Хотя регистрация поступающих в лицей "Вторая школа" в этом году уже закрыта, сама приёмная кампания продолжается и будет продолжаться до 31 мая. Абитуриенты сдают экзамены по индивидуальному графику. Самой сложной частью, конечно, является устный экзамен по математике. Однако, подготовиться к нему возможно. Лучше всего для этого подойдут индивидуальные занятия с репетитором, контакты которого есть на сайте https://yourtutor.info/. Но возможен также и вариант с самостоятельной подготовкой через решение тренировочных экзаменов, которые выложены на сайте https://cleverfox.info/ вместе с подробными решениями каждого из заданий.
А сегодня мы разберём для примера интересное уравнение в простых числах, которое было на одном вступительных экзаменов в лицей "Вторая школа" по математике в 8 класс.
Решите в простых числах уравнение: x^2-2y^2=1.
Заметим, что поскольку число 2y^2 чётное, а результат вычитания равен 1, то есть нечётный, то число x^2 обязано быть нечётным. В противном случае, мы бы вычитали из чётного числа чётное и результат не мог бы оказаться нечётным.
Поскольку число x^2 нечётно, то и число x нечётно. В противном случае, в числе x был бы множитель 2, а значит, и в числе x^2 он тоже бы присутствовал и тогда число x^2 было бы чётным.
Перепишем теперь уравнение в следующем виде:
Воспользуемся формулой "разность квадратов":
Поскольку число x, как мы поняли, нечётно, то числа x-1 и x+1 чётны, поэтому в произведении (x-1)(x+1) множитель 2 присутствует минимум дважды. Значит, и в числе 2y^2 множитель 2 должен присутствовать минимум дважды. Один из них это собственно коэффициент 2, но тогда второй множитель 2 обязан присутствовать в числе y^2.
Значит, число y^2 чётно. Но тогда и число y чётно. В противном случае в числе y не содержалось бы множителя 2, а потому и в числе y^2 этого множителя не было бы и это число было бы нечётным.
Итак, получили, что число y чётное и простое. Но существует лишь одно единственного простое чётное число. Это число 2. Итак, y = 2.
Тогда выражаем x^2 через y^2 и вычисляем его:
То есть x = 3. И получилась одна единственная возможная пара простых чисел, являющаяся решением нашего уравнения. Это пара (3;2). Это и есть наш ответ.
Ответ: (3;2).
Готовьтесь к вступительному экзамену по математике в лицей "Вторая школа" самостоятельно на https://cleverfox.info/ или с репетитором на https://yourtutor.info/.