Обычное шестизначное число, которое при умножении на два, три, четыре, пять и шесть всего лишь переставляет свои цифры по кругу, а на седьмом шаге превращается в шесть девяток.
Источник: 1962 год, ежегодная конференция Математической ассоциации в Королевском колледже Лондона. Доклад преподавателя Р. Е. Грина «Простые числа и повторяющиеся десятичные дроби». Позже статья в Mathematical Gazette.
*Дробь 1/7 прятала этот фокус веками.*
Как дробь 1/7 создала вечную загадку?
Декодировка: 1/7 = 0.142857 142857 142857... Это означает бесконечный период из шести цифр. Берём эти цифры как самостоятельное число 142 857. Когда мы умножаем его на 2, выходит 285 714. На 3, 428 571. На 4, 571 428. На 5, 714 285. На 6, 857 142. Каждый раз одни и те же цифры, просто сдвинутые. Фундаментальное ограничение: всё волшебство завязано на том, что 10 является первообразным корнем по модулю 7. Если бы люди считали не в десятичной системе, 142857, на первый взгляд, могло бы не родиться.
Цифры просто ходят по кругу, вот и вся магия.
Почему число переставляет цифры, а не меняет их?
Открытие сделано не с нуля. Древние египтяне уже делили на семь, ведь в их календаре было семь дней в неделе. Но десятичных дробей они не знали, они раскладывали 1/7 на сумму 1/8 плюс 1/56. Остроумно, но до циклического числа не дотягивает.
Первый систематический шаг сделал Джон Уоллис в 1685 году. Он показал, что при делении единицы на простое число, не равное 2 или 5, возникает повторяющаяся последовательность цифр. Но до 142857 он не добрался.
В 1836 году французский математик Этьенн Миди доказал теорему: если период десятичной дроби имеет чётную длину, то сумма первой и второй половин даёт число из одних девяток. Для 142857: 142 плюс 857 равно 999. 14 плюс 28 плюс 57 равно 99. Это уже было близко.
А в 1962 году Грин просто напомнил математическому сообществу, что 142857 самый маленький и самый красивый представитель целого семейства «полных периодов». И число, кажется, наконец получило признание.
Три века учёные ловили этот узор.
Что происходит на седьмом шаге?
Вообразите две вселенные. В одной число 142857 покоится. Умножаем на 1, получаем 142857. Ничего не меняется.
В другой вселенной оно движется. Умножаем на 2, выходит 285714. На 3, 428571. На 4, 571428. На 5, 714285. На 6, 857142. Шесть шагов, и все цифры перебраны, каждый раз новый порядок, но состав один и тот же.
Седьмой шаг, и число исчезает. 142857 умножить на 7 равно 999999. Шесть девяток. Это как если бы материя, разогнавшись до предела, превратилась в чистую энергию. Число исчезает - превращаясь в девятки - и воскресает снова.
Но число не умирает окончательно. При умножении на 8 получаем 1 142 856. Оно расщепляется и тут же собирается заново: 1 плюс 142 856 равно 142 857. Тот же фокус с 9: 1 285 713, и 1 плюс 285 713 равно 285 714. И так до бесконечности. Число то это, если честно, бессмертное.
Оно умирает на седьмом шаге и воскресает на восьмом.
Где ещё прячется эта магия?
Микро-пример. Возьмём 142857 умножить на 8, получаем 1 142 856. Куда пропала семёрка? Никуда. Она превратилась в единицу в начале и шестёрку в конце. Складываем их: 1 плюс 6 равно 7. Вот и семёрка. А остальные цифры (1, 4, 2, 8, 5, 6) это исходный набор, но с заменой 7 на 6 и добавленной единицей. И мы при этом получаем простую арифметику, а выглядит она как магия.
Макро-пример. Возводим число в квадрат: 142 857 умножить на 142 857 равно 20 408 122 449. Разрезаем пополам: 20 408 и 122 449. Складываем: 20 408 плюс 122 449 равно 142 857. Число породило чудовище вдвое большего размера, а потом чудовище сложилось, и получился исходный зверь.
Современные эксперименты. Теорема Миди работает не только в десятичной системе. В 2006 году математик Джозеф Левиттес опубликовал работу «Midy’s Theorem for Periodic Decimals», где обобщил теорему на произвольные системы счисления. Оказалось, феномен «суммы половин периода равно девяткам» проявляется не для всех периодов, а только для тех, где длина периода чётна и знаменатель является простым. 142857 частный случай, но частный случай фундаментального закона.
Математика подтверждает, это не случайность.
Факт, который хочется сохранить и переслать: В китайском сегменте интернета 142857 называют «走马灯数» («число вращающегося фонаря»). Название происходит от традиционных китайских фонарей с вращающимися тенями: идёшь по кругу, а картинки сменяют друг друга, оставаясь теми же самыми. В некоторых культурах число связывают с загадками египетских пирамид. Научного подтверждения этому нет, но сам факт, что число окружено легендами, говорит о чём-то. Математика же, в привычном понимании, не терпит домыслов, но люди всё равно тянутся к ней через красоту.
Хотя бы на минуту задуматься. Хотя бы перед сном вспомнить эту цифровую карусель. Хотя бы сейчас, когда читаешь эти строки...