = 0 (C * C * C * C = 0).
4. Следствия:
   5A = A, 5B = B, 5C = C;
   3B = B.

Почему так?
Всё сводится к сложению кодов по модулю 4:

• A * A: 1 + 1 = 2 → B;
• C * C: 3 + 3 = 6; 6 mod 4 = 2 → B;
• B * B: 2 + 2 = 4; 4 mod 4 = 0 → 0;
• A * C: 1 + 3 = 4; 4 mod 4 = 0 → 0.

3. «Объёмная» четырёхполярность: нейтральный элемент как «единица»

Иногда нейтральный элемент обозначают не как 0, а как ☼ («единица»). Это просто другое имя для (+). Остальные элементы остаются теми же:

• ☼ ≡ (+);
• A ≡ i;
• B ≡ (-);
• C ≡ (-i).

Ключевые законы (теорема 15 по В. Ленскому https://mudrec.us/Комплексные_числа__Четырёхполярность.html):

1. A * C = ☼ (C — «обратный» к A);
2. A * B = C;
3. B * C = A;
4. A * A = B;
5. B * B = ☼;
6. C * C = B;
7. A * A * A = C;
8. B * B * B = B;
9. C * C * C = A;
10. A⁴ = B⁴ = C⁴ = ☼.

Почему C * C = B?
Код C = 3, значит:
3 + 3 = 6; 6 mod 4 = 2 → код 2 = B.
То есть C * C обязано быть B, а не A или ☼.

4. Разные «языки» описания (презентации, gauge)

Одну и ту же систему L4 можно описать четырьмя способами, просто меняя «нейтральный» элемент. Например:

• В одной презентации нейтраль — (+);
• В другой — i, но тогда все остальные элементы «сдвигаются» по коду.

Важно:

• Это не четыре разные системы, а четыре способа назвать одно и то же;
• Все законы переводятся друг в друга через переобозначение элементов;
• Нельзя одновременно считать нейтральными два разных элемента — только один в каждой презентации.

5. Пример из математики: комплексные числа

Возьмём четыре корня единицы: {+1, +i, −1, −i}. Сопоставим:

• (+) ≡ +1;
• i ≡ +i;
• (-) ≡ −1;
• (-i) ≡ −i.

Тогда:

• i * i = −1 (A * A = B);
• (−i) * (−i) = −1 (C * C = B);
• i * (−i) = +1 (A * C = ☼);
• (−1) * (−1) = +1 (B * B = ☼);
• i * (−1) = −i (A * B = C).

Это та же L4, но в «комплексном» виде. Важно: здесь речь только о умножении этих четырёх чисел, а не о полном множестве комплексных чисел.

6. Как считать: простой алгоритм

Чтобы вычислить X * Y:

1. Найдите коды X и Y (см. exp_map выше).
2. Сложите коды.
3. Возьмите остаток от деления суммы на 4.
4. Определите результат по остатку.

7. Примеры вычислений в L4

Пример 1: A * B * C * A * B (A = i, B = (−), C = (−i))

Шаг 1. Записываем коды элементов:

• A → 1;
• B → 2;
• C → 3;
• A → 1;
• B → 2.

Шаг 2. Складываем коды:
1 + 2 + 3 + 1 + 2 = 9.

Шаг 3. Находим остаток от деления на 4:
9 mod 4 = 1.

Шаг 4. Определяем результат по коду 1:
код 1 → A (i).

Итог: A * B * C * A * B = A.

Пример 2: B * C * B (B = (−), C = (−i))

Вариант 1: через коды (быстрый способ)

Шаг 1. Коды элементов:

• B → 2;
• C → 3;
• B → 2.

Шаг 2. Складываем:
2 + 3 + 2 = 7.

Шаг 3. Остаток от деления на 4:
7 mod 4 = 3.

Шаг 4. Результат по коду 3:
код 3 → C (−i).

Итог: B * C * B = C.

Вариант 2: поэтапно (по шагам операции *)

Шаг 1. Вычисляем B * C:

• Коды: 2 + 3 = 5;
• 5 mod 4 = 1;
• код 1 → A (i).
  → B * C = A.

Шаг 2. Теперь A * B:

• Коды: 1 + 2 = 3;
• код 3 → C (−i).
  → A * B = C.

Итог: B * C * B = (B * C) * B = A * B = C.

Пример 3: A * A * A (A = i)

Шаг 1. Коды:

• A → 1;
• A → 1;
• A → 1.

Шаг 2. Сумма:
1 + 1 + 1 = 3.

Шаг 3. Остаток:
3 mod 4 = 3.

Шаг 4. Результат:
код 3 → C (−i).

Итог: A * A * A = C.

Пример 4: C * C * C (C = −i)

Шаг 1. Коды:

• C → 3;
• C → 3;
• C → 3.

Шаг 2. Сумма:
3 + 3 + 3 = 9.

Шаг 3. Остаток:
9 mod 4 = 1.

Шаг 4. Результат:
код 1 → A (i).

Итог: C * C * C = A.

Пример 5: B * B * B (B = −1)

Шаг 1. Коды:

• B → 2;
• B → 2;
• B → 2.

Шаг 2. Сумма:
2 + 2 + 2 = 6.

Шаг 3. Остаток:
6 mod 4 = 2.

Шаг 4. Результат:
код 2 → B (−1).

Итог: B * B * B = B.

8. Общий алгоритм для любых произведений в L4

Чтобы вычислить X₁ * X₂ * … * Xₙ:

1. Найдите коды всех элементов Xᵢ (см. таблицу кодов).
2. Сложите коды: S = enc(X₁) + enc(X₂) + … + enc(Xₙ).
3. Найдите остаток: R = S mod 4.
4. Определите результат по коду R (0 → (+), 1 → i, 2 → (−), 3 → (−i)).

Важно:

• Порядок умножения не влияет на результат (операция * ассоциативна).
• Результат всегда будет одним из четырёх элементов L4.
• Если остаток R = 0, результат — нейтральный элемент ((+) или ☼).

9. Расширенные вычисления: цепочки произвольной длины

Покажем, как применять алгоритм к более сложным выражениям.

Пример 6: A * A * B * C * C * A (A = i, B = (−), C = (−i))

1. Коды элементов:
   1, 1, 2, 3, 3, 1.
2. Сумма кодов:
   1 + 1 + 2 + 3 + 3 + 1 = 11.
3. Остаток от деления на 4:
   11 mod 4 = 3.
4. Результат по коду 3:
   код 3 → C (−i).

Итог: A * A * B * C * C * A = C.

Проверка поэтапно:

• A * A = B (1 + 1 = 2);
• B * B = 0 (2 + 2 = 4 → 0);
• 0 * C = C (0 + 3 = 3);
• C * C = B (3 + 3 = 6 → 2);
• B * A = C (2 + 1 = 3).

Совпадает: итоговый результат — C.

10. Особые случаи и «ловушки» в вычислениях

Случай 1: умножение на нейтральный элемент

Любое выражение, содержащее (+) (или 0, ☼), упрощается:

• X * (+) = X;
• (+) * X = X.

Пример: A * (+) * B * (+) = A * B = C.

Случай 2: степени элементов

Можно сразу вычислять степени через умножение кода на показатель:

• Xⁿ = dec( (n · enc(X)) mod 4 ).

Примеры:

• A³ = dec( (3 · 1) mod 4 ) = dec(3) = C;
• B³ = dec( (3 · 2) mod 4 ) = dec(6 mod 4) = dec(2) = B;
• C⁴ = dec( (4 · 3) mod 4 ) = dec(12 mod 4) = dec(0) = (+).

Случай 3: «циклические» равенства

Из-за модуля 4 работают тождества:

• X⁴ = (+) для любого X (порядок элементов не выше 4);
• X⁵ = X (так как 5 mod 4 = 1);
• X⁶ = X² (6 mod 4 = 2).

Пример:
A⁷ = A³ (7 mod 4 = 3), то есть A⁷ = C.

11. Практические советы по вычислениям

1. Сокращайте длинные цепочки
   Если в произведении много одинаковых элементов, считайте их степени отдельно:
   A * A * A * B * B = A³ * B² = C * 0 = C.
2. Используйте нейтраль для упрощения
   Любой фрагмент вида … * (+) * … можно удалить:
   A * (+) * B = A * B = C.
3. Проверяйте промежуточные шаги
   Для сложных выражений полезно вычислять результат по частям (как в примере 6).
4. Запомните ключевые равенства
   i * i = −1;
   (−i) * (−i) = −1;
   i * (−i) = +1;
   (−1) * (−1) = +1.

12. Интерпретация результатов

Что означает полученный результат?

• Код 0 (+) — «нейтраль», система вернулась в исходное состояние.
• Код 1 (i) — первый «поворот» (аналог мнимой единицы).
• Код 2 (−) — противоположное состояние (как умножение на −1).
• Код 3 (−i) — второй «поворот» (обратный к i).

Физический аналог: представьте циферблат с 4 делениями (0, 1, 2, 3). Каждое умножение — шаг по циферблату. Сумма шагов по модулю 4 показывает конечное положение.

13. Типичные ошибки и как их избежать

1. Путаница с нейтральным элементом
   Не смешивайте обозначения: 0, (+), ☼ — это один и тот же элемент в разных нотациях.
   Проверка: X * нейтраль = X.
2. Неверный порядок операций
   Операция * ассоциативна, но не коммутативна в общем случае (хотя в L4 она коммутативна). Всегда проверяйте соответствие кодов.
3. Ошибки в модульной арифметике
   Помните: остаток от деления на 4 может быть только 0, 1, 2 или 3.
   Пример: 7 mod 4 = 3, а не −1.
4. Пропуск элементов в длинных цепочках
   При подсчёте суммы кодов перепроверьте, все ли элементы учтены.

14. Резюме: ключевые правила L4

1. Носитель: {(+), i, (−), (−i)} (или {0, A, B, C}, {☼, A, B, C}).
2. Операция *: сложение кодов по модулю 4.
3. Коды:
   (+) → 0;
   i → 1;
   (−) → 2;
   (−i) → 3.
4. Нейтраль: X * (+) = X.
5. Порядок элементов:
   A⁴ = B⁴ = C⁴ = (+);
   B² = (+).
6. Основные равенства:
   A * A = B;
   C * C = B;
   A * C = (+);
   A * B = C;
   B * C = A.

15. Дальнейшие направления

1. Переход к 8‑полярности
   Можно расширить L4 до 8 элементов (например, добавив √i, √(−i) и т. п.), но это требует новых правил суперпозиции.
2. Приложения в физике
   L4 используется для моделирования:
   поляризаций волн;
   спиновых состояний;
   дискретных симметрий.
3. Связь с группами
   L4 изоморфна циклической группе C₄ и подгруппе кватернионов {1, i, −1, −i}.
4. Программирование
   Алгоритм exp_map легко реализуется в коде (например, через массивы и операции по модулю).

Заключение

L4 — это простая, но мощная система для описания циклических отношений. Её сила — в универсальности: один и тот же алгоритм работает для любых обозначений (0/A/B/C, +/i/−/−i, ☼/A/B/C и др.), поскольку суть L4 — не в именах элементов, а в структуре их взаимосвязей.

Ключевые достоинства L4

1. Минимализм
   Всего 4 элемента — достаточно для описания базовых циклических процессов.
   Одна операция * — заменяет сложные правила другими системами.
   Каноническая кодировка (exp_map) сводит всё к арифметике по модулю 4.
2. Инвариантность
   Система сохраняет свойства при смене обозначений (нейтральный элемент может быть 0, + или ☼).
   Все «презентации» (gauge) изоморфны — это разные языки для одной структуры.
3. Предсказуемость
   Любые произведения вычисляются по единому алгоритму:
   сложить коды элементов;
   взять остаток от деления на 4;
   декодировать результат.
   Нет исключений — правила работают для цепочек любой длины.
4. Расширяемость
   L4 служит «скелетом» для более сложных систем (например, 8‑полярности).
   Позволяет накладывать дополнительные слои (линейные, вероятностные) без разрушения базовой логики.

Где применяется L4

• Математика:
  модель циклической группы порядка 4 (C₄);
  подгруппа кватернионов;
  основа для построения комплексных чисел.
• Физика:
  описание поляризаций волн;
  моделирование спиновых состояний;
  дискретные симметрии в квантовых системах.
• Информатика:
  алгоритмы кодирования и криптографии;
  обработка сигналов (фазовые сдвиги);
  конечные автоматы.
• Логика и философия:
  пример «расширения языка» без потери согласованности;
  инструмент для анализа бинарных и троичных оппозиций.

Почему L4 остаётся актуальной

1. Педагогическая ценность:
   идеальный пример для изучения групп, изоморфизмов, модульной арифметики.
2. Практичность:
   алгоритмы на базе L4 легко реализуются в коде и схемотехнике.
3. Фундаментальность:
   отражает универсальные паттерны циклических процессов (от колебаний до логических циклов).

Итоговый вывод

L4 демонстрирует, как простота структуры может порождать богатую семантику. Её правила:

• интуитивно понятны;
• строго формализуемы;
• масштабируемы для прикладных задач.

Это не просто математическая абстракция, а универсальный язык для описания систем, где важны:

• цикличность;
• обратимость;
• сохранение ключевых инвариантов.

Освоив L4, можно:

• глубже понимать комплексные числа и группы;
• строить модели с гарантированной согласованностью;
• находить аналогии между, казалось бы, далёкими областями знаний.