Σ-статистика дефектов
→ топологические квазичастицы
→ вычислительные и устойчивые структуры
1. Принципиальная установка
Ключевая особенность Σ-подхода:
множество типов дефектов не фиксировано априори.
Это не классификация «частиц», а открытая иерархия топологических возбуждений, определяемая:
- типом монодромии;
- размерностью носителя дефекта;
- алгебраическим типом вычета;
- способом вложения (embedding) в Σ-геометрию.
Именно здесь Σ-теория принципиально отличается от стандартных моделей поля.
2. Σ-статистика как статистика путей, а не объектов
В обычной КМ статистика относится к перестановкам частиц.
В Σ-формализме статистика относится к:
[
\text{классам гомотопий траекторий в пространстве дефектов}.
]
Обмен двух дефектов — это не операция (S_2), а элемент:
[
\pi_1(\mathcal{C}_\Sigma \setminus \mathcal{D}),
]
где (\mathcal{D}) — множество сингулярностей.
Следствие:
- статистика определяется монодромией, а не симметрией волновой функции.
3. Типы Σ-статистики
3.1. Абелева (бозон/фермион)
Возникает при:
- точечных дефектах,
- тривиальной кривизне вне дефектов.
Это частный случай Σ-алгебры.
3.2. Анионная (плоская Σ-кривизна с вычетами)
При дефектах коразмерности 2:
[
\Psi \mapsto e^{i\theta}\Psi
]
при обходе.
Это уже топологическая фаза, не устранимая калибровкой.
3.3. Нелинейная (неабелева)
Если:
- дефекты несут матричные вычеты;
- голономии не коммутируют,
то:
[
\Psi \mapsto U_\gamma \Psi, \quad
U_{\gamma_1} U_{\gamma_2} \neq U_{\gamma_2} U_{\gamma_1}.
]
Это неабелева Σ-статистика.
4. Топологические квазичастицы
Топологическая квазичастица — это:
устойчивая конфигурация дефектов,
инвариантная относительно локальных деформаций Σ-метрики.
Формально:
[
\delta r_\Sigma = 0
\quad \text{при} \quad
\delta g_\Sigma \text{ локальна}.
]
Примеры:
- связанные вычеты;
- дефектные петли;
- фазовые узлы;
- композиции монодромий.
5. Устойчивость как топологический инвариант
Устойчивость квазичастицы не энергетическая, а гомотопическая:
- разрушение требует изменения класса пути;
- локальные возмущения неэффективны.
Это автоматически даёт:
- защиту от шумов;
- долговременное хранение информации;
- дискретный спектр состояний.
6. Вычислительные структуры
Рассмотрим пространство состояний:
[
\mathcal{H}\text{top} = \text{Rep},\pi_1(\mathcal{C}\Sigma).
]
Операции:
- перемещение дефектов;
- их обмен;
- слияние и расщепление
реализуют унитарные операторы, зависящие только от топологии пути.
Это и есть:
топологическое вычисление
как управление Σ-голономиями.
7. Логические элементы Σ-вычислений
ЭлементΣ-реализацияЛогическое состояниекласс конфигурации дефектовЛогическая операциягомотопия путиОшибкалокальная деформацияЗащитатопологический инвариантПамятьсвязанный вычет8. Роль открытого списка дефектов
Принципиально важно:
- новые типы дефектов могут быть сконструированы,
- они определяются не «частицами», а:
- алгеброй,
- типом вложения,
- размерностью.
Это означает, что Σ-алгебра допускает расширяемые вычислительные архитектуры без изменения базовых аксиом.
9. Связь с нелокальной геометрией
Нелокальность здесь не динамическая, а структурная:
- состояние распределено по конфигурационному пространству;
- локализация не фундаментальна;
- «объект» — это глобальный инвариант.
Это согласуется с ранее введённой Σ-нелокальностью интервала и интеграла.
10. Итог раздела
- Статистика в Σ-теории — топологическая.
- Квазичастицы — устойчивые конфигурации дефектов.
- Взаимодействия — управление монодромиями.
- Вычисления — гомотопические процессы.
- Классификация дефектов — открытая.
Соглашение о представлении
© Михаил Владимирович, 2025.
Лицензия CC BY-NC-ND 4.0
https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/deed.ru