Новый год в 8 классе — это уже не просто праздник, а время, когда математика становится серьёзнее: появляются квадратные уравнения, теорема Пифагора, функции. Давайте совместим праздничное настроение с повторением самых важных тем первого полугодия!
📐 1. Задача: «Новогодняя ёлка и теорема Пифагора»
Условие:
Высота новогодней ёлки 4 метра. От верхушки до конца самой длинной боковой ветки 5 метров. На каком расстоянии от ствола заканчивается эта ветка (в метрах)?
*Рисунок: прямоугольный треугольник, где гипотенуза = 5 м, высота = 4 м.*
Решение:
По теореме Пифагора:
a = √(c² − b²) = √(5² − 4²) = √(25 − 16) = √9 = 3 метра
Ответ: 3 м
🧮 2. Задача: «Подарочный квадратный корень»
Условие:
Решите уравнение:
(√x + 3)² = 25
Решение:
- √x + 3 = 5 или √x + 3 = −5
- √x = 2 или √x = −8 (не подходит, т.к. √x ≥ 0)
- x = 2² = 4
Ответ: x = 4
📊 3. Задача: «Статистика подарков»
Условие:
В классе 30 человек. На Новый год 60% получили книги, 40% — настольные игры, а 10% получили и то, и другое. Сколько человек получили только книги?
Решение через диаграммы или формулу:
Только книги = Все книголюбы − Те, кто получил и книги, и игры
= (30 × 0,6) − (30 × 0,1) = 18 − 3 = 15 человек
Ответ: 15 человек
🎁 4. Задача: «Квадратное уравнение от Деда Мороза»
Условие:
Чтобы получить код от сейфа с подарками, решите:
2x² − 8x + 6 = 0
Решение через дискриминант:
- D = b² − 4ac = (−8)² − 4×2×6 = 64 − 48 = 16
- √D = 4
- x₁ = (8 + 4)/(4) = 3
x₂ = (8 − 4)/(4) = 1
Ответ: x₁ = 3, x₂ = 1 (код сейфа: 31 или 13)
🧊 5. Задача: «Подарочная упаковка»
Условие:
Подарок имеет форму прямоугольного параллелепипеда с измерениями 20×15×10 см. Его нужно обернуть бумагой с нахлёстом 5 см на каждой стороне. Бумага продаётся рулонами шириной 50 см. Сколько минимально нужно купить бумаги в погонных метрах?
Решение:
- Площадь поверхности подарка: S = 2(20×15 + 20×10 + 15×10) = 2(300+200+150)=1300 см²
- С учётом нахлёста: каждая сторона увеличивается на 10 см (5+5)
Новые размеры: 30×25×20 см
S₂ = 2(30×25 + 30×20 + 25×20) = 2(750+600+500)=3700 см² - При ширине рулона 50 см = 0,5 м
Длина = 3700 см² / 50 см = 74 см = 0,74 м - Но бумага продаётся целыми метрами → 1 м
Ответ: 1 метр
❄️ 6. Задача: «Снежинка и симметрия»
Условие:
Правильная снежинка имеет 6 осей симметрии. Сколько всего элементов симметрии (осевых + центральной) у снежинки? Нарисуйте схему.
Решение:
- 6 осей симметрии
- 1 центр симметрии (точка, относительно которой снежинка совпадает сама с собой при повороте на 60°, 120°, 180° и т.д.)
- Всего: 7 элементов симметрии
Ответ: 7
📈 7. Задача: «График температуры в новогоднюю ночь»
Условие:
Температура воздуха менялась по закону:
T(t) = −0,25t² + 2t − 3, где t — время в часах от 18:00 до 00:00 (0 ≤ t ≤ 6)
Найдите максимальную температуру за этот период.
Решение:
График — парабола ветвями вниз.
Вершина при t = −b/(2a) = −2/(−0,5) = 4 часа
T(4) = −0,25×16 + 8 − 3 = −4 + 5 = 1°C
Ответ: 1°C
🧩 8. Задача: «Новогодний пазл с процентами»
Условие:
Перед Новым годом цена на ёлочные игрушки выросла на 20%, а после праздников упала на 25%. Изначальная цена — 500 рублей. Стала ли итоговая цена ниже или выше исходной и на сколько?
Решение:
- После повышения: 500 × 1,2 = 600 руб.
- После снижения: 600 × 0,75 = 450 руб.
- Сравнение: 500 − 450 = 50 руб. дешевле
Ответ: ниже на 50 рублей
📏 9. Задача: «Гирлянда на круглой колонне»
Условие:
Колонну диаметром 1 м и высотой 3 м обматывают гирляндой по спирали с шагом 0,5 м. Найдите длину гирлянды (π ≈ 3,14).
Решение:
- За один виток гирлянда проходит:
по горизонтали: длина окружности C = πD ≈ 3,14 × 1 = 3,14 м
по вертикали: 0,5 м - Длина одного витка: L₁ = √(3,14² + 0,5²) ≈ √(9,86 + 0,25) = √10,11 ≈ 3,18 м
- Число витков: 3 м / 0,5 м = 6 витков
- Общая длина: 6 × 3,18 ≈ 19,08 м
Ответ: ≈ 19,1 м
🎯 10. Задача: «Вероятность выигрыша в новогодней лотерее»
Условие:
В лотерее 100 билетов, из них 5 выигрышных. Какова вероятность, что купив 2 билета, вы выиграете хотя бы с одним билетом?
Решение:
- Вероятность не выиграть с первым билетом: 95/100 = 0,95
- После этого остаётся 99 билетов, из них 95 невыигрышных
Вероятность не выиграть со вторым: 94/99 ≈ 0,9495 - Вероятность проиграть оба: 0,95 × 0,9495 ≈ 0,902
- Вероятность хотя бы одного выигрыша: 1 − 0,902 = 0,098 или 9,8%
Ответ: ≈ 9,8%
💡 Что повторяем в этих задачах:
- ✅ Теорема Пифагора
- ✅ Квадратные уравнения и корни
- ✅ Проценты и вероятности
- ✅ Функции и графики
- ✅ Объёмы и площади
- ✅ Геометрическая симметрия
🎅 С наступающим Новым годом! Пусть в новом году все квадратные уравнения решаются через чётный второй коэффициент, а теоремы доказываются с первого раза!
P.S. На уроках мы разбираем десятки текстовых задач — от простых до олимпиадных. Научимся решать все! 📚✨