1

1. Строгое математическое определение индекса гравитационного контура

Рассмотрим экономическую систему

[ S = {1,2,\dots,n}, ]

состоящую из ( n ) подсистем (отраслей, регионов, кластеров).

1.1. Реальная стоимость подсистем

Каждой подсистеме ( i ) сопоставляется величина реальной стоимости выпуска за период ( T ):

[ V_i \ge 0, \quad i = 1,\dots,n. ]

Совокупная масса стоимости системы:

[ M = \sum_{i=1}^{n} V_i. ]

Предполагается ( M > 0 ).

1.2. Межотраслевые потоки стоимости

Определим матрицу межсистемных потоков:

[ F = [F_{ij}], \quad i,j = 1,\dots,n, ]

где ( F_{ij} \ge 0 ) — объём стоимости, передаваемой из подсистемы ( i ) в подсистему ( j ) за период ( T ).

Для ( i = j ) элемент ( F_{ii} ) может трактоваться как внутренний оборот, но в базовой связности учитываются только ( i \neq j ).

Суммарный межсистемный поток:

[ F_{\text{tot}} = \sum_{\substack{i,j = 1 \ i \neq j}}^{n} F_{ij}. ]

1.3. Коэффициент связности

Коэффициент связности ( C ) определяется как доля стоимости, проходящая через межсистемные связи, по отношению к общей массе стоимости:

[ C = \frac{F_{\text{tot}}}{M}. ]

Требование:

[ C \ge 0. ]

1.4. Интенсивность оборота

Введём среднюю интенсивность межсистемного оборота (нормированную скорость потоков):

[ \tilde{V}f = \frac{F{\text{tot}}}{M \cdot T}. ]

Интерпретация: сколько единиц стоимости в среднем проходит через связи системы за единицу времени в расчёте на единицу массы стоимости.

1.5. Потери и утечки

Каждой подсистеме ( i ) сопоставляется величина потерь стоимости за период ( T ):

[ L_i \ge 0, \quad i = 1,\dots,n. ]

Совокупные потери:

[ L = \sum_{i=1}^{n} L_i. ]

Предполагается ( L > 0 ) (при ( L = 0 ) система трактуется как идеальная; индекс тогда можно рассматривать как предельный).

1.6. Базовое определение индекса гравитационного контура

Определение.

Индекс гравитационного контура (ИГК) для системы ( S ) на периоде ( T ) определяется как:

[ IGC = k \cdot \frac{M \cdot C \cdot \tilde{V}_f}{L}, ]

где ( k > 0 ) — калибровочный коэффициент (масштабный множитель), задаваемый для нормировки индекса в удобный диапазон (например, ( IGC \in [0,1] ) или ( IGC \in [0,100] )).

Подставляя определения ( C ) и ( \tilde{V}_f ), получаем эквивалентную форму:

[ IGC = k \cdot \frac{M \cdot \dfrac{F_{\text{tot}}}{M} \cdot \dfrac{F_{\text{tot}}}{M \cdot T}}{L} = k \cdot \frac{F_{\text{tot}}^2}{M \cdot T \cdot L}. ]

Таким образом, индекс гравитационного контура зависит:

прямо — от квадрата суммарных межотраслевых потоков ( F_{\text{tot}}^2 ),

обратно — от массы стоимости ( M ), длительности периода ( T ) и совокупных потерь ( L ).

2. Нормированная форма индекса

Для целей сравнительного анализа и отчётности вводятся референсные значения:

( M_{\max} > 0 ) — референсная максимальная масса стоимости,

( F_{\max} > 0 ) — референсный максимальный межсистемный поток,

( L_{\min} > 0 ) — референсный минимальный уровень потерь.

Определим нормированные показатели:

[ m = \frac{M}{M_{\max}}, \quad f = \frac{F_{\text{tot}}}{F_{\max}}, \quad \ell = \frac{L_{\min}}{L}. ]

Тогда нормированный индекс можно задать как:

[ IGC_{\text{norm}} = f^{\alpha} \cdot m^{\beta} \cdot \ell^{\gamma}, ]

где ( \alpha, \beta, \gamma \ge 0 ) — весовые коэффициенты, отражающие относительную значимость интенсивности потоков, массы стоимости и уровня потерь.

При соответствующем выборе референсов и весов достигается:

[ 0 \le IGC_{\text{norm}} \le 1. ]