Математика кажется строгой и «скучно логичной», но уже на уровне обычных чисел начинаются вещи, которые идут вразрез с интуицией — от бесконечного количества простых до того, что разные бесконечности бывают «разного размера».
0,9999… и 1 — это одно и то же число
Запись 0,9999… с бесконечным количеством девяток обозначает то же самое число, что и 1, хотя интуиция тянет сказать «чуть-чуть меньше».
Математически можно показать, что разность между ними равна нулю, а значит это одна и та же точка на числовой прямой, просто записанная по‑разному.
Между любыми двумя числами бесконечно много других
Как бы близко ни стояли два разных числа — между ними всегда можно найти ещё одно (и на деле бесконечно много).
Это верно даже для чисел, отличающихся на «ничтожную» величину, и именно поэтому рациональных чисел «меньше», чем всех действительных: между любыми двумя рациональными прячется несчётное множество иррациональных.
Простых чисел бесконечно много — но в них нет видимого порядка
Простые числа (делящиеся только на 1 и себя) встречаются всё реже, но никогда не «кончаются» — это доказал ещё Евклид.
При этом строгого простого правила, по которому можно предсказать, где именно появится следующий простой, до сих пор не найдено, хотя на распределение простых существует множество глубоких результатов и гипотез.
Существуют разные «размеры» бесконечности
Интуитивно бесконечность — просто «очень много», но математика показывает, что есть бесконечности, которые не равноценны.
Множество натуральных чисел и множество рациональных чисел имеют одну «мощность» — их можно пронумеровать; а вот множество всех действительных чисел строго больше — его нельзя поставить в биекцию с натуральными, как показал Кантор.
У числа π нет конца — и в нём спрятаны любые комбинации цифр
Число π иррационально и, по современным представлениям, «нормально»: его десятичная запись бесконечна и не периодична, и в ней, с огромной долей уверенности, встречаются любые конечные последовательности цифр.
Это значит, что где‑то в записи π можно найти свой номер телефона или любую другую комбинацию, если искать достаточно далеко.sciencefocus+1
Ноль — единственное число, которое ни положительное, ни отрицательное
Ноль долго не признавали «настоящим» числом, а в античной Греции его вообще не считали числом.
Сегодня ноль играет фундаментальную роль: это и нейтральный элемент сложения, и точка отсчёта для координат, и граница между положительными и отрицательными значениями, оставаясь при этом единственным числом, которое не относится ни к тем, ни к другим.
Золотое сечение встречается и в формулах, и в рисунках
Золотое сечение — число примерно 1,618…, связанное с последовательностью Фибоначчи и простым уравнением x2=x+1x^2 = x + 1x2=x+1.gosharpener+2
Эта пропорция всплывает в геометрии, природе (например, в спиралях и филоТаксисе растений) и часто используется в архитектуре и искусстве для создания композиций, которые субъективно кажутся «гармоничными» и «сбалансированными».
