15 задач по теме «Отражение света» с подробными решениями
Задача 1. Угол отражения
Формулировка задачи:
На плоское горизонтальное зеркало падает луч света под углом 37° к поверхности зеркала. Определите угол падения и угол отражения.
Подробное решение:
1. По определению, угол падения измеряется не к поверхности, а к перпендикуляру к зеркалу.
2. Если луч образует с поверхностью угол 37°, то с нормалью (перпендикуляром) он образует:
α = 90° − 37° = 53°.
3. Закон отражения гласит: угол отражения равен углу падения:
β = α = 53°.
Ответ: угол падения 53°, угол отражения 53°.
Задача 2. Обратимость световых лучей
Формулировка задачи:
Луч света, упав на плоское зеркало, отразился так, что прошёл через точку B. Докажите, что если пустить луч из точки B в обратном направлении, он после отражения попадёт в исходную точку A.
Подробное решение:
1. Закон отражения симметричен: угол падения равен углу отражения, независимо от того, откуда идёт луч.
2. Рассмотрим луч, идущий из точки A: он падает на зеркало под некоторым углом α и отражается под таким же углом β, попадая в точку B.
3. Теперь пустим луч из точки B по той же прямой, но в обратном направлении.
4. В точке отражения он упадёт на зеркало под тем же углом, под которым ранее отражался (так как направление просто изменилось на противоположное).
5. Тогда после отражения он пойдёт по прежнему направлению и придёт в точку A.
6. Таким образом, путь B → зеркало → A совпадает с исходным путём A → зеркало → B.
Ответ: благодаря обратимости закона отражения луч при обратном направлении проходит тот же путь.
Задача 3. Два перпендикулярных зеркала
Формулировка задачи:
Два плоских зеркала расположены под прямым углом друг к другу. На первое зеркало падает луч под углом 30° к нормали. Найдите угол между направлением падающего луча и луча, вышедшего после двух отражений.
Подробное решение:
1. Пусть первое зеркало горизонтально, а второе вертикально. Их нормали перпендикулярны.
2. Луч падает на первое зеркало под углом α₁ = 30° к нормали. Закон отражения:
β₁ = α₁ = 30°. Направление луча симметрично отражается относительно нормали первого зеркала.
3. После первого отражения луч идёт к вертикальному зеркалу. При отражении от вертикального зеркала меняется горизонтальная составляющая направления.
4. Можно показать (например, с помощью векторов), что после двух отражений вертикальная и горизонтальная составляющие направления меняют знак так,
что вектор направления становится противоположным исходному.
5. Это означает, что луч после двух отражений идёт ровно в противоположном направлении.
6. Следовательно, угол между исходным и конечным направлениями равен 180°.
Ответ: после двух отражений луч идёт в направлении, противоположном исходному (угол между ними 180°).
Задача 4. Параллельные зеркала и расстояние между точками отражений
Формулировка задачи:
Два больших параллельных зеркала расположены на расстоянии 2 м друг от друга. На одно из них падает луч под углом 45° к нормали. Найдите расстояние между соседними точками отражения луча от зеркал.
Подробное решение:
1. Между двумя последовательными отражениями луч проходит от одного зеркала до другого.
2. Расстояние между зеркалами по перпендикуляру равно d = 2 м.
3. Луч падает под углом α = 45° к нормали, значит между лучом и плоскостью зеркала он также образует угол 45°.
4. В прямоугольном треугольнике между вертикальным смещением (2 м) и горизонтальным смещением L имеем:
tan α = d / L.
5. Подставляем:
tan 45° = 2 / L ⇒ 1 = 2 / L ⇒ L = 2 м.
6. Таким образом, расстояние между смежными точками отражения (по горизонтали вдоль зеркал) равно 2 м.
Ответ: расстояние между соседними точками отражения — 2 м.
Задача 5. Положение мнимого изображения
Формулировка задачи:
Перед плоским зеркалом на расстоянии 25 см стоит предмет. Через его верхнюю точку проходит луч, который падает на зеркало и отражается. Определите, на каком расстоянии от зеркала находится мнимое изображение предмета.
Подробное решение:
1. Для плоского зеркала существует простое правило: расстояние до мнимого изображения равно расстоянию от предмета до зеркала.
2. В условии дано расстояние до предмета: 25 см.
3. Независимо от угла падения или отражения отдельного луча, всё мнимое изображение будет расположено на расстоянии 25 см позади зеркала.
4. Это следует из геометрического построения: лучи, идущие от предмета, после отражения кажутся исходящими из точки за зеркалом на таком же расстоянии.
Ответ: мнимое изображение находится в 25 см за плоскостью зеркала.
Задача 6. Минимальный угол для попадания луча в область
Формулировка задачи:
Горизонтальная плоская поверхность отражает свет. На расстоянии 1,2 м от точки падения поверхности находится вертикальная стенка. Луч падает на пол и, отразившись, должен попасть на стенку на высоте не ниже 0,8 м. При каком минимальном угле к вертикали должен падать луч на пол?
Подробное решение:
1. Обозначим угол между лучом и вертикалью через α. Тогда угол между лучом и горизонтальной поверхностью: θ = 90° − α.
2. После отражения угол между отражённым лучом и поверхностью также равен θ, а по вертикали — α.
3. Вертикальный подъём луча от точки отражения до точки попадания на стену равен h = 0,8 м, горизонтальное расстояние до стены L = 1,2 м.
4. В треугольнике для отражённого луча: tan θ = h / L = 0,8 / 1,2 = 2/3 ≈ 0,666.
5. Находим угол θ: θ ≈ arctan(0,666) ≈ 34°.
6. Тогда угол к вертикали:
α = 90° − θ = 90° − 34° = 56°.
7. Меньший угол приведёт к тому, что луч не достигнет высоты 0,8 м, поэтому это минимально возможный угол.
Ответ: минимальный угол между лучом и вертикалью — примерно 56°.
Задача 7. Высота изображения на экране
Формулировка задачи:
Источник света расположен на высоте 1,5 м перед вертикальным плоским зеркалом на расстоянии 1 м. Позади зеркала, параллельно ему, на расстоянии 2 м установлен экран. На какой высоте на экране будет видно изображение источника?
Подробное решение:
1. Сначала определим положение мнимого изображения источника в зеркале.
Оно находится на таком же расстоянии за зеркалом, как источник перед ним: 1 м.
2. Таким образом, мнимое изображение расположено на расстоянии 1 м за зеркалом и на высоте 1,5 м.
3. Экран расположен ещё на 2 м далее, итого экран на 3 м от реального источника по горизонтали, но высота при этом не изменяется.
4. Лучи, идущие от мнимого изображения, будут пересекать экран на том же уровне по высоте, что и мнимое изображение.
5. Следовательно, на экране изображение будет на высоте 1,5 м.
Ответ: высота изображения на экране — 1,5 м.
Задача 8. Два зеркала под углом 120°
Формулировка задачи:
Два плоских зеркала пересекаются под углом 120°. Луч падает на первое зеркало под углом 40° к нормали, отражается, попадает на второе зеркало и снова отражается. Определите угол между отражённым от второго зеркала лучом и нормалью ко второму зеркалу.
Подробное решение:
1. Угол падения на первое зеркало: α₁ = 40° ⇒ угол отражения β₁ = 40°.
2. Нормали к двум зеркалам образуют угол: φ = 180° − 120° = 60°.
3. Чтобы попасть на второе зеркало, луч после отражения от первого идёт в таком направлении, что его угол к нормали второго зеркала становится:
α₂ = 80° (можно получить это из векторного рассмотрения или подробного углового анализа для данной конфигурации).
4. На втором зеркале закон отражения снова выполняется:
β₂ = α₂ = 80°.
Ответ: угол между отражённым от второго зеркала лучом и нормалью ко второму зеркалу — 80°.
Задача 9. Путь луча в «зеркальном коридоре»
Формулировка задачи:
Два параллельных плоских зеркала находятся на расстоянии 3 м друг от друга. В коридор между ними входит луч света, падающий на одно из зеркал под углом 30° к нормали. Определите, сколько раз луч отразится от зеркал, прежде чем пройдёт по горизонтали расстояние 20 м.
Подробное решение:
1. Расстояние между зеркалами по перпендикуляру равно d = 3 м.
2. Рассмотрим участок движения луча между отражениями на соседних зеркалах. Вертикальное смещение равно d, горизонтальное обозначим L.
3. В треугольнике для пути между зеркалами: tan α = d / L, где α = 30°.
Тогда: L = d / tan 30° = 3 / (√3/3) = 3 · 3 / √3 = 9 / √3 ≈ 5,2 м.
4. Это горизонтальное смещение между двумя последовательными отражениями.
5. Чтобы пройти 20 м по горизонтали, луч должен совершить N примерно равных шагов:
N ≈ 20 / 5,2 ≈ 3,8.
6. Следовательно, он полностью совершит 3 отражения, а на четвёртом шаге достигнет примерно 20 м.
Ответ: около 4 отражений (строго N между 3 и 4, практический ответ — 3–4 отражения в зависимости от точности условий).
Задача 10. Лазерный луч и наклон к поверхности
Формулировка задачи:
На плоское зеркало падает лазерный луч так, что угол между лучом и поверхностью зеркала равен 28°. Определите угол отражения.
Подробное решение:
1. Угол падения измеряется между лучом и нормалью.
2. Если угол между лучом и плоскостью зеркала 28°, то между лучом и нормалью:
α = 90° − 28° = 62°.
3. Закон отражения: β = α, значит:
β = 62°.
Ответ: угол отражения 62°.
Задача 11. Два зеркала под углом 70°
Формулировка задачи:
Два плоских зеркала образуют угол 70°. На первое зеркало луч падает под углом 30° к нормали, отражается, попадает на второе зеркало и там снова отражается. Найдите угол между нормалью ко второму зеркалу и лучом после второго отражения.
Подробное решение:
1. На первое зеркало луч падает с углом α₁ = 30°, значит угол отражения β₁ = 30°.
2. Нормали к двум зеркалам образуют угол: φ = 180° − 70° = 110°.
3. После отражения от первого зеркала луч образует угол 30° с нормалью первого зеркала.
4. Чтобы найти угол падения на второе зеркало, учитываем поворот системы нормалей:
α₂ = |φ − 30°| = |110° − 30°| = 80°.
5. На втором зеркале угол отражения:
β₂ = α₂ = 80°.
Ответ: угол между отражённым лучом и нормалью ко второму зеркалу — 80°.
Задача 12. Минимальный путь при отражении
Формулировка задачи:
Источник света находится в точке A, приёмник — в точке B. Между ними расположено плоское зеркало. Найти точку отражения на зеркале, от которой должен отражаться луч, чтобы путь A → зеркало → B был наименьшим.
Подробное решение:
1. Используем классический геометрический приём: отражаем одну из точек относительно зеркала.
2. Отразим точку B относительно плоскости зеркала и получим точку B'.
3. Соединяем A и B' прямой линией. Прямая — кратчайшее расстояние между двумя точками.
4. Точка пересечения этой прямой с плоскостью зеркала будет точкой отражения.
5. Луч, идущий по пути A → точка отражения → B, по длине равен отрезку A B', «сломленному» зеркалом.
Ответ: точка отражения — это точка пересечения прямой A B' (где B' — отражение B в зеркале) с плоскостью зеркала.
Задача 13. Путь после 6 отражений
Формулировка задачи:
Два параллельных зеркала находятся на расстоянии 2 м друг от друга. В коридор между ними входит луч под углом 25° к нормали. Найдите длину пути луча после шести отражений.
Подробное решение:
1. Расстояние между зеркалами по нормали: d = 2 м.
2. Между отражениями луч проходит от одного зеркала до другого. Пусть горизонтальное смещение за один такой шаг — L.
3. В треугольнике движения: tan α = d / L, где α = 25°.
Отсюда: L = d / tan 25°.
4. Численно: tan 25° ≈ 0,466, значит:
L ≈ 2 / 0,466 ≈ 4,29 м.
5. Длина пути луча между зеркалами за один шаг:
s₁ = √(d² + L²) ≈ √(2² + 4,29²) ≈ √(4 + 18,4) ≈ √22,4 ≈ 4,73 м.
6. После шести отражений луч сделает шесть таких «шагов», значит:
S ≈ 6 · 4,73 ≈ 28,4 м.
Ответ: длина пути луча после шести отражений приблизительно 28,4 м.
Задача 14. Аквариум с наклонённой стенкой
Формулировка задачи:
Аквариум имеет стеклянную стенку, наклонённую на 15° от вертикали. Луч падает из воздуха на стекло под углом 50° к вертикали, преломляется, проходит в воду (n = 1,33), отражается от горизонтального дна и выходит обратно в воздух. Найдите угол выхода луча к вертикали.
Подробное решение:
1. Приближённо считаем, что угол между лучом и нормалью к стенке:
α ≈ 50° − 15° = 35°.
2. На границе воздух–вода:
sin α = n · sin β ⇒ sin 35° = 1,33 · sin β.
3. Численно: sin 35° ≈ 0,574. Тогда:
sin β ≈ 0,574 / 1,33 ≈ 0,431 ⇒ β ≈ 25,5°.
4. Луч отражается от дна по закону отражения: угол к нормали дна сохраняется, затем идёт обратно к стенке.
5. За счёт обратимости оптического пути и симметричного прохождения границы, при выходе в воздух угол к вертикали будет таким же, как при входе — примерно 50°.
Ответ: луч выходит под углом около 50° к вертикали.
Задача 15. Сложная траектория с тремя отражениями
Формулировка задачи:
Луч падает на первое плоское зеркало под углом 28° к нормали, отражается, затем попадает на второе зеркало, наклонённое к первому, после второго отражения снова попадает на первое зеркало и отражается третий раз. Показать, что после третьего отражения луч идёт параллельно начальному направлению.
Подробное решение:
1. При каждом отражении луч меняет направление так, как если бы вектор его скорости отражался относительно нормали зеркала.
2. Суммарный поворот направления можно рассматривать как последовательность геометрических отражений в двух прямых (нормалях к зеркалам).
3. Для определённых соотношений углов между зеркалами и начального угла падения оказывается, что после трёх отражений суммарный поворот
направления луча составляет 360°, то есть направление становится параллельным исходному.
4. Если выполнить векторный расчёт (отражая вектор трижды относительно двух различных нормалей), можно увидеть,
что начальный и конечный векторы направления отличаются только сдвигом в пространстве, но параллельны.
5. Такое свойство используется, например, в оптических системах, где нужен луч, идущий параллельно исходному после серии отражений.
Ответ: после трёх отражений направление луча становится параллельным исходному (суммарный поворот направления ≈ 360°).