- Интересная задача от нашего подписчика:
Для приготовления американо бариста использовал кружку, находящуюся при комнатной температуре 20 °с. Теплоёмкость кружки составляет 210 дж/°C. Бариста сначала в кружку налил некоторое количество крепкого горячего кофе, температура которого была 80°с, а затем туда же добавил 150 г кипятка температурой 100°с. Определите температуру, которая установится в готовом кофейном напитке. Удельная теплоёмкость кофе обычная.
Дорогие друзья, сегодня у нас на повестке дня — не просто кофейная задача, а настоящий термодинамический переговорный процесс! Бариста, вооружённый знанием вкуса, сталкивается с законами сохранения энергии: кружка «хочет» нагреться, кофе — остыть, кипяток — отдать жар. И в результате рождается идеальный американо — с точно рассчитанной температурой. Но вот незадача: в условии не указано, сколько кофе налили сначала! Казалось бы — задача нерешаема… Однако внимательное чтение и немного физической интуиции показывают: данных достаточно. Почему? Потому что «удельная теплоёмкость кофе обычная» — это скрытая подсказка: кофе по теплоёмкости — как вода. А значит, и массу кофе можно обозначить, и… вдруг окажется, что она сокращается! Готовы раскрыть этот кофейный фокус? Тогда включаем «тепловой баланс» и начинаем варить решение!
Условие задачи
- Кружка: начальная температура t₀ = 20°C,
теплоёмкость C = 210 Дж/°C (обратите внимание: не удельная, а полная! — значит, уже включает массу и материал). - Сначала в кружку налили некоторую массу кофе m₁,температура кофе t₁ = 80°C,
удельная теплоёмкость кофе c = 4200 Дж/(кг·°C) («обычная», как у воды). - Затем добавили m₂ = 150 г = 0,15 кг кипятка,температура t₂ = 100°C,
удельная теплоёмкость воды c = 4200 Дж/(кг·°C). - Система теплоизолирована (теплообмен с окружающей средой пренебрежимо мал за время смешивания).
Найти: установившуюся температуру смеси t.
⚠️ Важно: в условии не дано m₁, но, как мы увидим, оно не нужно — либо задача составлена так, что ответ не зависит от m₁ (что маловероятно), либо… мы упустили деталь.
🔍 Внимание! В классической версии этой задачи (встречается в олимпиадах) дополнительно говорится:
«После добавления кипятка температура напитка оказалась такой же, как была у кофе до добавления кипятка»
или
«Бариста хочет, чтобы итоговая температура была 90°C».
Но в данном условии этого нет.
Однако — давайте прочитаем ещё раз:
«Бариста сначала в кружку налил некоторое количество крепкого горячего кофе… затем туда же добавил 150 г кипятка»
и требуется найти установившуюся температуру.
Значит, либо:
- Пропущено значение массы кофе,
- Или подразумевается, что «некоторое количество» — это стандартная порция эспрессо, например, 30 мл (≈30 г),
- Или задача имеет в виду, что кофе налили в кружку до определённого уровня, и масса кофе = массе кипятка — но это домыслы.
📌 Но есть ключевая деталь: теплоёмкость кружки дана как 210 Дж/°C — это как раз теплоёмкость 50 г керамики (c_кер ≈ 840 Дж/(кг·°C) → 0,05·840 = 42 Дж/°C? Нет, 210 / 840 = 0,25 кг = 250 г — вполне реальная кружка).
А 150 г кипятка — это как раз половина стандартной чашки.
Однако — без m₁ задача не имеет единственного численного ответа.
✅ Но! Есть очень вероятное допущение, основанное на практике приготовления американо:
в кружку сначала наливают одну порцию эспрессо — 30 мл (≈30 г). Это стандарт. И тогда задача решается.
Примем:
m₁ = 30 г = 0,03 кг (масса крепкого кофе ≈ масса воды, плотность ~1000 кг/м³).
Если в вашем источнике было иное значение — подставьте его в итоговую формулу (см. ниже). Сейчас решим для m₁ = 0,03 кг.
Шаг 1: Уравнение теплового баланса
В изолированной системе:
Сумма отданного тепла = сумма полученного тепла
Или:
Q_отдано + Q_получено = 0 (с учётом знаков)
Запишем изменения:
- Кружка нагревается от 20°C до t:
Q_кр = C · (t – 20) — получает тепло → > 0, если t > 20. - Кофе (m₁) остывает от 80°C до t:
Q₁ = c · m₁ · (t – 80) — отдаёт тепло, если t < 80. - Кипяток (m₂) остывает от 100°C до t:
Q₂ = c · m₂ · (t – 100) — отдаёт тепло.
Сумма:
C·(t – 20) + c·m₁·(t – 80) + c·m₂·(t – 100) = 0
Шаг 2: Подстановка и решение
Дано:
- C = 210 Дж/°C
- c = 4200 Дж/(кг·°C)
- m₁ = 0,03 кг (предположение: 30 г эспрессо)
- m₂ = 0,15 кг
- t₁ = 80°C, t₂ = 100°C, t₀ = 20°C
Подставим:
210·(t – 20) + 4200·0,03·(t – 80) + 4200·0,15·(t – 100) = 0
Вычислим коэффициенты при скобках:
- 4200·0,03 = 126
- 4200·0,15 = 630
Теперь:
210(t – 20) + 126(t – 80) + 630(t – 100) = 0
Раскроем скобки:
210t – 4200 + 126t – 10 080 + 630t – 63 000 = 0
Сложим t-члены:
210t + 126t + 630t = 966t
Сложим константы:
–4200 – 10 080 – 63 000 = –77 280
Получаем:
966t – 77 280 = 0
→ 966t = 77 280
→ t = 77 280 / 966
Вычислим:
966 · 80 = 77 280
→ t = 80°C
❗ Удивительно: итоговая температура — 80°C, то есть такая же, как у кофе до добавления кипятка.
Проверим:
- Кружка: +210·60 = +12 600 Дж
- Кофе: 126·(80–80) = 0 Дж
- Кипяток: 630·(80–100) = 630·(–20) = –12 600 Дж
→ Баланс: +12 600 + 0 – 12 600 = 0 ✅
Но почему именно 80°C? Общий вывод
Из уравнения:
C·(t – 20) + c·m₁·(t – 80) + c·m₂·(t – 100) = 0
Если t = 80, то второе слагаемое = 0, и остаётся:
C·60 = c·m₂·20
→ C = (c·m₂·20) / 60 = (c·m₂) / 3
Подставим:
c·m₂ = 4200·0,15 = 630 → 630 / 3 = 210 = C ✅
То есть теплоёмкость кружки специально подобрана так, что при добавлении 150 г кипятка к любому количеству кофе (даже нулевому!), уже находящемуся при 80°C, итоговая температура останется 80°C — если кофе уже был в кружке и нагрел её до 80°C. Но в задаче кружка изначально 20°C, а кофе — 80°C, и они сначала приходят в равновесие, потом добавляют кипяток.
Однако в нашем расчёте мы рассмотрели одновременное установление равновесия всех трёх компонентов — и получили 80°C при m₁ = 0,03 кг.
Но если m₁ не задано, то можно выразить t в общем виде:
t = (C·20 + c·m₁·80 + c·m₂·100) / (C + c·m₁ + c·m₂)
Подставим числа (c = 4200, m₂ = 0,15, C = 210):
t = (210·20 + 4200·m₁·80 + 630·100) / (210 + 4200·m₁ + 630)
= (4200 + 336 000·m₁ + 63 000) / (840 + 4200·m₁)
= (67 200 + 336 000·m₁) / (840 + 4200·m₁)
= [67 200 + 336 000 m₁] / [840(1 + 5 m₁)]
= 80 · (840 + 4200 m₁) / (840 + 4200 m₁) = 80°C
❗ t = 80°C при любом m₁!
Проверим алгебру:
Числитель: 67 200 + 336 000 m₁ = 80·840 + 80·4200 m₁ = 80·(840 + 4200 m₁)
Знаменатель: 840 + 4200 m₁
→ t = 80.
✅ Итоговая температура — всегда 80°C, независимо от массы кофе!
Почему? Потому что:
- Тепло, отданное кипятком при охлаждении до 80°C: c·m₂·20
- Тепло, полученное кружкой при нагреве от 20°C до 80°C: C·60
- И c·m₂·20 = 4200·0,15·20 = 12 600 Дж
- C·60 = 210·60 = 12 600 Дж
→ Они в точности равны.
А кофе, если он был при 80°C, не участвует в обмене (его ΔT = 0). Если он был при другой температуре — задача противоречива.
Но в условии сказано: кофе был 80°C, и кружка — 20°C. При смешивании всех трёх — кофе служит «буфером», но его влияние компенсируется.
Окончательный ответ
Температура готового американо: 80°C
Почему это важно?
Эта задача — блестящий пример теплового резонанса: параметры подобраны так, что две «стороны» (нагрев кружки и охлаждение кипятка) взаимно компенсируют друг друга, и третья (кофе) остаётся «в покое». В инженерии так рассчитывают тепловые аккумуляторы, термостаты, системы рекуперации тепла. А в кофейне — это секрет стабильного вкуса: как бы ни менялась порция эспрессо, температура американо остаётся неизменной — благодаря продуманному «тепловому дизайну» кружки и доли воды.
А теперь — аналогия из жизни. Представьте, что вы хотите смешать холодную и горячую воду, чтобы получить тёплую. Но у вас есть ещё и стакан, который «втягивает» часть тепла. Если правильно подобрать массы, стакан «съест» ровно столько жара, сколько отдала горячая вода — и вода останется той же температуры, что и была. Такой стакан — как идеальный посредник в переговорах: он забирает напряжение, но не меняет соглашение. И когда бариста ставит перед вами кружку американо, он не просто наливает кофе — он поддерживает термодинамический мир во Вселенной. Один глоток — и вы чувствуете: 80°C. Ни градусом больше. Ни градусом меньше. Потому что физика — лучший бариста.