Дорогие друзья, сегодня у нас — задача, которая может показаться простой на первый взгляд, но на самом деле открывает дверь в целый мир колебательных процессов! Мы будем работать с формулой периода пружинного маятника:
T = 2π√(m/k) — одной из самых красивых и фундаментальных формул в физике. Она связывает три величины: время, массу и жёсткость, превращая механическую систему в своего рода «живые весы». В нашей задаче — конкретные числа, конкретный вопрос и один очень важный нюанс: что изменится, если мы удвоим массу? Это не просто расчёт — это исследование поведения системы. Давайте разберём всё шаг за шагом, с пояснениями, проверками и даже прогнозом, чтобы вы не просто решили задачу, а по-настоящему почувствовали гармонические колебания!
Условие задачи
К пружине подвешен груз массой m = 0,4 кг. Период его вертикальных колебаний составляет T = 1,256 с.
- Найдите жёсткость пружины k.
- Как изменится период колебаний, если массу груза увеличить в 4 раза (до 1,6 кг)?
- Сколько полных колебаний совершит груз за 30 секунд в исходном случае?
Шаг 1: Формула периода — вспоминаем и готовим к работе
Период колебаний пружинного маятника определяется выражением:
T = 2π · √(m / k)
Эта формула справедлива как для горизонтального, так и для вертикального расположения пружины (в последнем случае сила тяжести лишь смещает положение равновесия, но не влияет на период — доказано теоретически и подтверждено экспериментально).
Наша цель — выразить k, затем подставить числа.
Из предыдущей задачи мы уже знаем, что:
k = (4π² · m) / T²
Но сейчас — выведем заново, чтобы закрепить.
- Возведём обе части в квадрат:
T² = 4π² · (m / k) - Умножим обе части на k:
k · T² = 4π² · m - Разделим на T²:
k = (4π² · m) / T²
Готово.
Шаг 2: Подстановка чисел (п.1)
Дано:
- m = 0,4 кг
- T = 1,256 с
Обратите внимание: 1,256 ≈ 4π / 10 = 0,4π, так как π ≈ 3,14 → 0,4·3,14 = 1,256. Это не случайно — число подобрано для удобства.
Вычислим по частям.
Сначала — T²:
T² = (1,256)² = ?
1,256 · 1,256:
1,256² = (1,25 + 0,006)² ≈ 1,5625 + 2·1,25·0,006 + 0,006² ≈ 1,5625 + 0,015 + 0,000036 ≈ 1,5775
Но точнее:
1,256 · 1,256 =
1,256 × 1,256:
→ 1256 × 1256 = 1 577 536 → сдвигаем запятую на 6 знаков (3+3): 1,577536
Теперь 4π²:
π ≈ 3,1416 → π² ≈ 9,8696 → 4π² ≈ 39,4784
Тогда числитель:
4π² · m = 39,4784 · 0,4 = 15,79136
Теперь делим:
k = 15,79136 / 1,577536 ≈ ?
Заметим: 1,577536 · 10 = 15,77536 — очень близко к 15,79136.
Разница: 15,79136 – 15,77536 = 0,016
→ 0,016 / 1,577536 ≈ 0,0101
→ k ≈ 10,01 Н/м ≈ 10 Н/м
✅ Округляем: k = 10 Н/м
Проверка через точное значение:
Если k = 10 Н/м, m = 0,4 кг, то:
T = 2π√(0,4 / 10) = 2π√0,04 = 2π · 0,2 = 0,4π ≈ 0,4 · 3,1416 = 1,25664 с — совпадает с условием!
Отлично.
✅ Ответ на п.1: жёсткость пружины k = 10 Н/м
Шаг 3: Как изменится период при увеличении массы в 4 раза? (п.2)
Новая масса: m₂ = 4 · m = 4 · 0,4 = 1,6 кг
Период:
T₂ = 2π√(m₂ / k) = 2π√(4m / k) = 2π · √4 · √(m / k) = 2 · [2π√(m / k)] = 2 · T
→ T₂ = 2 · 1,256 = 2,512 с
💡 Вывод: период увеличится в √4 = 2 раза, потому что T ∝ √m.
✅ Ответ на п.2: период станет 2,512 с (увеличится в 2 раза)
Шаг 4: Число колебаний за 30 секунд (п.3)
Частота колебаний — количество колебаний в секунду:
ν = 1 / T
Тогда за время t = 30 с число колебаний:
N = ν · t = t / T = 30 / 1,256
Вычислим:
1,256 · 23 = 1,256 · 20 + 1,256 · 3 = 25,12 + 3,768 = 28,888
30 – 28,888 = 1,112
1,256 · 0,885 ≈ 1,112 (проверка: 1,256 · 0,9 = 1,1304 — немного много; 1,256 · 0,885 = ?)
Лучше делить напрямую:
30 / 1,256 = 30000 / 1256
Упростим: разделим числитель и знаменатель на 8:
1256 ÷ 8 = 157
30000 ÷ 8 = 3750
→ 3750 / 157 ≈ ?
157 · 23 = 157·20 + 157·3 = 3140 + 471 = 3611
3750 – 3611 = 139
157 · 0,885 ≈ 139 (157·0,8 = 125,6; 157·0,08 = 12,56; итого 138,16)
→ ≈ 23,885
Но помним: T = 0,4π, значит:
N = 30 / (0,4π) = 30 / (2π/5) = 30 · 5 / (2π) = 150 / (2π) = 75 / π
π ≈ 3,1416 → 75 / 3,1416 ≈ 23,873
→ N ≈ 23,87
Полных колебаний — только целая часть: 23
(Последнее колебание не завершится — останется 0,87 цикла, то есть груз будет где-то по пути обратно.)
✅ Ответ на п.3: 23 полных колебания за 30 секунд
Шаг 5: Дополнительная проверка — энергетический взгляд
Максимальная кинетическая энергия: E_k = (m·v_max²)/2
Максимальная потенциальная энергия пружины: E_p = (k·A²)/2, где A — амплитуда.
При колебаниях: E_k = E_p → m·v_max² = k·A²
Но v_max = ω·A, где ω = 2π/T = √(k/m)
→ v_max² = (k/m)·A²
→ m·(k/m)·A² = k·A² — верно.
Значит, система консистентна.
Окончательные ответы
- Жёсткость пружины: 10 Н/м
- Период при массе 1,6 кг: 2,512 с (увеличится в 2 раза)
- Число полных колебаний за 30 с: 23
Почему это важно?
Формула T = 2π√(m/k) — это не просто уравнение, а мост между динамикой и временем. Она позволяет:
- Измерять массу в невесомости (на орбите — с помощью пружинного вибростенда),
- Определять жёсткость материалов без разрушения,
- Проектировать амортизаторы, часовые механизмы, сейсмодатчики.
А ещё — она учит нас одной глубокой истине: время в механике — не абстракция, а измеримое свойство взаимодействия массы и упругости.
А теперь — аналогия из жизни. Представьте, что вы раскачиваете ребёнка на пружинном сиденье. Если ребёнок лёгкий — вы раскачиваете быстро, ритмично. Приходит старший брат — и тот же «пружинный конь» теперь покачивается медленно, солидно, «как слон на батуте». Вы интуитивно чувствуете: чем тяжелее — тем медленнее. И вы правы — не потому, что «лень», а потому что квадратный корень из массы диктует ритм Вселенной. Так что в следующий раз, наблюдая за качелями, маятником или даже за тем, как дрожит желе в тарелке, помните: перед вами — живое воплощение формулы T = 2π√(m/k). И если вы сможете предсказать, сколько раз оно дрогнет за минуту — вы не просто физик. Вы — поэт, говорящий на языке гармонии.