Мерилом энергии в механике является кинетическая энергия, выражаемая формулой:
Однако эта фундаментальная формула далеко не сразу утвердилась в физике. Поначалу исчерпывающей характеристикой движения была признана величина mv, введенная французским философом, математиком и естествоиспытателем Рене Декартом и названная им количеством движения (по-современному – импульсом).
Первым идею о том, что количественная мера движения пропорциональна квадрату скорости движущегося тела, высказал немецкий ученый Нового времени Готфрид Лейбниц, называя эту величину «живой силой» (vis viva).
Позднее, когда начался процесс индустриализации (начиная с паровых машин), к этому понятию добавилось понятие механической работы. Были введены также современные термины: импульс и кинетическая энергия. Но исходным пунктом дискуссии являлись именно понятие «количества движения», пропорциональное первой степени скорости тела, и понятие «живая сила», пропорциональная квадрату скорости. Длительное время между последователями Декарта и Лейбница существовал спор о том, какому из этих понятий следует отдать предпочтение при изучении механического движения, и какая из этих величин сохраняется в процессе взаимодействия тел. В этот спор и позднее были вовлечены многие видные ученые Нового времени, приводившие свои доводы
Сегодня наука, подкрепленная обширной технической практикой, опирается именно на понятие кинетической энергии как меры механического движения. Вместе с тем, иногда встречается и такая точка зрения, что мерой энергии является импульс, а кинетическая энергия – просто досужая выдумка, не имеющая под собой физического содержания.
Действительно, обоснованность формулы кинетической энергии умозрительно не является вполне очевидным и бесспорным фактом. Легко вывести формулу энергии из формулы механической работы (F·S), но тут же встает вопрос об обоснованности формулы самой работы. Поэтому субстанциональную наполненность этого понятия для механики желательно показать посредством математики, опираясь на ряд общепризнанных фундаментальных положений физики, а именно:
1) закон Ньютона F=ma
2) закон Гука F=kx
Из этих двух законов вытекает уравнение пружинного осциллятора:
4) также ориентируемся на очевидное положение, что состояние упругости (пружины) взаимообратимо переходит в движение массивного тела, что и можно назвать собственно энергией, переходящей из одного вида в другой.
Рассмотрим, как из приведенных выше простых закономерностей математически строго выводится квадратичность энергии.
Уравнение(1) представляет собой дифференциальное уравнение второго порядка:
Решением этого дифференциального уравнения является тригонометрическая функция, описывающая зависимость координаты упругого сжатия/расширения (x) от времени (t):
а также соответствующие тригонометрические функции для скорости v(t) и ускорения a(t), являющиеся последовательными производными уравнения(3):
Для пружинного осциллятора, представленного уравнением(1), в приведенных выше формулах буквой А обозначается максимальная амплитуда (Xo) сжатия/растяжения пружины, а буквой ω – циклическая частота, которая, исходя из уравнений (1) и (2), выражается соотношением:
Из уравнений (3)и (4) для v(t) и x(t) вытекает соотношение их максимальных амплитуд Xo и Vо:
Возводя обе части уравнения(7) в квадрат получаем квадратичное соотношение:
Уравнение(8) показывает, что квадратичная энергия упругости переходит именно в квадратичную по скорости (а не линейную) энергию движения тела.
Таким образом, из закона Ньютона и закона Гука, объединенных в уравнении пружинного осциллятора, математически однозначно вытекает квадратичная зависимость кинетической энергии от скорости. Остается только дополнить ее коэффициентом ½, который был введен в формулу французским инженером-механиком Гаспаром-Гюставом де Кориолисом, органично связавшим квадратичную по скорости формулу кинетической энергии с механической работой (F·S), и тем самым окончательно сформировавшим формулу кинетической энергии.