Привет, ребятки. Итак, производные и графики.. То, на чем так часто ловятся и совершают ошибки. В этой короткой заметке разберем несколько моментов, которые нужно знать, чтобы решать именно этот тип задач.
Пример из ЕГЭ
Рассматриваем определение с базой из геометрии:
Примеры расчета производной для конкретных функций
Связь между производной и поведением функции на самом простом НЕЛИНЕЙНОМ графике
Решение нашей задачи из ЕГЭ
А теперь подробнее...
💡 А пока не забудьте подписаться на мой telegram-блог, ведь там очень много интересного по физ-мату и IT 📚
1. Геометрический смысл производной: почему знак решает всё?
Прежде всего стоит зрительно разобраться с геометрическим смыслом производной, потому что именно он показывает зависимость знака (+ или -) производной и характером (возрастает или убывает) функции.
Нужно не просто запомнить «f'(x) > 0 — функция растет», а понимать, почему.
Что такое f'(x) на графике? Это угловой коэффициент (тангенс угла наклона) касательной к графику f(x) в точке x. Проще говоря, это крутизна графика в этой точке. Производная в общем случае тоже функция, которая хранит в себе набор таких коэффициентов для каждой точки x.
Интуиция, абстракция и мнемоническое правило:
◼ Если касательная идет в гору (слева направо), ее наклон положительный (f'(x) > 0). Функция в этот момент растет.
◼ Если касательная идет под гору, ее наклон отрицательный (f'(x) < 0). Функция убывает.
◼ Если касательная горизонтальна, наклон равен нулю (f'(x) = 0). Это возможная точка экстремума (максимума или минимума).
Практический совет для ЕГЭ (важный нюанс)
На экзамене почти всегда дают график ПРОИЗВОДНОЙ (f'(x)), а не самой функции (f(x)). [Иногда бывает график первообразной]. Поэтому алгоритм такой:
- Забыть на минуту про исходную функцию f(x). Смотрите только на график f'(x).
- Задайте вопрос графику f'(x): "Где ты выше оси OX?" Эти промежутки, где график производной лежит над осью абсцисс, и есть промежутки возрастания f(x).
- "Где ты ниже оси OX?" — это промежутки убывания f(x).
- Точки, где f'(x) пересекает ось OX (меняет знак) — это и есть точки экстремума f(x).
Представьте график вашего пути на велосипеде от времени (S(t)). Ваша мгновенная скорость — это производная (S'(t) = v(t)).
- v(t) > 0 (вы едете вперед) -> ваш путь S(t) возрастает.
- v(t) < 0 (вы сдаете назад) -> ваш путь S(t) убывает (вы приближаетесь к старту).
- v(t) = 0 (вы остановились) -> возможно, вы развернулись (экстремум) или просто стоите.
2. Определение через предел: магия, из которой рождаются все формулы
Ознакомиться с прямым определением через предел ( Δx → 0 ), потому что через эту формулу можно вывести любую табличную производную. Это фундамент. Показав его, вы даете не просто набор правил, а понимание их происхождения.
f'(x) = lim (Δx → 0) [ (f(x+Δx) - f(x)) / Δx ]
Мы берем очень маленький приращение аргумента Δx, смотрим, насколько изменилась функция f(x+Δx) - f(x), и находим среднюю скорость изменения на этом микро-участке. Предел — это и есть мгновенная скорость, то есть производная.
Почему это важно для понимания возрастания/убывания?
- Если функция возрастает, то при Δx > 0 разность f(x+Δx) - f(x) > 0. Деление на положительное Δx дает положительное число. В пределе получаем f'(x) ≥ 0.
- Если убывает — разность отрицательна, и в пределе f'(x) ≤ 0.
Практический вывод (ключевой для задач):
Достаточное условие возрастания/убывания: Если f'(x) > 0 на всем промежутке, то функция на нем строго возрастает. Если f'(x) < 0 — строго убывает. Ноль производной в отдельных точках (например, в точке касания) не отменяет этого характера монотонности на промежутке.
Пример вывода табличной производной (для статьи можно кратко):
Возьмем f(x) = x².
f'(x) = lim (Δx→0) [( (x+Δx)² - x² ) / Δx] = lim (Δx→0) [ (x² + 2xΔx + (Δx)² - x²) / Δx ] = lim (Δx→0) [ 2x + Δx ] = 2x.
Вот откуда берется правило (x^n)' = n*x^(n-1) для n=2.
3. Практика: пошаговый разбор типичной задачи ЕГЭ
Решать практические задачи по теме. Много и часто. Потому что чем больше ошибок мы делаем, тем быстрее учимся как делать правильно.
Давайте смоделируем ваш пункт на конкретном примере, аналогичном задаче из ЕГЭ.
Условие (словесное описание графика): Дан график производной y = f'(x). Он представляет собой параболу (ветвями вниз), пересекающую ось OX в точках x = -3 и x = 3. График f'(x) лежит выше оси OX на интервале (-3; 3) и ниже — на интервалах (-6; -3) и (3; 6).
Задача: Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.
Решение:
- Перевод условия на язык знаков:
f'(x) > 0 при x ∈ (-3; 3)
f'(x) < 0 при x ∈ (-6; -3) ∪ (3; 6) - Применяем правило: Функция f(x) возрастает там, где ее производная положительна.
Промежуток возрастания: (-3; 3). - Работа с "целыми точками": Нас просят найти сумму целых значений x, которые лежат внутри этого открытого интервала (-3; 3).
Целые числа на этом интервале: -2, -1, 0, 1, 2.
Важный нюанс! Точки -3 и 3 не входят в интервал (интервал открытый, производная в этих точках равна нулю — это точки экстремума, а не роста). - Вычисление ответа: (-2) + (-1) + 0 + 1 + 2 = 0.
Ответ: 0.
4. Мораль и итоги
Ещё кратко о важных моментах:
- Внимание к границам! Смотрите, входят ли концы промежутков в ответ. В задачах на возрастание/убывание по графику производной промежутки почти всегда указываются с круглыми скобками (не включая точки, где f'(x)=0).
- Контрольная проверка: После нахождения промежутков посмотрите на график f'(x) и мысленно представьте, как должна вести себя сама функция f(x). На (-6;-3) производная отрицательна — функция падает. В точке x=-3 она "разворачивается" (минимум) и начинает расти до x=3, где снова "разворачивается" (максимум) и падает. Эта логическая цепочка подтверждает правильность ответа.
Понравилась статья? Дайте обратную связь в комментариях. Напишите ваше мнение, идеи, мысли 😉
Если Вам нужен репетитор по физике, математике или информатике/программированию, Вы можете написать мне или в мою группу Репетитор IT mentor в VK
Библиотека с книгами для физиков, математиков и программистов
Репетитор IT mentor в VK
Репетитор IT mentor в telegram