🧮 Практикуемся решать выражения с корнями: от простого к сложному с примерами

Корни кажутся сложными? Это потому, что их часто учат без связи с реальностью. Давайте вместе пройдём путь от простых примеров к сложным — с подробными объяснениями каждого шага. К концу статьи вы будете уверенно работать с корнями!

📌 Напоминание основных правил

1. √(a·b) = √a · √b
2. √(a/b) = √a / √b
3. (√a)² = a (при a ≥ 0)
4. √(a²) = |a| (модуль!)

🔢 Уровень 1: Простые вычисления

Пример 1: Числа под корнем

√36 + √25 = ?

Решение:

• √36 = 6 (потому что 6² = 36)
• √25 = 5 (потому что 5² = 25)
• 6 + 5 = 11

Ответ: 11

Пример 2: С умножением

√9 · √16 = ?

Решение:

• √9 = 3
• √16 = 4
• 3 · 4 = 12

Ответ: 12

🧩 Уровень 2: Упрощение выражений

Пример 3: Вынос множителя из-под корня

Упростить: √50

Решение:

1. Разложим 50 на множители: 50 = 25 · 2
2. √50 = √(25·2) = √25 · √2 = 5√2

Ответ: 5√2

Пример 4: Сложение корней

√18 + √8 = ?

Решение:

1. Упростим каждый корень:
   √18 = √(9·2) = 3√2
   √8 = √(4·2) = 2√2
2. Складываем: 3√2 + 2√2 = 5√2

Ответ: 5√2

Важно! Можно складывать только корни с одинаковым подкоренным выражением: √2 + √2 = 2√2, но √2 + √3 нельзя упростить!

📐 Уровень 3: Корни в дробях

Пример 5: Упрощение дроби

√75 / √3 = ?

Решение:

1. Способ 1: √75 / √3 = √(75/3) = √25 = 5
2. Способ 2: √75 = √(25·3) = 5√3, тогда (5√3)/√3 = 5

Ответ: 5

Пример 6: Освобождение от иррациональности в знаменателе

1 / √2 = ?

Решение:
Умножаем числитель и знаменатель на √2:
(1·√2) / (√2·√2) = √2 / 2

Ответ: √2/2

⚡ Уровень 4: Комбинированные выражения

Пример 7: Несколько операций

(√12 − √3) · √3 = ?

Решение:

1. √12 = √(4·3) = 2√3
2. (2√3 − √3) = √3
3. √3 · √3 = 3

Ответ: 3

Пример 8: Со скобками и степенями

(√5 + √3)² = ?

Решение:
Используем формулу квадрата суммы:
(√5)² + 2·√5·√3 + (√3)² = 5 + 2√15 + 3 = 8 + 2√15

Ответ: 8 + 2√15

🎯 Уровень 5: Реальные задачи

Задача 1: Геометрическая

Диагональ квадрата равна 10 см. Найдите сторону квадрата.

Решение:

• Диагональ квадрата: d = a√2
• 10 = a√2
• a = 10/√2 = (10√2)/2 = 5√2 см

Ответ: 5√2 см

Задача 2: Физическая

Период колебания маятника: T = 2π√(L/g).
Если L = 9.8 м, g = 9.8 м/с², найдите T.

Решение:
T = 2π√(9.8/9.8) = 2π√1 = 2π секунд

Ответ: 2π секунд (≈ 6.28 с)

💡 Полезные приёмы и лайфхаки

Быстрое вычисление √2, √3, √5

Запомните приближённые значения:

• √2 ≈ 1.414
• √3 ≈ 1.732
• √5 ≈ 2.236

Проверка на разумность

Если вычислили √150 и получили 5√6 ≈ 12.25, проверьте:
12² = 144, 12.25² ≈ 150 — похоже на правду!

⚠️ Типичные ошибки

❌ Ошибка: √(9 + 16) = √9 + √16 = 3 + 4 = 7
✅ Правильно: √(9 + 16) = √25 = 5

❌ Ошибка: √(a²) = a (без модуля)
✅ Правильно: √(a²) = |a|

❌ Ошибка: √(−4) = −2
✅ Правильно: В действительных числах корень из отрицательного числа не существует (пока не изучаем комплексные числа)

📝 Практикуемся самостоятельно

Решите выражения:

1. √27 − √12
2. (√6 · √24) / 3
3. (√7 + 2)(√7 − 2)
4. √(1/9) + √0.25

Ответы:

1. √3 (3√3 − 2√3)
2. 4 (√144/3 = 12/3)
3. 3 (разность квадратов: 7 − 4)
4. 5/6 (1/3 + 1/2)

🚀 Что дальше?

Когда освоите эти примеры, можно переходить к:

• Кубическим корням
• Корням n-ной степени
• Иррациональным уравнениям
• Комплексным числам

💎 Вывод: Работа с корнями — это навык, который развивается практикой. Начните с простых примеров, переходите к сложным, и скоро корни станут вашими друзьями!

📌 Сохраните эту статью как пошаговое руководство. Возвращайтесь к ней, когда нужно вспомнить правила!

P.S. На занятиях мы решаем целые цепочки выражений с корнями — приходите тренироваться! 🌱