Иногда для поиска интересных и оригинальных заданий по математике достаточно обратиться к вариантам вступительных экзаменов в ведущие московские математические школы. В их ряду достойное место занимает школа №57. И сегодня мы решим одно любопытное уравнение в натуральных числах из реального вступительного экзамена по математике в 8 класс этой школы:
Найдите все пары натуральных чисел (x;y), удовлетворяющих уравнению x! + 12 = y^2.
В этом уравнении 𝑥! - факториал натурального числа 𝑥, то есть 𝑥! = 1×2×3×...×𝑥. Заметим прежде всего, что 𝑥 = 1, 2 и 3 не подходят. В этом легко убедиться прямой подстановкой этих значений в левую часть уравнения:
- Для 𝑥=1 получаем 1!+12=13 – не является квадратом
- Для 𝑥=2 получаем 2!+12=14 – не является квадратом
- Для 𝑥=3 получаем 3!+12=18 – не является квадратом
А вот 𝑥 = 4 уже подходит, поскольку в этом случае получаем 4!+12=36=6^2. То есть получаем пару (4; 6).
Докажем, что других пар нет. Действительно, для 𝑥 > 4 имеем получаем число 𝑥!=1×2×3×4×5×…, которое делится на 2×5=10, то есть окачивается на цифру 0. Тогда число 𝑥! + 12 оканчивается цифрой 2. Но не существует полных квадратов натуральных чисел, которые бы оканчивались цифрой 2. Всё потому, что нет таких цифр в конце числа y, для которых бы в числе y^2 в конце оказалась цифра 2.
Чтобы в этом убедиться, просто рассмотрев квадраты всех цифр:
- 0^2=0;
- 1^2=1;
- 2^2=4;
- 3^2=9;
- 4^2=16;
- 5^2=25;
- 6^2=36;
- 7^2=49;
- 8^2=64;
- 9^2=81.
Видно, что цифры 2 на конце результата нигде нет. Значит, полученная пара (4; 6) является единственной. Это и есть ответ к заданию.
Подготовка к поступлению в школу 57
Готовьтесь к вступительному экзамену по математике в школу 57 со специализирующимся на такой подготовке репетиторе, большое количество учеников которого успешно поступили в эту школу. Его контакты вы найдёте на сайте https://yourtutor.info/.