Сочетание "to no avail" (также "to little avail", "without avail") — это устоявшееся идиоматическое выражение, означающее "безрезультатно, тщетно, напрасно, без успеха". Здесь "to" — это не часть инфинитива, а предлог, который исторически указывает на направление или результат действия. Подробное объяснение Исторический и лингвистический контекст
Слово "avail"
(польза, выгода, результат) само по себе устарело в современном
английском в качестве существительного, но сохранилось именно в этой
фразе. Конструкция "to + существительное" часто используется для обозначения результата или цели:
to my surprise (к моему удивлению)
to his credit (в его заслугу)
to our advantage (к нашей выгоде)Таким образом, "to no avail" буквально можно понять как "к нулевому результату" или "не приводя ни к какой пользе". Грамматическая роль
В предложении "His studying was to no avail" фраза выступает в роли именной части составного сказуемого (после глагола-связки was). Она описывает состояние или результа