Дорогие друзья, сегодня мы разберём один из самых элегантных и практически важных приёмов в физике — как определить жёсткость пружины, просто засекая время! Да-да: не взвешивая грузы, не измеряя удлинение, а всего лишь наблюдая за колебаниями. Звучит как магия, но на самом деле — это чистая гармоническая динамика и закон Гука в действии. Эта задача лежит в основе динамического метода измерения жёсткости, используемого в лабораториях, инженерных испытаниях и даже в калибровке сейсмодатчиков. Мы выведем формулу, разберём её смысл шаг за шагом, покажем, как ею пользоваться, и даже обсудим, почему маятник и пружина — как братья-близнецы в мире колебаний. Готовы превратить секундомер в «весы для упругости»? Тогда вперёд!
Условие (обобщённая практическая задача)
К пружине неизвестной жёсткости k подвешивают груз массой m. После небольшого смещения груз начинает совершать гармонические колебания по вертикали. Измеряют период колебаний T.
Как, зная m и T, найти жёсткость пружины k?
Шаг 1: Что такое период колебаний пружинного маятника?
Пружинный маятник — это система из груза массой m, прикреплённого к пружине жёсткостью k (в горизонтальном положении — без учёта тяжести; в вертикальном — с учётом, но период от этого не зависит!). При смещении из положения равновесия на него действует сила упругости, направленная к центру, и возникают гармонические колебания.
Период колебаний — это время одного полного цикла: туда-обратно.
Для пружинного маятника период T определяется формулой:
T = 2π · √(m / k)
Эта формула выводится из второго закона Ньютона и закона Гука, но сегодня мы воспользуемся ею как основой — и выведем из неё жёсткость.
Шаг 2: Вывод формулы для жёсткости k
Исходная формула:
T = 2π · √(m / k)
Цель — выразить k.
- Разделим обе части на 2π:
T / (2π) = √(m / k)
- Возведём обе части в квадрат:
(T / (2π))² = m / k
- Перевернём дробь (или умножим обе части на k, затем разделим на левую часть):
k = m / (T / (2π))² = m · (2π / T)²
Упростим:
k = m · (4π² / T²) = (4π² · m) / T²
✅ Формула готова!
Шаг 3: Пояснение физического смысла
- Чем больше масса m — тем медленнее колебания (период растёт), и при фиксированном T это означает, что пружина жёстче, чтобы «удержать» тяжёлый груз в быстрых колебаниях.
- Чем меньше период T (колебания быстрые) — тем жёстче пружина: она «сильнее тянет» груз обратно — ускорение больше → частота выше → период короче.
- Коэффициент 4π² ≈ 39,48 — универсальная константа, возникающая из кругового движения и связи между линейным и угловым описанием колебаний.
Шаг 4: Пример расчёта
Допустим, в эксперименте:
- Масса груза m = 0,2 кг
- Измеренный период T = 0,628 с (удобно: это ровно 2π / 10, так что ожидаем k = 20 Н/м)
Подставим:
k = (4 · π² · 0,2) / (0,628)²
Сначала:
π ≈ 3,1416 → π² ≈ 9,8696 → 4π² ≈ 39,4784
39,4784 · 0,2 = 7,8957
Теперь знаменатель:
0,628² ≈ 0,3944
Тогда:
k ≈ 7,8957 / 0,3944 ≈ 20,02 Н/м
✅ Получили k ≈ 20 Н/м — как и предполагалось.
Шаг 5: Почему метод надёжен?
- Не требует измерения малых удлинений (которые трудно зафиксировать линейкой).
- Не зависит от ориентации (горизонт/вертикаль): в вертикальном случае сила тяжести лишь смещает положение равновесия, но не влияет на период.
- Точность определяется только массой (взвешивается точно) и временем (можно измерить 10 колебаний и разделить на 10 — погрешность уменьшается в √10 раз).
💡 Совет: чтобы повысить точность, измеряйте время N колебаний (например, N = 20), затем T = t_общ / N.
Шаг 6: Распространённые ошибки
- Путают период и частоту:
Частота ν = 1 / T, угловая частота ω = 2πν = 2π / T = √(k/m).
Тогда k = m · ω² — это та же формула, только через ω. - Забывают возвести T в квадрат — и получают k в 10 раз меньше/больше.
- Используют вес (mg) вместо массы (m) — тогда размерность ломается. Жёсткость в Н/м = кг/с², а mg — в ньютонах.
Окончательная формула
k = (4 · π² · m) / T²
Где:
- k — жёсткость пружины, Н/м
- m — масса груза, кг
- T — период колебаний, с
- π ≈ 3,1416
Почему это важно?
Этот метод — основа динамической калибровки в промышленности. Например, чтобы проверить, не ослабла ли пружина в автомобильной подвеске, инженер может просто раскачать колесо и измерить период — без демонтажа! В физиологии так измеряют упругость мышц и сухожилий. В геофизике — жёсткость земной коры по колебаниям после землетрясений. А в космосе — на МКС, где нет веса, статические методы (F = kx) неработоспособны, а динамические — работают идеально.
А теперь — аналогия из жизни. Представьте, что вы сидите на детской пружинной лошадке. Если пружина мягкая — вы раскачиваетесь медленно, с длинными «плавными» циклами. Если же пружина стальная — каждое подпрыгивание короткое и резкое. Так вот: период — это «ритм пружины», и, зная, сколько вы весите и как быстро вы подпрыгиваете, можно точно сказать, насколько она «упряма». Так что в следующий раз, качаясь на качелях (хотя там уже математический маятник!), вспомните: физика умеет слушать ритм тел — и по нему распознавать их внутреннюю силу.