В этой статье мы разберем классическую задач из математического анализа, а именно исследование функций и построения графиков функций. Для начала рассмотрим немного теории, а потом перейдем к практике.
💡 А пока не забудьте подписаться на мой telegram-блог, ведь там очень много интересного по физ-мату и IT 📚
1. Область определения
Область определения D(f) — это множество всех «входных» значений (чаще всего x), для которых правило функции дает однозначный и осмысленный результат. Т.е., как минимум исключает разрывы второго рода и определяет область, в которой функция принимает действительные значения без выколотых точек (ну если мы не в контексте ТФКП).
- Исторический контекст: Понятие области определения эволюционировало с расширением числовых множеств. Для математиков древности, не знавших отрицательных чисел, область определения y = x² была лишь x ≥ 0. Появление комплексных чисел радикально изменило «карту» для многих функций.
- Естественные запреты: Основные «стены» на этой области — деление на ноль и извлечение корня чётной степени из отрицательного числа в вещественных функциях. Логарифм отрицательного числа — это ещё один непроходимый рубеж в мире вещественных чисел.
2. Чётность: симметрия
Проверка на чётность/нечётность — это поиск внутренней симметрии функции. Чётная функция (f(-x) = f(x)) симметрична относительно оси OY, как бабочка или лицо человека. Нечётная (f(-x) = -f(x)) симметрична относительно начала координат, как пропеллер (винт с двумя лепестками в 1 и 3 четверти, например).
- Физический смысл: В физике чётность связана с сохранением фундаментальных законов при отражении пространства. Кинетическая энергия (mv²/2) — чётная функция скорости. Многие законы природы инвариантны относительно такой симметрии.
- Разложение на части: Любую функцию (с симметричной областью определения) можно единственным способом представить как сумму чётной и нечётной компонент: f(x) = [f(x)+f(-x)]/2 + [f(x)-f(-x)]/2. Это мощный аналитический приём. Отгадали где такое используется?
- Психология восприятия: Наш мозг легче «считывает» симметричные графики. Наличие чётности или нечётности сразу упрощает построение и анализ — достаточно исследовать только правую полуплоскость, левая достроится сама.
3. Пересечение с осями: Первая встреча с пространством
Точки пересечения с осями — это «точки контакта» графика функции с системой координат, его рукопожатие с абсциссами и ординатами. С осью OX (нули функции) — это аргументы, где функция «зануляется». С осью OY (f(0)) — это «стартовая высота» функции.
- Прикладная интерпретация: В экономике нули функции прибыли — это точки безубыточности. В физике пересечение траектории с осью времени — момент события. Это самые востребованные точки в прикладных задачах.
- Теорема о промежуточных значениях: Если непрерывная функция на концах отрезка принимает значения разных знаков, то внутри него гарантированно лежит хотя бы один ноль (точка пересечения с OX). Это одна из краеугольных теорем математического анализа, связывающая алгебру и топологию. ( Такой лайфхак используется в численном методе дихотомии )
- Проблема точности: Нахождение нулей аналитически часто сводится к решению уравнений, которое может быть неразрешимо в радикалах (для полиномов степени ≥5). Тогда мы вступаем в царство численных методов (Ньютона, половинного деления), что является целой отдельной наукой.
4. Асимптоты: Недостижимые горизонты
Асимптоты — это прямые, к которым график функции неограниченно приближается, но никогда не пересекает (или пересекает бесконечно много раз). Это линии-горизонты, линии-магниты, определяющие «поведение на бесконечности» или около точек разрыва. Разумеется, тут нам помогают пределы и умение с ними работать.
Слово происходит от греческого asymptotos — «несовпадающий». Это прекрасная математическая метафора для понятий «стремления», «предела», «недостижимого идеала».
1. Вертикальные возникают в точках разрыва 2-го рода и говорят о «взрывном», неограниченном росте функции.
2. Горизонтальные описывают «стабилизацию» функции на бесконечности.
3. Наклонные — самое изящное проявление: функция пытается стать линейной, её поведение на бесконечности определяется соотношением «роста» и «аргумента».
Асимптоты есть не только у рациональных функций: Идея асимптотического поведения шире. Например, функция y = x + sin(x)/x имеет наклонную асимптоту y = x, хотя и колеблется около неё. График y = ln(x) имеет вертикальную асимптоту x=0.
5. Производная первого порядка: Искусство находить вершины и впадины (экстремумы)
Геометрически — это угловой коэффициент касательной, мгновенная скорость изменения. Алгоритмически — инструмент для поиска экстремумов (максимумов и минимумов).
- Великое объединение: Открытие производной (Ньютоном и Лейбницем) связало, казалось бы, разные задачи: нахождение скорости по известному пути и проведение касательной к кривой. Это триумф математической абстракции.
- Критерий Ферма и его коварство: Необходимое условие экстремума ( f'(x₀)=0 ) — лишь указание на «подозрительные» точки (стационарные). Но функция может вести себя там как на вершине холма (максимум), на дне ямы (минимум) или как на седловине (перегиб). Требуется дополнительное расследование.
- Природа оптимизирует: Законы физики (наименьшего действия), экономики (максимизации прибыли), инженерии (минимизации затрат) часто формулируются как задачи на поиск экстремумов. Производная — ключ к их решению.
6. Производная второго порядка: Взгляд на кривизну и выпуклость
Это производная от производной. Если первая производная — это «скорость», то вторая — «ускорение». Она показывает, как быстро меняется сам наклон графика.
- Выпуклость/вогнутость: Знак второй производной — детектор «направления изгиба» графика. f''(x) > 0 — график лежит выше касательных (вогнут, как чаша). f''(x) < 0 — график лежит ниже касательных (выпукл, как купол). Это критично для анализа надежности экстремумов.
- Точка перегиба: Момент смены выпуклости — точка перегиба (f''(x)=0 с переменой знака). Это точка, где кривая перестает быть «чашей» и становится «куполом» или наоборот. Часто это точка наибольшей или наименьшей «крутизны» изменения.
- Связь с минимизацией: В задачах оптимизации положительность второй производной в стационарной точке гарантирует, что это именно минимум (график «выпячивается» вверх). Это основа метода Ньютона и многих других численных алгоритмов.
7. График функции: Синтез, где алгебра становится геометрией
График — это конечный продукт исследования, визуальное воплощение всех предыдущих шагов. Это история, рассказанная линией на плоскости.
Изобретение координатного метода Рене Декартом (XVII век) превратило алгебраические уравнения в геометрические образы и наоборот. Это, пожалуй, одно из самых плодотворных пересечений в истории науки.
Построение графика — это искусство интерпретации аналитических данных. Один и тот же набор фактов можно визуализировать по-разному, акцентируя разные особенности. В эпоху компьютеров это искусство трансформировалось в мастерство работы с графическими пакетами и понимание их алгоритмов.
Задача
Исследовать данные функции методами дифференциального исчисления и построить их графики. В пункте б) дополнительно составить уравнения касательной и нормали, проведенных к графику данной функции в точке x = x₀.
а) y = 1/(x² + 9)
б) y = (x² + 24)/(x - 1) ; x₀ = 0
Решение:
а) y = 1/(x² + 9)
1. Область определения:
2. Четность:
График симметричен относительно оси OY.
3. Пересечение с осями:
4. Асимптоты:
Вертикальных асимптот нет, т.к. знаменатель не обращается в ноль.
5. Производная первого порядка:
6. Производная второго порядка:
7. График функции:
б) y = (x² + 24)/(x - 1) ; x₀ = 0
1. Область определения:
2. Пересечение с осями:
3. Асимптоты:
Вертикальная асимптота:
Наклонная асимптота: степень числителя больше степени знаменателя на 1.
4. Производная первого порядка:
5. Производная второго порядка:
6. Уравнение касательной и нормали x₀ = 0. Точка M(0, 24).
7. График
Понравилась статья? Дайте обратную связь в комментариях. Напишите ваше мнение, идеи, мысли 😉
Если Вам нужен репетитор по физике, математике или информатике/программированию, Вы можете написать мне или в мою группу Репетитор IT mentor в VK
Библиотека с книгами для физиков, математиков и программистов
Репетитор IT mentor в VK
Репетитор IT mentor в telegram