Дорогие друзья, сегодня у нас на повестке дня — не просто задача, а настоящий микроклимат в миниатюре! Представьте: герметично закрытая стеклянная банка объёмом 2 литра, в ней — воздух при комнатной температуре и умеренной влажности. А теперь — в морозилку! Что произойдёт? На стенках появится роса… но сколько именно капель? Звучит как кулинарный эксперимент, но на самом деле — это чистая физика фазовых переходов, идеального газа и влажного воздуха. Готовы к детальному разбору? Тогда поехали — шаг за шагом, капля за каплей.
🔍 Шаг 1. Что дано? Фиксируем условия
- Объём сосуда: V = 2 л = 0,002 м³
- Начальная температура: T₁ = 27°C = 300,15 К
- Конечная температура: T₂ = 15°C = 288,15 К
- Относительная влажность при 27°C: φ₁ = 50% = 0,5
- Давление насыщенных паров воды: при 27°C → pₙ₁ = 3,6 кПа = 3600 Па
при 15°C → pₙ₂ = 1,71 кПа = 1710 Па - Объём одной капли: Vₖ = 0,05 мл = 5·10⁻⁸ м³
(при плотности воды ρ = 1000 кг/м³ это соответствует массе mₖ = 5·10⁻⁵ кг = 0,05 г)
Сосуд закрытый, значит, масса воздуха и водяного пара в нём сохраняется, пока не начнётся конденсация. Но водяной пар — не инертный газ: при охлаждении он может перейти в жидкое состояние, и тогда его парциальное давление не сможет превысить давление насыщенных паров при новой температуре.
📐 Шаг 2. Найдём начальное парциальное давление водяного пара
Относительная влажность определяется как:
φ = p / pₙ,
где p — фактическое парциальное давление пара, pₙ — давление насыщенных паров при той же температуре.
Отсюда:
p₁ = φ₁ · pₙ₁ = 0,5 · 3600 Па = 1800 Па
Итак, в начальный момент в сосуде присутствует водяной пар при давлении 1,8 кПа — это меньше, чем насыщение (3,6 кПа), значит, воздух несыщенный, конденсации нет.
🧮 Шаг 3. Масса водяного пара при 27°C — через уравнение состояния
Пар при таких условиях можно с хорошей точностью считать идеальным газом, поэтому применимо уравнение Клапейрона–Менделеева:
pV = (m / M) · R · T,
откуда
m = p · V · M / (R · T)
где:
- p = 1800 Па
- V = 0,002 м³
- M = 0,018 кг/моль (молярная масса H₂O)
- R = 8,314 Дж/(моль·К)
- T = 300,15 К
Подставляем:
m₁ = 1800 · 0,002 · 0,018 / (8,314 · 300,15)
Считаем числитель: 1800 · 0,002 = 3,6; 3,6 · 0,018 = 0,0648
Знаменатель: 8,314 · 300,15 ≈ 2495,3
→ m₁ ≈ 0,0648 / 2495,3 ≈ 2,597·10⁻⁵ кг = 0,02597 г
Итак, в сосуде изначально содержится ~26 миллиграммов водяного пара.
❄️ Шаг 4. Что произойдёт при охлаждении до 15°C?
При понижении температуры давление насыщенных паров падает — с 3,6 кПа до 1,71 кПа. Если бы весь пар остался в газообразном состоянии, его парциальное давление уменьшилось бы пропорционально температуре (по закону Гей-Люссака при V = const):
p' = p₁ · (T₂ / T₁) = 1800 · (288,15 / 300,15) ≈ 1728 Па
Но 1728 Па > 1710 Па — а это уже выше давления насыщения при 15°C! Значит, воздух станет пересыщенным, и избыток пара начнёт конденсироваться, пока парциальное давление не снизится до p₂ = pₙ₂ = 1710 Па.
То есть в конечном состоянии пар будет насыщенным при 15°C.
📉 Шаг 5. Максимально возможная масса пара при 15°C
Аналогично шагу 3, но теперь:
- p = pₙ₂ = 1710 Па
- T = 288,15 К
m₂ = 1710 · 0,002 · 0,018 / (8,314 · 288,15)
Числитель: 1710 · 0,002 = 3,42; 3,42 · 0,018 = 0,06156
Знаменатель: 8,314 · 288,15 ≈ 2395,6
→ m₂ ≈ 0,06156 / 2395,6 ≈ 2,570·10⁻⁵ кг = 0,02570 г
То есть при 15°C в таком объёме может «уместиться» в виде пара только 25,7 мг воды.
💧 Шаг 6. Масса сконденсировавшейся воды
Разность:
Δm = m₁ – m₂ = 0,02597 г – 0,02570 г = 0,00027 г
Или в килограммах: 2,7·10⁻⁷ кг.
В объёме (ρ = 1 г/мл): V_конд = 0,00027 мл = 0,27 мм³
Для сравнения:
- Объём одной песчинки (~0,5 мм диаметр) ≈ 0,065 мм³
- Значит, наша конденсация — это меньше 5 таких песчинок по объёму.
📌 Шаг 7. Сколько это капель по 0,05 мл?
Объём одной капли: Vₖ = 0,05 мл
Тогда количество капель:
N = V_конд / Vₖ = 0,00027 / 0,05 = 0,0054
То есть менее одной сотой части капли.
Физический смысл: вода не соберётся в одну или даже в десять отдельных капель — она распределится по стенкам тончайшей плёнкой или в виде множества микроскопических капелек диаметром в несколько микрон (как в тумане).
⚠️ Шаг 8. Почему так мало? Анализ чувствительности
Заметим: разность давлений насыщения (3,6 → 1,71 кПа) кажется большой, но начальная влажность — всего 50%. Если бы влажность была 100%, то:
- p₁ = 3600 Па → m₁(max) = 2·m₁ ≈ 0,0519 г
- Δm = 0,0519 – 0,0257 = 0,0262 г → V = 0,0262 мл → N = 0,0262 / 0,05 ≈ 0,52 капли
Всё ещё меньше одной! Чтобы получить хотя бы одну каплю (0,05 мл = 0,05 г), нужно, чтобы Δm ≥ 0,05 г.
Решим уравнение:
p₁·V·M/(R·T₁) – pₙ₂·V·M/(R·T₂) = 0,05·10⁻³ кг
→ V · M/R · (p₁/T₁ – pₙ₂/T₂) = 5·10⁻⁵
При p₁ = φ·pₙ₁, подставив числа, получим, что при φ = 1 (100% влажность) требуется V ≈ 3,8 л, чтобы получить одну каплю. А при φ = 50% — около 7,6 л.
Значит, в 2-литровой банке при 50% влажности — конденсация всегда будет «некапельной».
🌍 Шаг 9. Реальный мир vs модель
В расчётах мы пренебрегли:
- объёмом сконденсированной жидкости (но он пренебрежимо мал),
- зависимостью давления насыщения от кривизны поверхности (эффект Кельвина — для микрокапель давление насыщения выше, что уменьшает конденсацию),
- наличием центров конденсации (пылинки, зародыши), без которых образование капель затруднено — возможен пересыщенный пар.
Так что в идеально чистом сосуде конденсация может вообще не начаться сразу — пока не появится «затравка». Но в быту стенки всегда шероховаты — и конденсация происходит легко.
Количество воды, которое может выделиться из воздуха при охлаждении, зависит не только от разницы температур, но и от начальной влажности и объёма системы. В небольших замкнутых ёмкостях, даже при значительном перепаде температур, конденсат может быть микроскопическим — недостаточным для формирования видимых капель. Это объясняет, почему роса на траве образуется ночью (большая поверхность, медленное охлаждение, высокая влажность), а в закрытой бутылке с водой, вынутой из холодильника, «потеют» стенки — но из-за внешнего воздуха, а не внутреннего. А юмористическая аналогия? Представьте, что вы обещали наполнить ванну, но принесли всего одну чайную ложку воды — и аккуратно распределили её по всему дну тончайшей плёнкой. «Ванна заполнена!» — говорите вы, глядя на отсветы света на мокром кафеле. Физик кивает: «Да, строго по расчётам — 0,005 ванны». Так и наша банка: «Капли есть!» — только их нужно рассматривать под микроскопом, а лучше — не обещать зрителям целые капли без предварительной проверки порядка величин.