Ниже решаю и обсуждаю решение первой части демонстрационного варианта ЕГЭ по профильной математике за 2026 год. Материал, как надеюсь, полезен тем, кто самостоятельно готовится к экзамену по профильной математике.
Задание 1.
Пример 1.
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 103°, угол CAD равен 42°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.
Вписанный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается.
Угол ABC опирается на дугу AC, которая, значит, равна также 103°. Угол CAD опирается на дугу CD, которая, следовательно, равна 42°. Мы можем найти дугу, на которую опирается искомый угол: AD = AC−CD = 103° − 42° = 61°.
В ответ нужно вписать число 61.
Пример 2.
Площадь параллелограмма ABCD равна 24. Точка E — середина стороны AD. Найдите площадь трапеции BCDE.
Если провести среднюю линию EF в параллелограмме ABCD, то она разделит параллелограмм на две равные части. Площадь фигуры ABFE, ка и фигуры EFCD равна 12. Треугольники ABE и BFE равны по трем сторонам, что следует напрямую из свойств параллелограмма. Площадь треугольников ABE и BFE равны 6.
Трапеция BCDE составлена из треугольника BFE и параллелограмма EFCD, значит, площадь искомой трапеции равна 12 + 6 = 18.
В ответ нужно вписать число 18.
Пример 3.
Острый угол B прямоугольного треугольника ABC равен 65°. Найдите величину угла между высотой CH и медианой CM, проведёнными из вершины прямого угла C. Ответ дайте в градусах.
Высотой называют линию, проведенную из угла к противолежащей стороне под прямым углом к последней.
Медианой называют линию, проведенную из угла к середине противолежащей стороны.
Треугольники ACB и HCB являются прямоугольными и имеют общий угол B, значит, они подобны. Тогда угол CAM равен углу HCB, который равен 90° − 65° = 25°.
Медиана, проведенная из прямого угла прямоугольного треугольника, равна половине гипотенузы. Это свойство позволяет заключить, что треугольник ACM является равнобедренным, а углы при основании равнобедренного треугольника равны, то есть угол ACM равен углу CAM.
Выходит, прямой угол ACB разделен высотой и медианой на три части, две из которых мы нашли (по 25° каждая), а третья находится вычитанием известных частей из угла ACB: 90° − 25° − 25° = 40°.
В ответ нужно вписать число 40.
Пример 4.
Основания трапеции равны 4 и 10. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из её диагоналей.
Средняя линия трапеции (пересекает трапецию горизонтально) также является средней линией обоих треугольников, образованных диагональю трапеции. Нас интересует тот треугольник, который имеет своим основанием нижнее основание трапеции, потому что вопрос касается большей части средней линии трапеции. Это основание равно 10, а большая часть средней линии трапеции, которая есть средняя линия треугольника, равна 5.
В ответ нужно вписать число 5.
Задание 2.
Пример 1.
Для решения всех задач под номером 2 в демонстрационном варианте ФИПИ удобно использовать координатный способ. Видимо, именно на использование этого способа и нацелено задание. Очевидно, геометрическое решение будет более громоздким и займет больше времени.
Нам дали векторы в графическом виде, найдем их координаты. Координатами векторов называют длины их проекций на оси системы координат. В нашем случае первый вектор имеет координаты (4; 6), а второй вектор задается координатами (6; −2).
Скалярным произведением векторов, заданных координатами, называют сумму произведений соответствующих координат.
То есть, в двумерном случае, мы должны сложить произведение горизонтальных проекций векторов и произведение вертикальных проекций векторов: 4*6 + 6*(−2) = 24 − 12 = 12.
В ответ нужно вписать число 12.
Пример 2.
В этом задании сразу даны координаты векторов.
Задача решается в три действия:
- Умножить второй вектор на три.
- Сложить первый вектор с умноженным на три вторым вектором.
- Найти длину получившегося вектора.
Умножение вектора с кооринатами (1; 4) на три дает вектор (3; 12), это мы получили, умножив каждую из координат на три.
Сложение вектора (2; 0) с вектором (3; 12) дает вектор (5; 12), это мы получили, сложив соответствующие координаты векторов (первую координату с первой, а вторую координату со второй).
Чтобы найти длину вектора, нужно вычислить корень квадратный из суммы квадратов координат, как показано ниже.
В ответ нужно вписать число 13.
Пример 3.
В этом задании также сразу даны координаты векторов.
Это задание решается также, как "Задание 2. Пример 1", только проще, потому что координаты вектора даны прямо, а не на графике. Ответом будет 5*8 + 4*(−9) = 40 − 36 = 4.
В ответ нужно вписать число 4.
Задание 3.
Пример 1.
Одна цилиндрическая кружка вдвое выше второй, зато вторая в полтора раза шире. Найдите отношение объёма второй кружки к объёму первой.
Есть общий принцип, касающийся длин, площадей и объемов, который позволяет решить эту задачу без точного знания формулы объема цилиндра V = π*r*r*h. Увеличение всех линейных размеров плоской фигуры в n раз увеличивает ее площадь в n*n раз. Увеличение всех линейных размеров объемной фигуры в n раз увеличивает ее объем в n*n*n раз.
Отношение объема второго цилиндра к объему первого цилиндра это вопрос о том, во сколько раз объем второго цилиндра больше объема первого цилиндра.
Второй цилиндр в два раза ниже, что уменьшает его объем в 2 раза (потому что уменьшается только один линейный размер). Другими словами, это увеличивает объем второго цилиндра в 0,5 раз.
С другой стороны, второй цилиндр в 1,5 раза шире, что увеличивает его объем в 1,5*1,5 раз, то есть в 2,25 раз (потому что в 1,5 раза шире, по сути, означает увеличение радиуса основания, которое увеличивает пропорционально квадрату площадь этого основания).
Перемножив 0,5 на 2,25, получаем ответ 1,125.
Более классический способ: искать прямо отношение объемов, как показано ниже.
В ответ нужно вписать число 1,125.
Пример 2.
Лучше всего здесь знать формулу объема искомой пирамиды V = S * h / 3, где S — площадь основания, а h — высота. В основании искомой пирамиды лежит прямоугольник, площадь которого легко посчитать: S = 3 * 9 = 27. Вертикальное ребро параллелепипеда является высотой искомой пирамиды, так что и ее объем находится прямо из формулы: V = 27 * 4 / 3 = 36.
В ответ нужно вписать число 36.
p.s. Если забыли формулу объема пирамиды, можно найти интеграл площади горизонтального среза искомого объема по высоте.
Пример 3.
В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает 1/3 высоты. Объём жидкости равен 4 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы полностью наполнить сосуд?
Если линейные размеры объемной фигуры уменьшить в 3 раза, как это сделано на иллюстрации, то объем получившейся фигуры уменьшится в 27 раз. Выходит, объем всего конуса в 27 раз больше, чем объем выделенной части, то есть равен 4 * 27 = 108. Учитывая то, что 4 мл в конусе уже есть, долить осталось 108 − 4 = 104.
В ответ нужно вписать число 104.
Пример 4.
Между образующими конуса, изображенными на рисунке угол равен 90°, то есть, диаметр основания конуса можно найти как гипотенузу прямоугольного равнобедренного (поскольку оба катета представляют собой образующую одного и того же конуса) треугольника, которая равна 18 по теореме Пифагора.
Диаметр сферы также равен 18, потому что центр основания конуса совпадает с центром сферы, и основание конуса является сечением сферы по ее диаметру.
Радиус равен половине диаметра, то есть 9.
В ответ нужно вписать число 9.
Задание 4.
Пример 1.
В группе туристов 50 человек. Их вертолётом доставляют в труднодоступный район, перевозя по 5 человек за рейс. Порядок, в котором вертолёт перевозит туристов, случаен. Найдите вероятность того, что турист В., входящий в состав группы, полетит первым рейсом вертолёта.
Поскольку никаких особых условий по поводу выбора членов групп не дано, а все туристы по группам уже разбиты, вероятность попадания в первый раз туриста В. сводится к вероятности выбора его группы первой. Групп по 5 всего 10, значит, вероятность выбора группы с туристом В. равна 0,1.
В ответ нужно вписать число 0,1.
p.s. Если бы туристы были не в группах, а по-отдельности, то вероятность была бы примерно равна 0,1043. Знаете, как так получается?
Пример 2.
Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 20 пассажиров, равна 0,94. Вероятность того, что окажется меньше 15 пассажиров, равна 0,56. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 15 до 19 включительно.
Мы знаем о вероятности наблюдения от 1 до 19 пассажиров включительно, она 0,94. Вероятность наблюдения от 1 до 14 пассажиров включительно равна 0,56. Значит, вероятность наблюдения от 15 до 19 пассажиров включительно вычисляется вычитанием второй вероятности из первой: 0,94 − 0,56 = 0,38.
В ответ нужно вписать число 0,38.
Пример 3.
На конференцию приехали учёные из трёх стран: 3 из Дании, 4 из Венгрии и 3 из Болгарии. Каждый из них делает на конференции один доклад. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что седьмым окажется доклад учёного из Болгарии.
Всего ученых 10, благоприятных исходов (ученый из Болгарии) 3, значит, вероятность p = 3/10 = 0,3.
В ответ нужно вписать число 0,3.
Задание 5.
Пример 1.
Помещение освещается тремя лампами. Вероятность перегорания каждой лампы в течение года равна 0,7. Лампы перегорают независимо друг от друга. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.
Выражение "хотя бы одна лампа не перегорит" подразумевает три варианта: не перегорит 1 лампа; не перегорит 2 лампы; не перегорит 3 лампы. Можно зайти с этой стороны, но выгоднее будет зайти с обратной стороны. Выражению "хотя бы одна лампа не перегорит" противоположно выражение "перегорят все лампы".
Тогда найдем вероятность того, что все три лампы перегорят: p = 0,7*0,7*0,7 = 0,343. Вероятность обратного утверждения q = 1 − 0,343 = 0,657.
В ответ нужно вписать число 0,657.
Пример 2.
В коробке 5 синих, 9 красных и 11 зелёных фломастеров. Случайным образом выбирают два фломастера. Найдите вероятность того, что окажутся выбраны один синий и один красный фломастеры.
Под предложенное описание подходит два варианта развития событий:
- Сначала попался синий фломастер, а затем красный.
- Сначала попался красный фломастер, а затем синий.
Вероятность первого варианта составляется произведением двух вероятностей: p = (5/25) * (9/24).
Вероятность второго варианты вычисляется аналогично: q = (9/25) * (5/24).
Можно заметить, что p = q. Оба события подходят под благоприятные, значит, их вероятности складываются для получения вероятности всех благоприятных событий: u = p + q = 2p = 2 * (5/25) * (9/24) = 0,2 * 3 / 4 = 0,15.
В ответ нужно вписать число 0,15.
Пример 3.
При выпечке хлеба производится контрольное взвешивание свежей буханки. Известно, что вероятность того, что её масса окажется меньше 810 г, равна 0,95. Вероятность того, что масса буханки окажется больше 790 г, равна 0,84. Найдите вероятность того, что масса буханки окажется больше 790 г, но меньше 810 г.
Вероятности "масса окажется меньше 810 г" и "масса буханки окажется больше 790 г" два раза включают вероятность "масса буханки окажется больше 790 г, но меньше 810 г" и полностью включают все действительные значения. Значит, искомая вероятность равна величине, на которую сумма вероятностей "масса окажется меньше 810 г" и "масса буханки окажется больше 790 г" превышает единицу.
Искомая вероятность равна 0,95 + 0,81 − 1 = 0,79.
В ответ нужно вписать число 0,79.
Пример 4.
В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в первом автомате закончится кофе, равна 0,2. Вероятность того, что кофе закончится во втором автомате, такая же. Вероятность того, что кофе закончится в двух автоматах, равна 0,18. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в двух автоматах.
Мы столкнулись здесь с взаимосвязанными событиями, вероятности которых нельзя просто перемножить, чтобы найти вероятность того, что кофе закончился в обоих автоматах: 0,2 * 0,2 < 0,18.
Если наблюдать за каждым автоматом отдельно, в нем с вероятностью 0,2 закончится кофе, а с вероятностью 0,8 не закончится. Но все меняет второй автомат, из-за которого полная группа событий включает три варианта:
- Кофе закончился только в одном из автоматов.
- Кофе закончился в обоих автоматах.
- Кофе не закончился ни в одном из автоматов.
Из перечисленным событий мы знаем только вероятность второго, которая равна 0,18.
Вероятность того, что кофе закончится только в одном из автоматов равна 0,2 + 0,2 − 0,18 − 0,18 = 0,04. Здесь мы сложили вероятности для автоматов независимо и два раза вычли совместные вероятности.
Если мы составили полную группу событий и знаем все вероятности, кроме одной, то найдем ее вычитанием остальных из елиницы: 1 − 0,18 - 0,04 = 0,78.
В ответ нужно вписать число 0,78.
Задание 6.
Пример 1.
В ответ нужно вписать число 7.
Пример 2.
В ответ нужно вписать число 7.
p.s. Мы не рассмотрели случай отрицательного выражения под знаком модуля, но это бы и не имело смысла, поскольку в данном нам уравнении из этого выражения извлекается квадратный корень. Из отрицательного числа в действительных числах корень мы бы не извлекли.
Пример 3.
В ответ нужно вписать число 93.
Пример 4.
Решим в предположении, что выражение под корнем является неотрицательным, откуда следует, что и выражение справа является неотрицательным (x≥0). Предположение вообще обоснованное, потому что что из отрицательного числа в действительных числах корень извлечь не получится. Из этого предположения следует, что, при возведении обоих частей в квадрат мы сразу можем избавиться от модуля, получающегося при возведении выражения под корнем в квадрат:
В ответ нужно вписать число 3.
Задание 7.
Пример 1.
В ответ нужно вписать число 0,75.
Пример 2.
В ответ нужно вписать число 5.
Пример 3.
В ответ нужно вписать число 125.
Задание 8.
Пример 1.
Точки максимума функции f(x) соответствуют точкам пересечения производной функцией горизонтальной оси сверху вниз, потому что до достижения максимума значение фукнции увеличивается (производная положительная), а после достижения максимума значение функции уменьшается (производная отрицательная). В отрезке от −6 до 11 таких точек 5.
В ответ нужно вписать число 5.
Пример 2.
Промежуткам возрастания функции f(x) соответствуют промежутки положительных значений производной f'(x). Другими словами, нам нужно посчитать точки, в которых производная является положительной. Таких точек 6.
В ответ нужно вписать число 6.
Пример 3.
Геометрический смысл производной состоит в том, что производная в каждой точке равна тангенсу угла наклона касательной в этой точке. Так что задача нахождения производной в конкретной точке сводится к определению тангенса угла наклона касательной в этой точке. На предложенном графике на касательной есть даже опорные точки, по которым можно найти приращение аргумента и соответствтующее приращение функции. Пока переменная x изменяется на 5, значение функции изменяется на 8. То есть, производная равна 8/5 = 1,6.
В ответ нужно вписать число 1,6.
Задание 9.
Пример 1.
Мотоциклист, движущийся по городу со скоростью v0 = 90 км/ч , выезжает из него и сразу после выезда начинает разгоняться с постоянным ускорением a = 16 км/ч^2. Расстояние (в км) от мотоциклиста до города вычисляется по формуле S = v0 * t + a * t^2 / 2, где t — время в часах, прошедшее после выезда из города. Определите время, прошедшее после выезда мотоциклиста из города, если известно, что за это время он удалился от города на 72 км. Ответ дайте в минутах.
Нам дана информация о величине S=72км, прямо сказано об ускорении a и скорости v0. Во всех случаях в качестве единицы времени (кроме ответа) используются часы, а в качестве единицы расстояния используются километры, так что просто подставим все известное в выражение для S и найдем время t.
Отрицательное значение времени в поставленной задаче не имеет смысла, а положительное означает, что мотоциклист удалился на 72 км от города через три четверти часа, то есть через 45 минут.
В ответ нужно вписать число 45.
Пример 2.
Перед отправкой тепловоз издал гудок с частотой f0 = 295 Гц . Чуть позже гудок издал подъезжающий к платформе такой же тепловоз. Из-за эффекта Доплера частота второго гудка f (в Гц) больше первого: она зависит от скорости тепловоза v (в м/с) и изменяется по закону f(v) = f0/(1−v/c) (Гц), где c — скорость звука (в м/с). Человек, стоящий на платформе, различает сигналы по тону, если они отличаются не менее чем на 5 Гц. Определите, с какой минимальной скоростью приближался к платформе тепловоз, если человек смог различить сигналы, а c = 300 м/с. Ответ дайте в м/с.
В сформулированной задаче время во всех случаях измеряется в секундах, а расстояние измеряется в метрах, так что ничего переводить между единицами не будет нужно.
Чтобы изменение было зафиксировано человеком, нужно, чтобы f была на 5 Гц больше f0, то есть 300 Гц. Подставим все известные величины в выражение f(v)=f0/(1-v/c) и найдем неизвестную величину v:
В ответ нужно вписать число 5.
Пример 3.
Во всех случаях в этом задании в качестве единицы времени используются часы, а в качестве единицы расстояния используются километры, так что просто подставим все известное в выражение для v и найдем ускорение a: a = v^2 / (2l) = 70^2 / (2*0,5) = 4900.
В ответ нужно вписать число 4900.
Задание 10.
Пример 1.
От пристани A к пристани B, расстояние между которыми равно 323 км, отправился с постоянной скоростью первый теплоход, а через 2 часа после этого следом за ним со скоростью на 2 км/ч больше отправился второй. Найдите скорость второго теплохода, если в пункт B он прибыл одновременно с первым. Ответ дайте в км/ч.
Уравнение движения для первого теплохода: x1(t) = v1*t.
Уравнение движения для второго теплохода: x2(t) = (v1+2) * (t−2). Здесь мы задали смещение по времени, добавив задержку 2 ко времени. Встретятся теплоходы тогда, когда x1(t) = x2(t), то есть при
v1*t = (v1+2) * (t−2),
откуда
v1*t = v1*t + 2*t − 2*v1 − 4,
где можно привести подобные в обоих частях равенства и откуда можно выразить время встречи:
t = (v1 + 2) ч.
С другой стороны, мы знаем координату встречи x1 = x2 = 323 км. Подставим время встречи и координату встречи в первое уравнение движения:
323 = v1*(v1+2),
откуда получаем квадратичное уравнение v1^2 + 2*v1 − 323 = 0. Дискриминант D = 4 + 4*323 = 324*4 = 18^2 * 2^2 = 36^2. Возьмем только положительный корень v1 = (−2+36)/2 = 17 км/ч.
Но по условию задачи нужна скорость второго теплохода, скорость которого на 2 км/ч больше, то есть 19.
В ответ нужно вписать число 19.
Пример 2.
Смешав 45%-й и 97%-й растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 62%-й раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50%-го раствора той же кислоты, то получили бы 72%-й раствор кислоты. Сколько килограммов 45%-го раствора использовали для получения смеси?
В первом эксперименте замешали три жидкости с массами m1, m2 и 10 кг. Уравнение для примесей в первом эксперименте:
(0,45*m1 + 0,97*m2)/(m1 + m2 + 10) = 0,62.
Во втором эксперименте замешали три жидкости с массами m1, m2 и 10 кг, но с другой долей кислоты в последней жидкости. Уравнение для примесей во втором эксперименте:
(0,45*m1 + 0,97*m2 + 0,5*10)/(m1 + m2 + 10) = 0,72.
Всего мы имеем два уравнения с двумя неизвестными, выразим m2 из второго уравнения. Сначала перераспределим множители:
0,45*m1 + 0,97*m2 + 5 = 0,72*m1 + 0,72*m2 + 7,2,
затем разнесем разные переменные в разные стороны:
0,97*m2 − 0,72*m2 = 0,72*m1 − 0,45*m1 + 2,2
и выразим m2:
m2 = (0,27*m1 + 2,2)/0,25 = 1,08*m1 + 8,8,
которое подставим в первое уравнение:
(0,45*m1 + 0,97*(1,08*m1 + 8,8))/(m1 + 1,08*m1 + 8,8 + 10) = 0,62. Перераспределим множители:
0,45*m1 + 1,0476*m1 + 8,536 = 0,62*m1 + 0,6696*m1 + 11,656,
и выразим искомую массу:
m1 = (11,656 − 8,536) / (0,45 + 1,0476 − 0,62 − 0,6696) = 3,12 / 0,208 = 15.
В ответ нужно вписать число 15.
Пример 3.
Первая труба пропускает на 5 литров воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объёмом 104 литра она заполняет на 5 минут дольше, чем вторая труба?
Пусть производительность первой трубы равна p1 литров в минуту. Тогда производительность второй трубы равна p2=(p1+5) литров в минуту. Производительность измеряется для этой задачи в литрах в минуту, то есть
p=V/t,
значит, время заполнения объема можно вычислить следующим образом:
t=V/p.
В случае первой трубы t1=104/p1, а для второй трубы t2=104/p2. Времена t1 и t2 связаны следующим образом:
t1=t2+5.
Подставим вместо t1 и t2 соответствующие выражения:
104/p1 = 104/p2 + 5,
подставим вместо p2 ее выражение через p1:
104/p1 = 104/(p1+5) + 5,
умножим каждое слагаемое выражения на p1 * (p1+5):
104 * (p1 + 5) = 104 * p1 + 5 * p1 * (p1+5),
раскроем скобки и приведем подобные:
5 * p1^2 + 25 * p1 − 5 * 104 = 0,
разделим каждое слагаемое на 5:
p1^2 + 5 * p1 − 104 = 0.
Получили квадратичное уравнение, дискриминант D = 25 + 4 * 104 = 441 = 21^2, корни p1 = -12,5 и p1 = 8.
Отрицательный корень не имеет смысла, потому что производительность определена как положительная величина, а корень p1 = 8 вполне удовлетворяет условию задачи.
В ответ нужно вписать число 8.
Задание 11.
Пример 1.
На рисунке изображён график функции вида f(x)=k/x. Найдите значение f(30).
На изображенной части графика значение f(30) не представлено, поэтому нам нужно определить коэффициент k в данном виде функции и тогда решить задачу аналитически.
На графике явно выделена точка с координатами (3, 1), из которой следует, что f(x=3) = k/x = 1, откуда k/3 = 1 и k = 3.
Теперь, зная, что изображена функция f(x)=3/x, можем найти f(30) = 3/30 = 0,1.
В ответ нужно вписать число 0,1.
Пример 2.
На рисунке изображены графики функций f(x) = ax^2 + bx + c и g(x) = kx, пересекающиеся в точках A и B. Найдите абсциссу точки B .
Точка A изображена на рисунке и находится в начале координат, а точка B находится за пределом изображенной части плоскости. Задачу нужно решить аналитически, но для этого вначале придется восстановить функции f(x) и g(x) по графику.
Функция f(x) является квадратичной и зависит от трех параметров, для определния которых запишем три уравнения в известных точках (0, 0); (0, 2) и (3, 3), соответственно:
- a*0^2 + b*0 + c = 0,
- a*2^2 + b*2 + c = 0,
- a*3^2 + b*3 + c = 3.
Из первого уравнения очевидно, что коэффициент c = 0, тогда второе и третье уравнения перепишем:
- 4a + 2b = 0,
- 9a + 3b = 3.
Из первого уравнения здесь b = -2a. Тогда второе уравнение здесь примет вид:
9a - 6a = 3,
откуда a = 1. Вернемся к b = -2a = -2. Теперь имеем все три коэффициента: a=1, b=-2, c=0 и вид квадратичного уравнения: f(x) = x^2 − 2x.
Разберемся теперь с функцияей g(x). Для нее можно также записать два уравнения и найти коэффиценты, решив их. Но можно и быстрее, если заметить, что тангенс угла наклона линейной функции к оси Ox равен 3. То есть и коэффициент k=3, а g(x) = 3x.
Чтобы найти точки пересечения функций f(x) и g(x) аналитически, найдем условия их равенства:
f(x) = g(x),
то есть
x^2 − 2x = 3x,
откуда x = 0 или x=5. Это и есть абсцисса точки B.
В ответ нужно вписать число 5.
Пример 3.
На рисунке изображён график функции вида f(x) = a^x. Найдите значение f(5).
Как и в предыдущих заданиях, абсцисса x=5 в изображенную часть плоскости не попадает. Так что решаем аналитически. Для начала восстановим функцию f(x) = a^x по известным точкам (0, 1) и (1, 2). Первая точка относительно бесполезна, потому что любой параметр a (кроме нуля) можно возвести в нулевую степень и получить 1. Информация о второй точке позволяет составить уравнение:
a^1 = 2,
откуда a = 2, и значение функции f(x=5) = 2^5 = 32.
В ответ нужно вписать число 32.
Задание 12.
Пример 1.
Когда вопрос о точке, значит, просят дать значение независимой переменной x.
В ответ нужно вписать число 5.
Пример 2.
Обнаружено два экстремума, надо определить, какой из них является локальным максимумом. Для этого определим производные в точках, отличающихся от найденных и по-разному к ним относящихся:
- Точка с координатой меньше −8, например, −9;
- Точка с координатой между −8 и −6, например, −7;
- Точка с координатой больше −6, например, −5.
В точке −9 производная f'(x=−9) = −(−9+8)(−9+6)exp(3+9)<0, то есть функция f(x) убывает. В точке −7 производная f'(x=−7) = −(−7+8)(−7+6)exp(3+7)>0, то есть функция f(x) возрастает. В точке −5 производная f'(x=−5) = −(−5+8)(−5+6)exp(3+5)<0, то есть функция f(x) убывает.
Максимумом, точнее локальным максимумом, называют точку, слева от которой функция возрастает, а справа — убывает. Таким свойством обладает точка x=−6, до которой f'(x=−7)>0, а после которой f'(x=−5)<0.
В ответ нужно вписать число −6.
Пример 3.
Обнаружено два экстремума, надо определить, какой из них является локальным минимумом. Для этого определим производные в точках, отличающихся от найденных и по-разному к ним относящихся:
- Точка с координатой меньше −16, например, −17;
- Точка с координатой между −16 и 16, например, 0;
- Точка с координатой больше 16, например, 17.
В точке −17 производная f'(x=−17)>0, то есть функция f(x) возрастает. В точке 0 производная f'(x=0)<0, то есть функция f(x) убывает. В точке 17 производная f'(x=17)>0, то есть функция f(x) возрастает.
Минимумом, точнее локальным минимумом, называют точку, слева от которой функция убывает, а справа — возрастает. Таким свойством обладает точка x=16, до которой f'(x=0)<0, а после которой f'(x=17)>0.
В ответ нужно вписать число 16.
Пример 4.
Обнаружено два экстремума, надо определить, какой из них является локальным максимумом. Для этого определим производные в точках, отличающихся от найденных и по-разному к ним относящихся:
- Точка с координатой меньше −18, например, −19;
- Точка с координатой между −18 и 0, например, −1;
- Точка с координатой больше 0, например, 1.
В точке −19 производная f'(x=−19)>0, то есть функция f(x) возрастает. В точке −1 производная f'(x=−1)<0, то есть функция f(x) убывает. В точке 1 производная f'(x=1)>0, то есть функция f(x) возрастает.
Максимумом, точнее локальным максимумом, называют точку, слева от которой функция возрастает, а справа — убывает. Таким свойством обладает точка x=−18, до которой f'(x=−19)>0, а после которой f'(x=−1)<0.
В ответ нужно вписать число −18.
Здесь решены все задания первой части из демонстрационного варианта. Ответы все сверены с опубликованным ФИПИ вариантом, решение тоже постарался тщательно выверять.