Дорогие друзья, сегодня у нас на повестке дня — задача, которая кажется простой, но на самом деле раскрывает одну из самых важных и часто упускаемых из виду особенностей термодинамики: фазовые переходы не сопровождаются изменением температуры, но требуют огромного количества энергии! Вася поставил бутылку воды в морозилку, и мы наблюдаем: за 10 минут — остывание от 4°C до 0°C. А сколько времени уйдёт на самое главное — превращение воды в лёд? Интуитивно хочется сказать: «Ещё 10 минут!» — но физика скажет иначе. Давайте разберёмся, почему кристаллизация — это не «продолжение охлаждения», а отдельный, энергозатратный этап, и как, зная мощность морозилки (косвенно), предсказать длительность замерзания. Вперёд — к льду и расчётам!
Условие задачи
- Вода охлаждается в морозильной камере от t₁ = 4°C до t₂ = 0°C за τ₁ = 10 минут = 600 с.
- Удельная теплоёмкость воды: c = 4200 Дж/(кг·°C)
- Удельная теплота плавления льда (она же — кристаллизации, по модулю): λ = 3,3 · 10⁵ Дж/кг
- Предполагается, что мощность теплоотвода морозилки постоянна (т.е. за равные промежутки времени отводится равное количество теплоты).
- Требуется найти время τ₂, за которое вода при 0°C полностью кристаллизуется в лёд при 0°C.
⚠️ Важно: масса воды не задана, но, как мы увидим, она сократится — задача решается без неё!
Шаг 1: Физическая модель — два этапа
Процесс состоит из двух независимых этапов:
- Охлаждение воды от 4°C до 0°C — температура падает, внутренняя энергия уменьшается на
Q₁ = c · m · Δt = c · m · (4 – 0) = 4c · m - Кристаллизация (фазовый переход «жидкость → твёрдое тело») при постоянной температуре 0°C — энергия уходит на разрушение водородных связей и формирование кристаллической решётки, без изменения температуры:
Q₂ = λ · m
Обратите внимание: Q₂ ≫ Q₁, несмотря на то, что Δt = 4°C, а фазовый переход — «без градусов». Это ключевой момент!
Шаг 2: Мощность морозилки — наш «скрытый параметр»
Морозилка отводит тепло с постоянной скоростью, то есть её мощность отвода P (в ваттах = Дж/с) неизменна:
P = Q / τ
Для первого этапа:
P = Q₁ / τ₁ = (4c · m) / τ₁
Для второго этапа:
P = Q₂ / τ₂ = (λ · m) / τ₂
Приравняем выражения для P (мощность одна и та же!):
(4c · m) / τ₁ = (λ · m) / τ₂
Масса m сокращается — именно поэтому она не нужна!
→
4c / τ₁ = λ / τ₂
Отсюда выразим τ₂:
τ₂ = (λ · τ₁) / (4c)
✅ Формула получена!
Шаг 3: Подстановка числовых значений
Дано:
- λ = 3,3 · 10⁵ Дж/кг
- c = 4200 Дж/(кг·°C)
- τ₁ = 600 с
Подставляем:
τ₂ = (3,3 · 10⁵ · 600) / (4 · 4200)
Разобьём на части.
Сначала знаменатель:
4 · 4200 = 16 800
Теперь числитель:
3,3 · 10⁵ · 600 = 3,3 · 600 · 10⁵ = 1980 · 10⁵ = 1,98 · 10⁸
Теперь делим:
τ₂ = 1,98 · 10⁸ / 1,68 · 10⁴ = (1,98 / 1,68) · 10⁴
Вычислим 1,98 / 1,68:
1,68 · 1,178 ≈ 1,68 · 1,1 = 1,848; 1,68 · 0,078 = ~0,131 → итого ~1,979
→ ≈ 1,1786
Тогда:
τ₂ ≈ 1,1786 · 10⁴ = 11 786 с
Переведём в минуты:
11 786 / 60 ≈ 196,4 минуты
Или в часах:
196,4 / 60 ≈ 3,27 часа ≈ 3 часа 16 минут
Округлим разумно: ≈ 196 минут или ≈ 3 ч 16 мин.
Для проверки — точный расчёт в Python:
Точное значение: τ₂ ≈ 11 786 с ≈ 196,4 мин ≈ 3 ч 16 мин.
Шаг 4: Анализ результата — почему так долго?
Сравним количество теплоты:
- На охлаждение: Q₁ = 4 · 4200 · m = 16 800 · m Дж
- На кристаллизацию: Q₂ = 330 000 · m Дж
Отношение:
Q₂ / Q₁ = 330 000 / 16 800 ≈ 19,64
То есть на замерзание уходит почти в 20 раз больше энергии, чем на охлаждение на 4 градуса!
Следовательно, и времени — почти в 20 раз больше:
10 мин · 19,64 ≈ 196 мин — совпадает.
💡 Это объясняет, почему в морозилке вода может стоять при 0°C долго, «не решаясь» замёрзнуть, — она «тратит» энергию на перестройку структуры, а не на понижение температуры.
Шаг 5: Реалистичные поправки (для понимания)
В реальности:
- Бутылка имеет теплоёмкость (стекло/пластик забирает часть энергии),
- Охлаждение неравномерно (поверхность замерзает первой),
- При кристаллизации выделяется тепло, которое морозилка должна отвести,
- В начале кристаллизации может быть переохлаждение (вода кратковременно опускается ниже 0°C).
Но в идеальной модели — наш расчёт корректен.
Окончательный ответ
Вода полностью кристаллизуется примерно за 196 минут (3 часа 16 минут).
Почему это важно?
Удельная теплота плавления — одна из самых мощных «энергетических буферов» в природе. Именно она:
- Спасает экосистемы: озёра не промерзают мгновенно, давая рыбе шанс пережить зиму.
- Регулирует климат: таяние ледников поглощает колоссальное тепло, замедляя глобальное потепление.
- Используется в «тепловых аккумуляторах»: в домах устанавливают баки с водой/парафином — днём они плавятся (забирают избыток тепла), ночью кристаллизуются (отдают тепло).
А ещё — это причина, по которой лёд в напитке дольше охлаждает, чем холодная вода: сначала он не просто «холодный», он поглощает 330 кДж на каждый килограмм, чтобы растаять!
А теперь — аналогия из жизни. Представьте, что вы спускаетесь с горы на велосипеде. Первые 4 метра — лёгкий спуск, вы быстро набираете скорость (это как охлаждение от 4°C до 0°C). А затем — зона торможения: вы жмёте на тормоза, скорость не растёт, но в тормозных колодках выделяется огромное количество тепла — и этот процесс занимает гораздо больше времени, чем сам спуск, хотя «дистанция» (по температуре) — ноль! Кристаллизация — это и есть «торможение» молекул воды: они теряют подвижность, упорядочиваются, и на это уходит масса энергии — без изменения «скорости» (температуры). Так что в следующий раз, открывая морозилку и видя бутылку со льдом, вспомните: это не просто «замёрзшая вода». Это — 3 часа тихой, упорной работы молекул, строящих кристаллы. И если Вася заглянул через 10 минут и решил, что «уже должно замёрзнуть» — он просто недооценил силу фазового перехода!