Давайте обсудим, как можно построить занятие по геометрии на примере одной подборки задач.
За основу возьмём статью известного геометра Г. Филлиповского "Когда один отрезок равен сумме двух других" (Квант, 2019, №4, стр. 32-33).
Сначала обсудим сами задачи, то, как можно про них говорить с учениками, а в конце расскажу о месте этой темы в различных сценариях обучения школьников.
В качестве вводной к этой теме можно взять классическую задачу, которая есть, например, в сборнике М.А. Волчкевича "Уроки геометрии в задачах. 7-8 классы".
Обычно ученики сперва пытаются опустить перпендикуляр из точки А на МК и пробуют доказать, через равенство треугольников, что он явно составлен из этих отрезков.
Такой прямолинейный подход не приводит к решению. После нескольких попыток решения, когда ученик глубже погрузится в задачу, можно рассказать ему про типичный приём для задач с подобной формулировкой.
Когда нужно доказать, что для некоторых отрезков c=a+b, то сначала нужно попробовать сделать одно из шести дополнительных построений:
а) отметить некоторую точку на отрезке с и явно показать, что она делит его на отрезок а и отрезок b (это порождает две разные конструкции, так как возможно два варианта расположения точки на с).
б) отложить от конца отрезка а отрезок, равный b, и показать, что в результате получился отрезок длины с (отложить можно с двух сторон отрезка, поэтому получается тоже два варианта).
в) отложить от конца отрезка b отрезок, равный a, и показать, что в результате получился отрезок длины с (два варианта).
В задаче выше можно отложить отрезок ВL, равный МD, на прямой СВ за точку В. Затем показать, что △АBL=△АDM и выйти на равенство △LAK и △МАК.
Как правило одного этого примера хватает, чтобы крепкий школьник уловил суть дополнительного построения и мог пробовать решать подобные задачи самостоятельно.
Если ученик не совсем понял, о чём идёт речь, лучше разобрать с ним ещё одну задачу из статьи, где явно требуется именно такое дополнительное построение.
А дальше уместно дать эти задачи на дом, чтобы уже на следующем занятии их подробно разбирать.
Во время самостоятельного решения, даже если что-то не получится, ученик глубже погрузится в контекст задач и поэтому будет более восприимчив к различным методам решения.
Кстати, даже задача выше сама по себе богата на дополнительные сюжеты.
Например, развитие этой конструкции и россыпь задач на неё можно найти в статье А. Блинкова и Ю. Блинкова “Угол в квадрате” (Квант, 2014, № 4, стр. 34–37). Эта статья также вошла в недавно вышедший сборник "Задачи В.В. Произволова" из серии "Библиотечка Квант" (2025, вып. 144)
Перечисленные там дополнительные задачи хорошо подходят для продвинутых школьников 7-8 классов с прицелом на классические олимпиады.
А теперь непосредственно пул задач из разбираемой статьи.
В некоторых формулировках отрезки x, y и z явно не указаны в тексте условия, а просто нанесены на рисунках.
1. "Точка F взята произвольно на основании BC равнобедренного треугольника ABC. Расстояния от нее до AC и AB равны y и z соответственно. Высота, проведенная из вершины B, равна x. Докажите, что x = y + z."
Эта задачу ученики решают обычно через продление одной из высот ниже основания и переходят к равным треугольникам. То есть используют подход из вводного занятия.
Однако эта задача интересна ещё и тем, что её можно решить методом площадей.
Мы обязательно разбираем и этот метод и быстро решаем задачу-побратима:
"Доказать, что сумма расстояний от произвольной точки внутри равностороннего треугольника до его сторон не зависит от положения этой точки и равна высоте треугольника." (теорема Вивиани)
2. "Через точку I пересечения биссектрис прямоугольного треугольника ABC (∠C = 90°) проведены прямые параллельно его сторонам. Докажите, что x = y + z"
В этой задаче уместно провести из точки I перпендикуляр к гипотенузе и использовать, что все три перпендикуляра к сторонам △ABC равны между собой (точка I - центр вписанной окружности). За счёт равных перпендикуляров и углов находим равные треугольники, которые дают требуемое соотношение.
3. "Квадраты ABCD и CQNT расположены так, как показано на рисунке. Проведена прямая BQ. Расстояния от вершин A и N до нее равны y и z соответственно. Длина отрезка BQ равна x. Докажите, что x = y + z".
Здесь можно использовать сразу несколько вариантов из шести стандартных построений. Как правило мы с учеником разбираем вариант с высотой СН, проведённой к отрезку ВQ. Через счёт углов можно найти равные уголки и выйти на равенство треугольников.
Если ученик дома нашёл этот способ решения, то я показываю по крайней мере ещё одно решение: провожу CQ до пересечения с отрезком z и снова получаем равные треугольники (правда маленькие треугольники расположены довольно далеко, что не так красиво по сравнению с исходным решением)
4. (Л.Кэрролл). "В треугольнике АВС проведите EF || BC (см. рисунок) так, чтобы x = y + z."
Не все ученики знают, что автор "Алисы в Стране Чудес" был ещё и математиком. Эта и следующая задача позволяют прикоснуться к его математическом наследию.
Эту задачу решает довольно много учеников, т.к. они обычно знают что параллельность и биссектрисы идут рука об руку с равнобедренными треугольниками (в ответе эта прямая как раз проходит через точку пересечения биссектрис).
5. (Л.Кэрролл). "Согласно рисунку проведите отрезок KT параллельно BC – так, чтобы x = y + z."
Эта задача по сравнению с предыдущей посложнее. Если ученик решил задачу 4, то он обычно использует тот же подход и находит удобные равнобедренные треугольники. Но как правило не понимает, что именно нужно делать дальше и как перейти непосредственно к построению.
Тут всё зависит от того, насколько хорошо ученик чувствует себя в геометрии. Если я понимаю, что где-то в школе или на курсах он узнал про вневписанные окружности и их свойства (или мы заранее прорешали соответствующий пласт задач), то мы эту задачу разбираем. Если вижу, что ученик скорее всего ни с чем подобным не сталкивался, то я просто не даю эту задачу на дом, ограничиваясь лишь предыдущей задачей.
Иногда использую эту задачу как вводную для перехода к теме "Вневписанная окружность".
6. "Через центроид M – точку пересечения медиан треугольника ABC – проведена произвольная прямая t. Расстояния от вершин треугольника до нее равны x, y, z. Докажите, что x = y + z."
Задача с одной стороны трудная, так как требует сразу два дополнительных построения. С другой стороны эти построения довольно естественные. Если у нас есть точка пересечения медиан, то напрашивается провести хотя бы одну из этих медиан. Догадаться опустить перпендикуляр из середины ВС на прямую t сложнее, но тоже можно.
А далее используем свойство точки пересечения медиан и свойство средней линии трапеции (которую, правда, нужно ещё разглядеть).
7. "Около равностороннего треугольника ABC описана окружность, F – произвольная точка дуги BC, не содержащей вершину A. Докажите справедливость равенства x = y + z."
Это известная задача, да и сам факт довольно яркий. Её нужно решить хотя бы просто для развития геометрического кругозора ученика.
В ней тоже много способов решения. Я как правило предлагаю продлить FB за точку B на длину от отрезка СF. Далее нужно будет найти равные треугольники, а потом разглядеть ещё один равносторонний треугольник.
Можно упомянуть ещё и про поворот, но если ученик никогда не сталкивался с таким подходом, то лучше тему поворота стартовать с других более элементарных задач.
8. (Архимед). "Точка F – середина дуги BAC описанной окружности треугольника ABC, FN⟂AC (см. рисунок). Докажите, что x = y + z."
Задача обычно вызывает трудности и требует некоторых дополнительных построений и наблюдений.
Для сильных учеников мы ещё разбираем. Со средними можем пропустить, особенно если у ученика не было никаких идей в её решении. Иногда эту задачу вовсе не задаю на дом, если у нас ограничено время.
9. (Лемма биссектрального треугольника) "В треугольнике ABC BL и CT – биссектрисы, F – произвольная точка отрезка LT. Докажите, что расстояния от нее до сторон треугольника связаны соотношением x = y + z."
В этой задаче нет никаких дополнительных построений, но требуется аккуратный счёт и понимание того, что биссектриса есть множество точек, равноудалённых от сторон угла.
Можно в качестве вспомогательной леммы обсудить такую: "Дана трапеция с основаниями a и b. На одной из боковых сторон выбрана точка, через которую проведена прямая, параллельная основаниям и делящая ту боковую сторону в отношении m:n. Найти длину отрезка этой прямой, заключённого внутри трапеции."
Если есть понимание, что ученик не может решить эту задачу самостоятельно для конкретных целых значений a, b, m и n, то саму исходную задачу №9 лучше не давать на дом. В этом случае надо вернуться в тему "Трапеция" или даже в тему "Подобные треугольники".
Лемма биссектрального треугольника может быть базой для решения более сложных задач. Список таких задач с решениями есть в одноимённой статье А. Карлюченко и Г. Филипповского (Квант, 2016, номер 2, 36–38).
С более сильными учениками мы обычно разбираем одну задачу оттуда (скорее просто как красивый факт):
"Внутри треугольника ABC находится точка T, расстояния от которой до сторон BC, AC и AB равны x, y, z соответственно. Найдите геометрическое место точек T таких, что из отрезков x, y, z можно составить треугольник."
10. "В треугольнике ABC (b > a > c) проведены биссектрисы AN, BL и CT. Окружность, описанная около △NLT, высекает на сторонах треугольника ABC хорды, равные x, y, z. Докажите, что x = y + z."
Эту задачу я не решил и не нашёл решений в сети.
Пробовали с коллегами найти какой-то адекватный подход к ней. Наткнулись на намёк, что нужно использовать одну неочевидную лемму, а потом долго и нудно считать.
В итоге эту задачу я не даю ученикам на дом, так как пока не вижу в ней никакой методической пользы.
11. "Четырехугольник ABCD (BC = CD) вписан в окружность. Точки F и N на сторонах AB и AD такие, что ∠FCN = 1/2∠BCD. Докажите, что x = y + z."
12. "Около равнобедренного треугольника ABC (AB = AC) описана окружность. Точка K – произвольная точка дуги BC этой окружности, не содержащей вершину A, AQ⟂BK. Докажите, что x = y + z"
Если ученик решает задачу №7 дома сам и именно тем методом, про который я писал выше, то эти задачи вряд ли ему будут полезны. Идейно они решаются так же.
Поэтому эти задачи обычно оставляю лишь для закрепления на дом тем ученикам, у которых в задаче №7 возникли трудности, чтобы они через самостоятельное решение привыкли к этой механике.
Теперь о том, как можно использовать эту подборку задач.
В первую очередь я обязательно её использую в тех случаях, когда готовлю ученика 10-11 класса к перечневым олимпиадам.
Часть из указанных выше сюжетов довольно известны и составители вариантов иногда по умолчанию считают, что школьники их знают. И потому придумывают задачи с опорой на них.
Вот, например, навскидку задача с ОММО-2013:
"На плоскости задана точка P. Рассматриваются различные равносторонние треугольники ABC, такие что PA = 2, PB = 3. Какое максимальное значение может принимать длина отрезка PC?"
Вроде бы в задаче нигде не говорится, что какой-то отрезок равен сумме двух других, но если школьник когда-то решал задачу №7 из списка, то ему будет значительно проще.
Нужно ли этот сюжет задействовать при подготовке к ЕГЭ?
Какие-то из вышеперечисленных задач я разбираю с учениками, которые либо уже имеют хорошую планиметрическую базу, либо с которыми мы смогли вместе её поставить. Широкий геометрический кругозор позволят им смотреть на любые задачи с разных сторон.
Когда есть время и основной обязательный набор тем в планиметрии пройден, то это всегда полезно.
При этом задачу №3 я бы рекомендовал разбирать со всеми учениками, которые готовятся к планиметрии второй части.