25 задание ОГЭ "Найдите площадь параллелограмма"

В параллелограмме ABCD проведена диагональ АС. Точка О является центром окружности, вписанной в ∆АВС. Расстояние от точки О до точки А и прямых АD и АС соответственно равны 25, 13, 7. Найдите площадь параллелограмма.

Доброго времени суток , дорогие друзья! Даю онлайн консультации и самые интересные задания публикую на канале. Поступила заявка на решение задания 25 👇

Построение чертежа.

Строим параллелограмм АВСD. Проводим диагональ АС.

Точка О является центром окружности, вписанной в ∆АВС. Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис.

Строим биссектрисы АО, ВО, СО .

О - точка пересечения биссектрис и центр вписанной окружности.

Впишем в ∆АВС окружность👇.

Обозначим данные задачи

АО=25, ОН=13, ОМ=7. По условию это расстояния от точки О до точки А, прямых АD и АС соответственно.

Нужно найти площадь параллелограмма. Чертеж к работе готов.

Решение.

1) Проведём из центра О радиус ОР в точку касания окружности со стороной ВС. ОМ = 7 по условию, то ОР = 7, как радиусы одной окружности. Отсюда высота трапеции НР легко найдется: НР=13+7=20

НР=20

2) Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту. Основание ВС неизвестно. Высота 20.

S пар. = ВС•НР = 20•ВС (1)

Запомним это равенство. Обозначим его цифрой (1).

3) С другой стороны, площадь параллелограмма равна сумме площадей треугольников АВС и АDC. По свойству параллелограмма эти треугольники равны, тогда

Sпар. = 2•S∆ABC (2)

Обозначим это равенство цифрой (2).

4) Площадь треугольника равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности.

Для нашего случая

S∆ABC=½(АВ+ВС+АС)•ОР (3)

Подставим равенство (3) в равенство (2), преобразуем его.

ОР=7, используем это.

Приравняем правые части равенств (1) и (4), упростим выражение.

Получилось равенство (5)

5) Нам нужно узнать ВС. Но АВ и АС тоже неизвестны. Рассмотрим стороны ∆ АВС. К стороне АВ проведем радиус ОN в точку касания.

Часть стороны АВ, а точнее отрезок АN, можно найти по теореме Пифагора.

АN²=AO²-ON²=25²-7²=625-49=576

Отсюда АN=√576=24

По свойству касательных отрезков AN=AM. Eсли АN=24, то и АМ=24👇

Нашли части сторон АВ и АС ∆АВС.

Замечаем по этому же свойству равные отрезки NВ и ВР, РС и МС 👇

На чертеже показала красными штрихами равенство отрезков: NB=BP, PC=MC.

Подставим наши полученные данные в равенство 5 👇

Смотрите последнее равенство

Преобразуем его и найдем ВС.

Сторона ВС параллелограмма найдена. ВС=56

6) Теперь можно найти площадь параллелограмма, используя равенство (1):

Sпар.=20•ВС=20•56=1120

Ответ: площадь параллелограмма равна 1120.

Задача решена. Она взята отсюда 👇

В следующий раз покажу задание 22 из этого варианта.

До скорой встречи. С вами автор Любовь.

Познакомиться с каналом и подписаться на него можно здесь 👇