Девятый класс — это особый Новый год: последний перед ОГЭ. Эти задачи помогут повторить ключевые темы, но в праздничном формате.
🎄 1. Задача: «Снежинка и дискриминант»
Условие:
Количество снежинок, падающих за минуту, задаётся уравнением:
x² − 12x + k = 0
Если дискриминант равен 64, найдите k и количество снежинок (корни уравнения).
Решение:
D = b² − 4ac = (−12)² − 4×1×k = 144 − 4k = 64
144 − 4k = 64
4k = 80
k = 20
Уравнение: x² − 12x + 20 = 0
D = 64, √D = 8
x₁ = (12 + 8)/2 = 10 снежинок
x₂ = (12 − 8)/2 = 2 снежинки
Ответ: k = 20; 10 и 2 снежинки
🎁 2. Задача: «Вероятность вытащить хороший подарок»
Условие:
В мешке Деда Мороза 15 подарков: 6 классных, 5 хороших, 4 так себе. Наугад вытаскивают один подарок. Какова вероятность, что он будет хотя бы хорошим?
Решение:
Хотя бы хороший = классный (6) или хороший (5) = 11 подарков
P = 11/15 ≈ 0,733
Ответ: ≈ 73,3%
📊 3. Задача: «Статистика новогодних трат»
Условие:
Семья вела учёт расходов:
- Подарки: 35% бюджета
- Продукты: на 20% меньше, чем на подарки
- Развлечения: ¼ от оставшегося после подарков и продуктов
- Украшения: 6000 руб.
Общий бюджет 40 000 руб. Найдите, сколько процентов составляют украшения от бюджета.
Решение:
- Подарки: 40 000 × 0,35 = 14 000 руб.
- Продукты: 14 000 × 0,8 = 11 200 руб. (на 20% меньше)
- Осталось после 1 и 2: 40 000 − 25 200 = 14 800 руб.
- Развлечения: 14 800 × 0,25 = 3 700 руб.
- Украшения: 6 000 руб. (дано)
- Процент украшений: (6 000 / 40 000) × 100% = 15%
🎁 4. Задача: «Квадратное уравнение с выбором ответа»
Условие:
Решите уравнение:
(x − 3)² − 4 = 0
Выберите правильный ответ:
- 1 и 5
- −1 и 5
- 1 и −5
- −1 и −5
Решение:
(x − 3)² = 4
x − 3 = 2 или x − 3 = −2
x = 5 или x = 1
Ответ: вариант 1
🍪 5. Задача: «Вероятность испечь удачное печенье»
Условие:
Мама испекла 20 печений: 8 в форме ёлочек, 7 звёздочек, 5 снежинок. Папа съел одно печенье, потом второе. Какова вероятность, что оба были звёздочками?
Решение:
P = (7/20) × (6/19) = 42/380 = 21/190 ≈ 0,1105
Ответ: ≈ 11,05%
❄️ 6. Задача: «Снежинка-ромб»
Условие:
Кристаллик снежинки — ромб со стороной 5 см. Острый угол ромба 60°. Найдите площадь кристаллика.
Решение:
Площадь ромба через сторону и угол:
S = a² × sin α = 5² × sin 60° = 25 × (√3/2) ≈ 25 × 0,866 = 21,65 см²
Ответ: ≈ 21,65 см²
🧑🎄 7. Задача: «Корни новогоднего уравнения»
Условие:
Уравнение x² + px + 18 = 0 имеет корни 2 и 9. Найдите p.
Решение:
По теореме Виета:
x₁ + x₂ = −p
2 + 9 = −p → 11 = −p → p = −11
Ответ: p = −11
🎲 8. Задача: «Вероятность поймать снежинку»
Условие:
За 5 минут падает 100 снежинок, из них 15 — пушистые и красивые. Какова вероятность поймать именно пушистую снежинку?
Решение:
P = 15/100 = 0,15 = 15%
Ответ: 15%
🎄 9. Задача: «Ёлочный ромб»
Условие:
Ёлочная игрушка — ромб с периметром 40 см. Одна из диагоналей равна 12 см. Найдите вторую диагональ.
Решение:
Сторона ромба: P = 4a → 40 = 4a → a = 10 см
Половины диагоналей: d₁/2 = 6 см
По теореме Пифагора: (d₂/2)² = a² − (d₁/2)² = 100 − 36 = 64
d₂/2 = 8 → d₂ = 16 см
Ответ: 16 см
📦 10. Задача: «Вероятность и подарки»
Условие:
В коробке 4 красных, 3 синих и 3 золотых шара. Вынимают 2 шара. Какова вероятность, что они разного цвета?
Решение:
Всего способов выбрать 2 шара из 10: C(10,2) = 45
Способы выбрать разные цвета:
Красный + синий: 4×3 = 12
Красный + золотой: 4×3 = 12
Синий + золотой: 3×3 = 9
Всего благоприятных: 12+12+9 = 33
P = 33/45 = 11/15 ≈ 0,733
Ответ: ≈ 73,3%
🎓 Что повторили:
- ✅ Геометрия на плоскости
- ✅ Квадратные уравнения
- ✅ Проценты и работа с данными
- ✅ Теория вероятностей
- ✅ Логические задачи
🎅 С наступающим Новым годом, выпускник! Пусть твой ОГЭ будет таким же успешным, как решение этих задач!
P.S. На уроках мы разбираем десятки текстовых задач — от простых до олимпиадных. Научимся решать все! 📚✨