Большая часть моих учеников, которых я готовлю к вступительным экзаменам в школу 1543, поступают в 5 класс, но есть и те, которые нацелены на приём в старшие классы. На занятиях с ними мы учимся решать любопытные задачи из экзаменов прошлых лет. Вот, например, попробуйте решить задание по геометрии, которое было в варианте по математике при поступлении в 10 математический класс.
Какая часть площади квадрата закрашена?
Введём следующие обозначения на рисунке:
Пусть площадь всего квадрата равна 1. Тогда площадь треугольника ABC равна 1/4, поскольку он занимает четвёртую часть от всего квадрата. Будем искать площадь треугольника AOC, потому что она равна половине искомой площади всего закрашенного четырёхугольника.
Заметим сперва, что треугольника BOD подобен треугольнику AOC по двум углам (∠BOD = ∠AOC, так как они вертикальные, а также ∠BDO = ∠OAC, так как они накрест лежащие при параллельных прямых BD, AC и секущей AD). Тогда верно следующее соотношение подобия:
Заметим теперь, что треугольник ABC подобен треугольнику HOC по двум углам (∠BAC = ∠OHC = 90° и ∠BCA - общий). Из этого получается следующее соотношение подобия:
Ну просто потому, что отрезок BC занимает 3 части, а отрезок OC - 2 части. Из этого соотношения получаем, что OH = 2/3*AB.
Наконец, замечаем, что треугольник ABC и треугольник AOC имеют общее основание AC. Значит, площадь треугольника AOC во столько же раз меньше площади треугольника ABC, во сколько раз высота OH меньше высоты AB. То есть получаем, что
Ну а поскольку площадь закрашенного четырёхугольника вдвое больше площади треугольника AOC, то окончательный ответ к заданию: 1/3.
Готовьтесь к вступительным экзаменам по математике и физике в школу 1543 с репетитором на https://yourtutor.info/.