Дорогие друзья, сегодня у нас — не просто задача, а настоящий кинематический триллер в духе старых военных фильмов: самолёт, набрав высоту, выпускает смертоносный груз… но мы, физики, не будем думать о разрушениях — мы проследим за его полётом с холодной аналитической дистанцией учёного, наблюдающего за бабочкой в ветреный день. Ведь наша цель — рассчитать скорость бомбы в момент касания земли, при условии, что сопротивление воздуха отсутствует (идеализация, без которой физика была бы похожа на прогноз погоды — точный, но недостижимый).
Дано:
- Высота сброса: h = 2 км = 2000 м,
- Скорость самолёта (горизонтальная): v₀ₓ = 720 км/ч,
- Ускорение свободного падения: g = 9,8 м/с² (примем 10 м/с² для прикидки, но в расчётах будем использовать 9,8),
- Начальная вертикальная скорость бомбы: v₀ᵧ = 0 (бомба просто сбрасывается, не выталкивается вниз),
- Сопротивление воздуха — не учитываем.
🔍 Шаг 1. Понимание движения: независимость компонент
Ключевой принцип классической механики — независимость движений по осям X и Y в поле тяжести (при отсутствии сопротивления). Это открыл Галилей, бросая (по легенде) предметы с Пизанской башни — и позже подтвердил Ньютон.
Когда бомба покидает самолёт, она «унаследовывает» его горизонтальную скорость, но по вертикали начинает движение с нуля — как свободно падающее тело. То есть:
- По горизонтали (X): равномерное движение: vₓ = v₀ₓ = const,
- По вертикали (Y): равноускоренное движение: vᵧ = g · t, а пройденный путь h = (g · t²) / 2.
Итоговая скорость — это векторная сумма:
v = √(vₓ² + vᵧ²) — по теореме Пифагора.
📐 Шаг 2. Переводим скорость в СИ
Дано: 720 км/ч — переведём в м/с.
1 км = 1000 м, 1 ч = 3600 с ⇒
v₀ₓ = 720 × 1000 / 3600 = 720 / 3.6 = 200 м/с.
Прекрасно — круглое число. Горизонтальная скорость бомбы на всём пути: vₓ = 200 м/с.
⏱️ Шаг 3. Находим время падения
Бомба падает с высоты h = 2000 м без начальной вертикальной скорости.
Формула для свободного падения из состояния покоя:
h = (1/2) · g · t²
Отсюда:
t = √(2h / g)
Подставляем:
t = √(2 × 2000 / 9,8) = √(4000 / 9,8) ≈ √408.163 ≈ 20,203 с
(Если бы взяли g = 10, получили бы t = √400 = 20 с — почти то же.)
Итак, бомба летит чуть больше 20 секунд.
⬇️ Шаг 4. Вертикальная скорость в момент удара
vᵧ = g · t = 9,8 × 20,203 ≈ 198,0 м/с
Интересно: почти 200 м/с, как и горизонтальная! Это не случайно — при h = 2000 м и g = 10 м/с², vᵧ = √(2gh) = √(40 000) = 200 м/с. Точнее:
vᵧ = √(2gh) — формула, получаемая из закона сохранения энергии (см. далее).
Проверим:
vᵧ = √(2 × 9,8 × 2000) = √(39 200) ≈ 197,99 м/с ≈ 198 м/с — совпадает.
➕ Шаг 5. Находим модуль полной скорости
Теперь объединяем компоненты:
v = √(vₓ² + vᵧ²) = √(200² + 198²)
Вычислим:
200² = 40 000
198² = (200 – 2)² = 40 000 – 800 + 4 = 39 204
Сумма: 40 000 + 39 204 = 79 204
v = √79 204 ≈ ?
√78 400 = 280 (т.к. 280² = 78 400)
79 204 – 78 400 = 804
Производная: d(√x)/dx = 1/(2√x), значит, поправка ≈ 804 / (2 × 280) ≈ 804 / 560 ≈ 1,44
→ √79 204 ≈ 280 + 1,44 = 281,4 м/с
Более точно — через калькулятор:
√79 204 = 281,43 м/с
Округлим до разумной точности:
v ≈ 281 м/с
🔁 Шаг 6. Альтернатива: закон сохранения энергии
Почему бы не проверить через энергию? Ведь сопротивления нет — механическая энергия сохраняется.
В момент сброса (на высоте h):
- Кинетическая энергия: E_k1 = (1/2) m v₀ₓ²
- Потенциальная энергия: E_p1 = m g h
При ударе (на земле, h = 0):
- Потенциальная энергия: 0
- Кинетическая энергия: E_k2 = (1/2) m v²
По ЗСЭ:
(1/2) m v₀ₓ² + m g h = (1/2) m v²
Сокращаем m:
(1/2) v₀ₓ² + g h = (1/2) v²
Умножаем на 2:
v₀ₓ² + 2 g h = v²
→ v = √(v₀ₓ² + 2 g h)
Подставляем:
v₀ₓ = 200 м/с ⇒ v₀ₓ² = 40 000
2 g h = 2 × 9,8 × 2000 = 39 200
Сумма: 79 200
v = √79 200 ≈ 281,4 м/с
То же значение — но полученное в один шаг! Значит, энергетический подход не только изящнее, но и надёжнее: никаких промежуточных t и vᵧ.
📏 Шаг 7. Перевод в привычные единицы
281 м/с — это сколько в км/ч?
Умножаем на 3,6:
281 × 3,6 = (280 × 3,6) + (1 × 3,6) = 1008 + 3,6 = 1011,6 км/ч
То есть бомба ударяется о землю со скоростью ~1012 км/ч — быстрее, чем летел самолёт (720 км/ч)!
Это логично: горизонтальная скорость сохраняется, а вертикальная добавляется как «бесплатный бонус» от гравитации.
Для сравнения:
- Скорость звука ≈ 340 м/с ⇒ бомба летит со ~0,83 Маха — субзвуковая,
- Пистолетная пуля — от 250 до 400 м/с ⇒ наша бомба — на уровне пистолетных скоростей,
- Но её масса — сотни килограммов ⇒ кинетическая энергия колоссальна.
📉 Шаг 8. Направление скорости
Хотя в задаче спрашивается только модуль скорости, интересно оценить и угол.
tg α = vᵧ / vₓ = 198 / 200 = 0,99 ⇒ α ≈ arctg(0,99) ≈ 44,7° к горизонту.
То есть бомба падает почти под 45° — как раз потому, что vₓ ≈ vᵧ. При большей высоте угол был бы ближе к 90° («сверху вниз»), при меньшей — к горизонту.
⚠️ Шаг 9. О реалистичности модели
Мы пренебрегли сопротивлением воздуха — но на самом деле оно существенно. Бомба — не точечная масса: у неё есть форма, лобовое сопротивление, коэффициент Cₓ, площадь поперечного сечения.
На скоростях > 200 м/с сила сопротивления F = (1/2) ρ v² Cₓ S становится сравнимой с весом. Установившаяся (терминальная) скорость для боевой бомбы — порядка 250–350 м/с, но достигается не сразу. При падении с 2 км реальная скорость удара — возможно, даже меньше нашей 281 м/с, если бомба «тормозит» в нижних плотных слоях атмосферы.
Но по условию — сопротивление не учитываем. Значит, наш ответ 281 м/с — абсолютно корректен в рамках модели.
✅ Шаг 10. Итоговый ответ
Скорость бомбы при ударе о землю:
v = √(v₀ₓ² + 2gh) = √(200² + 2·9,8·2000) ≈ √79 200 ≈ 281 м/с,
или ≈ 1010 км/ч.
Скорость — вектор, и в поле тяжести он растёт не только за счёт «падения вниз», но и за счёт сложения с начальной горизонтальной составляющей: как поток реки, который несёт листок, а вниз по склону дует ветер — итоговое движение оказывается по диагонали, и быстрее, чем каждая из составляющих по отдельности. А юмористическая аналогия? Представьте, что вы стоите на эскалаторе, движущемся вниз со скоростью 7 км/ч, и одновременно шагаете вперёд со скоростью 7 км/ч. Ваша реальная скорость относительно земли — не 14, а ~10 км/ч под углом, потому что направления разные. Бомба — это вы на этом эскалаторе, только вместо шагов — инерция, а вместо эскалатора — гравитация, и разгон происходит 20 секунд подряд, пока вы не врежетесь в… ну, скажем, мягкое место назначения.