Представьте, что вы — личный навигатор для дедушки и его внучки Тани. Ваша задача: расшифровать карту, где деревни зашифрованы цифрами, а дороги складываются в хитрые прямоугольные треугольники. Нужно не просто проложить маршрут из Антоновки в Богданово, но и рассчитать время в пути, и даже вывести «секретную формулу» расхода бензина на просёлочных дорогах!
Звучит как сложный квест? Так и есть. Именно так выглядит одно из самых комплексных и объёмных заданий ОГЭ по математике — «План местности». Давайте пройдём все его уровни вместе — от первого задания до пятого.
Прочитайте внимательно текст и выполните задания 1–5.
На рисунке изображён план сельской местности.
Таня на летних каникулах приезжает в гости к дедушке в деревню Антоновка (на плане обозначена цифрой 1). В конце каникул дедушка на машине собирается отвезти Таню на автобусную станцию, которая находится в деревне Богданово. Из Антоновки в Богданово можно проехать по просёлочной дороге мимо реки. Есть другой путь — по шоссе до деревни Ванютино, где нужно повернуть под прямым углом налево на другое шоссе, ведущее в Богданово. Третий маршрут проходит по просёлочной дороге мимо пруда до деревни Горюново, где можно свернуть на шоссе до Богданово. Четвёртый маршрут пролегает по шоссе до деревни Доломино, от Доломино до Горюново по просёлочной дороге мимо конюшни и от Горюново до Богданово по шоссе. Ещё один маршрут проходит по шоссе до деревни Егорка, по просёлочной дороге мимо конюшни от Егорки до Жилино и по шоссе от Жилино до Богданово.
Шоссе и просёлочные дороги образуют прямоугольные треугольники.
По шоссе Таня с дедушкой едут со скоростью 50 км/ч, а по просёлочным дорогам — со скоростью 30 км/ч. Расстояние от Антоновки до Доломино равно 12 км, от Доломино до Егорки — 4 км, от Егорки до Ванютино — 12 км, от Горюново до Ванютино — 15 км, от Ванютино до Жилино — 9 км, а от Жилино до Богданово — 12 км.
Задание №1. Пользуясь описанием, определите, какими цифрами на плане обозначены деревни. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность четырёх цифр без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Решение:
По условию:
- Антоновка — цифра 1 (дано).
- На плане цифры 1–8, есть шоссе (сплошная линия) и просёлочные дороги (пунктир).
1. Найдём Богданово.
Из Антоновки в Богданово можно проехать по просёлочной дороге мимо реки.
Смотрим от цифры 1: от неё идёт просёлочная дорога (пунктир) мимо реки (волна) к цифре 7. Значит, 7 — Богданово.
Антоновка (1) → просёлочная дорога мимо реки → Богданово (7).
2. Найдём Ванютино.
По условию: «по шоссе до деревни Ванютино, где нужно повернуть под прямым углом налево на другое шоссе, ведущее в Богданово».
- По шоссе от Антоновки (1) налево идём через 2, 3, останавливаемся на 4.
- От 4 есть поворот налево (шоссе вниз), которое ведёт прямо в Богданово (7).
- Значит, 4 — это Ванютино.
Антоновка (1) → по шоссе → Ванютино (4) → поворот налево → по шоссе в Богданово (7).
3. Найдём Горюново.
По условию: «по просёлочной мимо пруда до Горюново, где можно свернуть на шоссе до Богданово».
- От 1 (Антоновка) идёт просёлочная дорога мимо пруда к цифре 6,
- От 6 по шоссе до 7 (Богданово).
- Значит, 6 — Горюново.
Антоновка (1) → просёлочная дорога мимо пруда → Горюново (6) → по шоссе в Богданово (7).
4. Найдём Доломино.
По условию: «четвёртый маршрут пролегает по шоссе до деревни Доломино, от Доломино до Горюново по просёлочной дороге мимо конюшни и от Горюново до Богданово по шоссе».
- Горюново уже найдена (6).
- На плане просёлочная дорога с конюшней идёт от цифры 3 к цифре 6.
- По условию эта дорога идёт от Доломино к Горюново, значит 3 — Доломино.
5. Найдём Егорка и Жилино.
По условию: «ещё один маршрут проходит по шоссе до деревни Егорка, по просёлочной дороге мимо конюшни от Егорки до Жилино и по шоссе от Жилино до Богданово».
- Оставшаяся цифра на шоссе от Антоновки — 2.
- От 2 идёт просёлочная дорога мимо конюшни к цифре 5 (Жилино). Значит, 2 — Егорка, 5 — Жилино.
Заполним таблицу.
Ответ: 7632
Задание №2. Найдите расстояние от Антоновки до Егорки по шоссе. Ответ дайте в километрах.
Решение:
Из условия известно:
- Антоновка (1) → Доломино (3) = 12 км.
- Доломино (3) → Егорка (2) = 4 км.
- Найти: Антоновка (1) → Егорка (2) = ? км.
1. Определяем порядок деревень на шоссе (по плану слева направо):
Антоновка (1) → Егорка (2) → Доломино (3).
2. Если весь путь от Антоновки до Доломино составляет 12 км, а отрезок от Егорки до Доломино — 4 км, то искомое расстояние:
Антоновка → Егорка = (Антоновка → Доломино) − (Егорка → Доломино).
Получаем: 12 км − 4 км = 8 км.
Ответ: 8
Задание №3. Найдите расстояние от Егорки до Жилино по прямой. Ответ дайте в километрах.
Решение:
1. Анализ схемы: на плане Егорка, Ванютино и Жилино образуют прямоугольный треугольник.
Путь от Егорки до Жилино по прямой — это гипотенуза прямоугольного треугольника.
Катеты: Егорка → Ванютино = 12 км (горизонтальная линия) и Ванютино → Жилино = 9 км (вертикальная линия).
2. Применение теоремы Пифагора:
Обозначим искомое расстояние за S.
S² = 12² + 9²
S² = 144 + 81
S² = 225
S = √225
S = 15
Вывод: искомое расстояние от Егорки до Жилино равно 15 км.
Ответ: 15
Задание №4. Сколько минут затратят на дорогу Таня с дедушкой из Антоновки в Богданово, если поедут мимо пруда через Горюново?
Решение:
Маршрут: Антоновка (1) → просёлочная дорога мимо пруда → Горюново (6) → шоссе → Богданово (7).
Дано:
- Антоновка → Егорка = 8 км (из задания 2).
- Егорка → Ванютино = 12 км (по условию).
- Ванютино → Жилино = 9 км (по условию).
- Жилино → Богданово = 12 км (по условию).
- Горюново → Ванютино = 15 км (по условию).
1. Находим расстояние от Антоновки до Горюново по просёлочной дороге. (гипотенуза треугольника АВГ).
На плане точки Антоновка (А), Ванютино (В) и Горюново (Г) образуют прямоугольный треугольник с прямым углом в Ванютино (В).
- Прямая дорога Антоновка → Горюново — это гипотенуза этого треугольника.
- Обозначим это неизвестное расстояние за S (км).
- Катеты:
АВ: Антоновка → Ванютино = (А→Е) + (Е→В) = 8 + 12 = 20 км.
ВГ: Ванютино → Горюново = 15 км. - По теореме Пифагора (S² = AB² + BГ²):
S² = 20² + 15² = 400 + 225 = 625
S = √625 = 25 км — расстояние по просёлочной дороге от Антоновки до Горюново.
2. Находим расстояние от Горюново до Богданово по шоссе.
- Длина всего шоссе Ванютино → Богданово: (В→Ж) + (Ж→Б) = 9 + 12 = 21 км.
- Из них отрезок Ванютино → Горюново = 15 км.
- Следовательно, Горюново → Богданово = 21 – 15 = 6 км.
3. Рассчитываем время на каждом участке.
- По просёлочной дороге (25 км, скорость 30 км/ч):
t₁ = 25 / 30 = 5/6 часа = (5/6) * 60 = 50 минут. - По шоссе (6 км, скорость 50 км/ч):
t₂ = 6 / 50 = 0,12 часа = 0,12 * 60 = 7,2 минуты.
4. Общее время пути.
t = t₁ + t₂ = 50 мин + 7,2 мин = 57,2 минуты.
Ответ: 57,2
Задание №5. На шоссе машина дедушки расходует 6,8 литра бензина на 100 км. Известно, что на путь из Антоновки до Богданово через Ванютино и путь через Доломино и Горюново мимо конюшни ей необходим один и тот же объём бензина. Сколько литров бензина на 100 км машина дедушки расходует на просёлочных дорогах?)
Решение:
1. Условие:
Расход на шоссе 6,8 л / 100 км.
Два маршрута из Антоновки в Богданово требуют одинакового количества бензина:
Через Ванютино — полностью по шоссе.
Через Доломино и Горюново мимо конюшни — часть пути по шоссе, часть по просёлочной дороге.
Найти: расход на просёлочных дорогах (x л / 100 км).
2. Определим длины маршрутов.
Первый маршрут (только шоссе):
Антоновка → Ванютино → Богданово
Антоновка → Ванютино = 20 км (шоссе).
Ванютино → Богданово = 21 км (шоссе).
Всего: 20 + 21 = 41 км (всё шоссе).
Второй маршрут (шоссе + просёлочная дорога):
Антоновка → Доломино → Горюново → Богданово
Антоновка → Доломино = 12 км (шоссе).
Доломино → Горюново = ? км (просёлочная дорога).
На плане видно, что точки Доломино, Ванютино и Горюново образуют прямоугольный треугольник с прямым углом в Ванютино. Поэтому расстояние Доломино - Горюново является гипотенузой.
Обозначим за S расстояние от Доломино до Горюново по прямой (гипотенузу).
Катет 1: Доломино → Ванютино = 8 км.
Катет 2: Ванютино → Горюново = 15 км.
Применяем теорему Пифагора:
S^2 = 8^2 + 15^2
S^2 = 64 + 225
S^2 = 289
S = √289
S = 17.
Таким образом, расстояние от Доломино до Горюново по просёлочной дороге равно 17 км.
Горюново → Богданово = 6 км (шоссе).
Всего:
Шоссе: 12 + 6 = 18 км.
Просёлочная дорога: 17 км.
3. Составляем уравнение по расходу бензина.
Расход на шоссе: 6,8 л / 100 км.
Расход на просёлочной дороге: x л / 100 км (искомое).
Расход бензина считаем так: расход на участке = (расход на 100 км / 100) × длина участка.
Для первого маршрута (41 км шоссе):
Расход₁ = (6,8 / 100) * 41.
Для второго маршрута (18 км шоссе, 17 км просёлок):
Расход₂ = (6,8 / 100) * 18 + (x / 100) * 17.
По условию расходы равны:
(6,8 / 100) * 41 = (6,8 / 100) * 18 + (x / 100) * 17.
Решаем уравнение. Умножаем обе части на 100:
6,8 * 41 = 6,8 * 18 + x * 17
278,8 = 122,4 + 17x
17x = 278,8 - 122,4
17x = 156,4
x = 156,4 : 17
x = 9,2.
На просёлочных дорогах машина дедушки расходует 9,2 литра бензина на 100 км.
Ответ: 9,2