Дорогие друзья, сегодня у нас — классическая комбинированная задача, в которой сталкиваются закон сохранения импульса, работа силы трения и кинематика. Это как детектив: пуля влетает в брусок — и исчезает внутри. Мы не видим скорости удара, но видим, насколько далеко брусок проехал по столу, и знаем коэффициент трения. И вот из этого «следа» мы должны восстановить начальную скорость пули — с точностью до метра в секунду! Звучит как работа баллиста, и на самом деле — именно так и рассчитывают скорости снарядов в реальных экспериментах (метод «баллистического маятника» или «ударного торможения»). Давайте пошагово восстановим картину происшествия — с физикой, формулами и логикой.
Условие задачи
- Масса пули: m = 0,03 кг
- Масса деревянного бруска: M = 3 кг
- После неупругого удара (пуля застревает) система «пуля + брусок» скользит по горизонтальной поверхности и останавливается, пройдя путь s = 0,06 м
- Коэффициент трения скольжения: μ = 0,3
- Ускорение свободного падения: g = 10 м/с²
- Найти: скорость пули v₀ перед ударом
⚠️ Уточнение: брусок изначально покоится, поверхность — горизонтальная, трение — единственная сила, тормозящая систему после удара.
Шаг 1: Два этапа движения — и два физических закона
Процесс состоит из двух чётко разделённых этапов:
- Кратковременное неупругое столкновение (удар).
→ Действуют внутренние силы, внешние (трение) за малое время Δt пренебрежимо малы.
→ Сохраняется импульс системы.
→ Получаем связь: v₀ → V, где V — скорость бруска с пулей сразу после удара. - Замедленное скольжение до остановки под действием силы трения.
→ Действует внешняя сила (трение), импульс не сохраняется, но можно использовать: закон сохранения энергии (работа трения = изменение кинетической энергии),
или второй закон Ньютона + кинематику.
→ По пройденному пути s находим V → а затем — v₀.
Шаг 2: Этап 2 — движение после удара (находим V)
После удара система массой (M + m) движется со скоростью V, затем тормозит до нуля за путь s = 0,06 м.
Способ 1: через работу силы трения
Сила трения:
F_тр = μ · N = μ · (M + m) · g
Работа силы трения (она отрицательна, так как направлена против движения):
A = –F_тр · s = –μ·(M + m)·g·s
Изменение кинетической энергии:
ΔE_k = 0 – (M + m)·V² / 2 = –(M + m)·V² / 2
По теореме о кинетической энергии:
A = ΔE_k
→
–μ·(M + m)·g·s = –(M + m)·V² / 2
Сокращаем –(M + m) (ненулевая масса):
μ·g·s = V² / 2
→
V² = 2·μ·g·s
→
V = √(2·μ·g·s)
Подставим числа:
- μ = 0,3
- g = 10 м/с²
- s = 0,06 м
V² = 2 · 0,3 · 10 · 0,06 = 2 · 0,3 · 0,6 = 2 · 0,18 = 0,36
→ V = √0,36 = 0,6 м/с
✅ Скорость системы сразу после удара: V = 0,6 м/с
💡 Заметьте: масса (M + m) сократилась — значит, путь торможения не зависит от массы при заданном μ! Только от начальной скорости и трения.
Шаг 3: Этап 1 — неупругий удар (находим v₀)
До удара:
- Импульс пули: p₁ = m·v₀
- Импульс бруска: 0
- Суммарный импульс: m·v₀
После удара:
- Суммарная масса: M + m
- Скорость: V = 0,6 м/с
- Импульс: (M + m)·V
По закону сохранения импульса:
m·v₀ = (M + m)·V
→
v₀ = [(M + m) / m] · V
Подставим:
- M = 3 кг
- m = 0,03 кг
- M + m = 3,03 кг
- V = 0,6 м/с
v₀ = (3,03 / 0,03) · 0,6 = 101 · 0,6 = 60,6 м/с
✅ Скорость пули перед ударом: 60,6 м/с
Шаг 4: Проверка — можно ли пренебречь m по сравнению с M?
Часто в таких задачах пишут: «M ≫ m», и тогда:
v₀ ≈ (M / m) · V = (3 / 0,03) · 0,6 = 100 · 0,6 = 60 м/с
Разница: 60,6 – 60 = 0,6 м/с — всего 1%.
В учебных задачах часто округляют до 60 м/с, но строго — 60,6 м/с.
Учитывая, что g = 10 м/с² (округлённое), и μ = 0,3 (2 значащие цифры), разумно дать ответ:
v₀ ≈ 61 м/с
или 60 м/с, если требуется оценка.
Но мы оставим 60,6 м/с — точный расчёт.
Шаг 5: Дополнительные проверки
- Убыль кинетической энергии при ударе:
E_k_до = m·v₀²/2 = 0,03·(60,6)²/2 ≈ 0,03·3672/2 ≈ 55,1 Дж
E_k_после = (3,03)·0,6²/2 ≈ 3,03·0,36/2 ≈ 0,545 Дж
→ 99% энергии превратилось в тепло и звук — типично для неупругого удара. - Работа трения:
A = μ·(M + m)·g·s = 0,3·3,03·10·0,06 ≈ 0,3·1,818 ≈ 0,545 Дж — совпадает со «второй» кинетической энергией. ✅
Окончательный ответ
Скорость пули в момент удара равна 60,6 м/с (≈ 61 м/с).
Почему это важно?
Этот метод — основа экспериментальной баллистики. Когда нельзя измерить скорость пули напрямую (слишком быстро!), её «ловят» в массивный маятник или брусок, измеряют отклонение или путь — и вычисляют. Так работали ещё в XVIII веке (баллистический маятник Бенджамина Робинса). Современные аналоги — калибровка скорости пуль, испытания брони, даже моделирование столкновений в астрофизике («космические пули» — метеориты).
А теперь — аналогия из жизни. Представьте, что вы кидаете горошину в стоящую на льду тележку. Тележка чуть сдвинется и остановится через 6 см. Зная, насколько «скользкий» лёд (μ), вы можете вычислить — с какой скоростью вы кинули горошину. Пуля — это горошина, брусок — тележка, стол — лёд (но менее скользкий). Так что, каждый раз, когда вы видите, как что-то врезается и останавливается — перед вами не просто удар, а запись скорости в виде пути. Нужно только уметь прочитать.