Хотите понять гипотезу Пуанкаре? И из-за чего математики больше 100 лет ломали головы? Да-да (вы правильно догадались), мне снова написали в комментариях и попросили простыми словами объяснить суть этой гипотезы! А ещё, почему это так важно и почему российский математик Григорий Перельман доказав её отказался от миллиона долларов? Ну, что ж, давайте разбираться вместе.
Гипотеза Пуанкаре – что это (простыми словами)
Сама гипотеза Пуанкаре звучит так:
Всякое n-мерное многообразие гомотопически эквивалентно n-мерной сфере тогда и только тогда, когда оно гомеоморфно ей.
Ничего не понятно?
Для большего понимания, давайте сначала представим, что вы космонавт, плывущий сквозь бескрайние просторы космоса. Вокруг вас ни звёзд, ни планет, а полная пустота. Вы включаете двигатели и летите, летите и вдруг замечаете... что возвращаетесь туда, откуда начали!
Как такое возможно? Может, Вселенная замкнута, как поверхность шара? А может, она устроена ещё хитрее, как бублик, или что-то совсем непостижимое?
Именно такие вопросы привели к одной из самых глубоких идей в математике – гипотезе Пуанкаре, которая больше 100 лет оставалась загадкой даже для самых великих умов.
Что означает гипотеза Пуанкаре?
Итак, в 1904 году французский учёный Жюль Анри Пуанкаре, который был по интересам схож с Леонардо Да Винчи (физика, механика, астрономия, философия), задался, казалось бы, простым вопросом:
Как определить, что трёхмерное пространство «просто устроено», как шар?
Но что значит «просто устроено»? Для этого опустимся на более понятный уровень – двумерный (поверхность).
Возьмём поверхность обычного воздушного шарика. Если вы разложите на нём, например, резинку в виде замкнутой петли, то вы всегда сможете стянуть её в точку, не разрывая и не спрыгивая с поверхности. Это работает, потому что шар – «простая» поверхность без дырок.
Теперь представьте бублик. Попробуйте стянуть резинку, обвивающую его дырку. Никак не получится! Она застрянет. Значит, бублик уже не «простой», как шар.
Пуанкаре подумал: а что, если применить эту логику к трёхмерному пространству? Не поверхности, а самому объёму? Он предположил:
Если в трёхмерном пространстве любая замкнутая петля может быть стянута в точку (внутри него же!), то это пространство по своей форме – трёхмерная сфера.
Иными словами: если в вашем мире нет «невидимых дыр», через которые нельзя протащить петлю, то этот мир не что иное, как объём шара.
Это и есть самый распространенный частный случай, более общей гипотезы Пуанкаре о «форме» пространств, называемых многообразиями.
Почему доказательство такое сложное?
Хотя на словах звучит просто, но доказать это, совсем другое дело.
Во-первых, мы говорим не о физическом пространстве, а об абстрактной геометрии, о том, как могли бы быть устроены любые возможные «миры», даже невообразимые.
Во-вторых, в трёх измерениях возникают такие хитрые искажения и «закрученности», которые не поддаются интуиции. Например, пространство может быть гладким, но содержать «невидимые» топологические ловушки, которые мешают стянуть петлю, даже если внешне кажется, что всё в порядке.
Одна из семи задач тысячелетия
Итак, ещё раз, чтобы не запутаться. Гипотеза Пуанкаре говорит, что если у нас есть какое-то n-мерное пространство (например, двумерная поверхность, трёхмерный объём и так далее), и оно «похоже» на n-мерную сферу с точки зрения петель (то есть любую замкнутую петлю в нём можно стянуть в точку, не разрывая), тогда это пространство на самом деле можно как бы «переформовать» в обычную n-мерную сферу, не рвя и не склеивая ничего.
Эту идею для 2-мерного пространства подтвердили сразу. Математик Стивен Смейл в 1961 году подтвердил для 5-мерного пространства и выше. Позже, в 1982 году, Майкл Фридман доказал её для 4-мерного случая.
Но... вот для нашего 3-мерного пространства доказательства никто никак привести не мог.
Таким образом, гипотеза Пуанкаре («Всякое односвязное компактное трёхмерное многообразие без края гомеоморфно трёхмерной сфере») была включена в список семи «задач тысячелетия». Но именно трёхмерный случай был не доказан и за решение которого Институт Клэя пообещал миллион долларов.
Григорий Перельман – доказал гипотезу и сказал «нет» миллиону
В 2002-2003 годах на математическом форуме ArXiv появились три короткие статьи, написанные никому тогда не известным русским математиком Григорием Яковлевичем Перельманом (1966 года рождения). В них он использовал метод, предложенный американцем Ричардом Гамильтоном «потоки Риччи» и довёл его до логического завершения.
Грубо говоря, Перельман «надул» пространство, как шарик, и показал, что если в нём нет дырок, оно неизбежно превратится в идеальную трёхмерную сферу. Для этого он использовал сложные математические инструменты, включая дифференциальные уравнения и анализ сингулярностей.
Его доказательство прошло проверку лучших математиков мира – и в 2006 году было признано абсолютно верным и названо «научным прорывом года».
Но самое удивительное, Перельман отказался от премии в 1.000.000 долларов. Он сказал, что «не хочет быть выставлен на всеобщее обозрение», что его работа «не ради славы или денег» и что «важна была истина», а не награда.
Вместо заключения
А что же теперь? Гипотеза Пуанкаре – это больше не гипотеза – теперь это доказанная теорема! Но её значение выходит далеко за рамки математики. Она помогает физикам думать о форме Вселенной, а топологам понимать, как устроены сложнейшие структуры в науке, от ДНК до нейронных сетей.
Но... то, что Перельман не взял денежную премию, которая по праву принадлежала ему, меня до сих пор неприятно шокирует. Ну, если тебе не нужны деньги, то отдай их на благотворительность, на создание математической школы, в детский дом. Может я жадина-говядина, но я бы миллион у капиталистов забрала и истратила в России, пусть даже не на себя...
А вот ещё интересные математические загадки:
Благодарю, что дочитали до конца. Лайк – лучшее спасибо мне, как автору!