Друзья, с ученицей разбирали задачу, которая ей встретилась в контрольной работе. Ученица работает по Волчкевичу, поэтому если задание и допускает другие решения, все равно надо было решить с помощью теоремы Фалеса и теоремы о пропорциональных отрезках, если последующее не изучено.
Задача. В параллелограмме ABCD точка M – середина AB, N – середина AD. Отрезки BN и CM пересекаются в точке P. В каком отношении точка P делит отрезок BN?
Решение.
1) Пусть L – середина CD и AL ∩ BN = K. AB = СD по свойству параллелограмма, значит, AM = CL.
Так как AB ∥ CD и AM = CL, то AMCL – параллелограмм => AL ∥ MС.
Так как AM = MB, то по теореме Фалеса BP = PK.
Обозначим AM = MB = x, BP = PK = a.
2) Пусть BN ∩ CD = Q.
AN = ND по условию, ∠BAN = ∠NDQ как накрест лежащие при параллельных прямых AB, CD и секущей AD, ∠ANB = ∠DNQ как вертикальные, значит, △BAN = △NDQ по двум углам и стороне между ними => AB = DQ = 2x.
3) DL = LC = x, QL = 3x.
Так как MC ∥ AL, QL = 3x, LC = x, PK = a, то про теореме о пропорциональных отрезках QK = 3a.
BQ = BK + KQ = 5a. BN = NQ (так как △BAN = △NDQ), => BN = NQ = 2,5a, значит, KN = 0,5a, PN = 1,5a.
4) BP : PN = 1 : 1,5 или BP : PN = 2 : 3.
Ответ: BP : PN = 2 : 3.