Построить сечение призмы и найти его площадь: страшная геометрия

Сегодня разберем довольно сложную задачу из ЕГЭ по математике. Это была подготовительная задача, которую задали в школе моей ученице. Так как задание объединяет все самые сложные темы школьной геометрии, то я думаю, что его подробный разбор будет полезен читателям моего канала.

Задача

Дана прямая призма, в основании которой равнобедренная трапеция с основаниями AD = 3 и BC = 2. Точка M делит ребро A₁D₁ в отношении A₁M : MD₁ = 1 : 2, точка K - середина DD₁.

а) Докажите, что плоскость MCK делит отрезок BB₁ пополам

б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью MCK, если ∠ADC = 60°, а ∠MKC = 90°.

Решение:

а) Докажите, что плоскость MCK делит отрезок BB₁ пополам

Для начала сделаем рисунок такой призмы, на которой отметим нужные нам три точки. И начнем делать построения.

1. Проводим прямую MK до пересечения с прямой AA₁, получаем E = MK ∩ AA₁

Рисунок 1

2. Проводим прямую СK до пересечения с прямой C₁D₁, получаем F = СK ∩ C₁D₁

Рисунок 2

3. Пусть α - это наша искомая плоскость через точки (MCK). M ∈ α и F ∈ α. Проведем прямую MF до пересечения с ребром A₁B₁. Получим точку G.

Рисунок 3

4. Продолжим прямую FG до пересечения с продолжением прямой, содержащей ребро B₁C₁. Получим точку H. Точки H ∈ α и G ∈ α лежат в одной плоскости, поэтому их также можно соединить прямой и узнать где наша плоскость α режет ребро BB₁ ( Точка I = BB₁ ∩ HC ).

Рисунок 4

Получаем сечение (5-угольник) IGMKC. По точному рисунку видно, что I - середина BB₁, но нам это нужно доказать:

Доказательство пункта а)

Теперь подумаем над пунктом б) Напомним:

б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью MCK, если ∠ADC = 60°, а ∠MKC = 90°.

IGMKC - искомое сечение. Осталось найти его площадь.

Здесь будет сложнее, но мы используем тригонометрию, подобия треугольников, углы из условия...

Обозначим, что BC + 2d = AD и h - высота призмы. Тогда:

Шаг 1

Теперь рассмотрим треугольник △MCK (он прямоугольный по условию задачи) и найдем там все стороны, а затем применим теорему Пифагора и отыщем высоту нашей призмы.

Шаг 2

Далее разобьем наше сечение-пятиугольник на две части:
IMKC - прямоугольник и △IGM - треугольник. Найдем их площади и сложим. Получим площадь сечения.

Шаг 3

Ну а теперь самое пугающее... Найти площадь треугольника △IGM. Мы уже знаем все стороны, поэтому можно воспользоваться формулой Герона. Это тот случай, когда начальное выражение выглядит пугающе... так, как будто оно никогда не разрешится, но на самом деле сильно упрощается.

Задача решена. Ответ: площадь сечения равна 7√10/6.

Понравилась статья? Дайте обратную связь в комментариях. Напишите ваше мнение, идеи, мысли 😉

Если Вам нужен репетитор по физике, математике или информатике/программированию, Вы можете написать мне или в мою группу Репетитор IT mentor в VK

Библиотека с книгами для физиков, математиков и программистов
Репетитор IT mentor в VK
Репетитор IT mentor в telegram