В прошлый раз мы обсудили важнейшие понятия финансовой математики, такие как деривативы и финансовые рынки.
Сегодня мы окунемся в историю, из которой черпали идеи создатели модели. А также введем условия, при которых модель Блэка - Шоулза существует.
История
Впервые в 1900 году Луи Башелье использовал идею броуновского движения для ценообразования деривативов, его работа не имела большого влияния, так как содержала большие ограничения к модели.
В 1960-х годах ряд ученых внесли улучшения в теорию ценообразования опционов.
Затем в 1968 году Фишер Блэк и Майрон Шоулз в 1968 году продемонстрировали, что динамическая корректировка портфеля устраняет ожидаемую доходность. Затем авторы пытались применить формулу в реальных условиях, но понесли финансовые потери из-за отсутствия управления рисками в своих сделках. В 1973 году в статье «Ценообразование опционов и корпоративных обязательств» обнародовали свою формулу.
Предположения
Модель Блэка - Шоулза находится в предположениях, что рынок состоит как минимум из одного рискового актива (акции) и одного безрискового актива (например, ОФЗ).
В отношении активов должно быть выполнено:
Безрисковый актив имеет одинаковую ставку, то есть доходность всегда постоянна.
Движение рискового актива подчиняется случайному блужданию с дрейфом, то есть цена акции следует за геометрическим броуновским движением.
По акциям не выплачиваются дивиденды.
Теперь скажем, какие есть ограничения на рынок:
Нет арбитража (нельзя получить безрисковую прибыль сверх безрисковой ставки).
У нас есть некий набор инструментов, которые мы можем использовать: продавать, покупать, брать взаймы, давать взаймы любой объем акций или наличных.
Мы ввели большое количество сложных понятий, давайте подробнее разберем каждое из них.
Арбитраж
Допустим, акции «Мышь-кабанк» одновременно торгуются на двух разных биржах:
- На Московской бирже: цена 100 рублей за акцию.
- На Санкт-Петербургской бирже: 102 рублей за акцию.
Это одинаковая акция, с одинаковыми правилами, просто торгуются в разных местах.
Какая тут возможность для арбитража?
Покупаем акции «Мышь-кабанк» на Московской бирже по 100 рублей и продаем их на Санкт-Петербургской по 102. В итоге с каждой акции имеем 2 рубля прибыли. При этом с каждой такой операции мы имеем нулевой риск, время владения акции минимально, следовательно, цена не может сильно поменяться в течение этого времени.
Вот так выглядит чистый арбитраж — безрисковый заработок на разнице одного и того же актива.
Случайное блуждание
В математике случайное блуждание является случайным процессом (стохастическим процессом), то есть представляет собой семейство случайных величин, которые как-то распределены. Модель случайного блуждания описывает путь, состоящий из последовательности случайных шагов в каком-то пространстве.
Снова сложные определения, для понимания закрепим примерами:
Самый простой пример иллюстрации случайного блуждания - путешествие точки по числовой прямой.
Пусть у нас есть числовая прямая и в какой-то из чисел стоит наша точка, будем считать ее начальной и без ограничения общности положим, что она равна нулю, хотя вообще может быть любой.
А теперь мы подбрасываем монетку, если выпадает орел, то наша точка смещается на единицу вправо, если решка, то наоборот. Очевидно, что каждый из исходов будет равновероятным.
После пяти подбрасываний, точка могла оказаться в точках -5, -3, -1, 1, 3, 5, попробуйте придумать примеры, когда это действительно получается и единственным ли образом можно прийти в эти точки?
Весь этот процесс можно формализовать используя аппарат теории вероятности, но сегодня не об этом, вместо формальной математики рассмотрим еще один процесс:
Допустим, частица находится на квадратной сетке и на каждом шаге с вероятностью 1/4 сдвигается в одну из четырёх сторон: вверх, вниз, влево или вправо.
Это конечно же случайное блуждание давайте попробуем смоделировать различные ситуации для этой модели.
Отлично, мы хорошо поняли, что такое модель случайного блуждания, но почему это интересно для нашего случая? Одним из самых хороших примеров случайного блуждания является траектория молекул, движущихся в жидкости или газе, или Броуновское движение!
Введем некоторое определение.
Винеровский процесс - это случайный процесс в непрерывном времени. У Винеровского процесса есть ряд уникальных свойств, пусть.
1. W0 = 0 почти наверное.
2. Математическое ожидание равно 0
3. Дисперсия равна t
4. Функция плотности вероятности подчиняется нормальному закону распределения.
Тогда броуновское движение - это случайное движение частиц в жидкости или газе. В математическом формализме — винеровский процесс.
Геометрическое броуновское движение (GBM) - случайные процесс с непрерывным временем, в котором логарифм случайной величины следует броуновскому движению с дрейфом.
Дрейф - это изменение среднего значения случайной величины.
Пусть у нас есть случайный процесс S, он называется геометрическим броуновским движением, если удовлетворяет стохастическому дифференциальному уравнению (1):
где mu - дрейф, sigma - волатильность, а W_t - это уже знакомый нам винеровский процесс.
В данной статье (но затем мы решим его для модели Блэка - Шоулза) мы не будем решать это уравнение, талантливый читатель может ознакомиться с исчислением и формулами Ито и вывести решение этого уравнения, мы просто запишем его:
В 1900 году Луи Башелье предлагал именно такой способ описания цен на акции.
В этот раз мы разобрали очень сложные, но важные вещи из теории случайных процессов и финансовой математики. Это поможет нам в дальнейшем выводе формулы Блэка — Шоулза, которую мы приведем в следующей статье.