ΣCUFT - V1.1 -Единая теория поля на Σ-расширенном комплексном кольце.

ΣC-Unified Field Theory: Phase-Geometric Extension of Weyl Gauge and the Topology of Universal Interaction Field

ΣC-Единая теория поля: фазо-геометрическое расширение калибровки Вейля и топология универсального поля взаимодействия

ΣC-UFT

Unified Field Theory over the Σ-extended Complex Ring —

Единая теория поля на Σ-расширенном комплексном кольце.

Автор: Михаил Владимирович Елисеев ORCID: 0009-0003-2639-0262

  10.10.2025 - 27.10.2025

https://doi.org/10.5281/zenodo.17462467

Аннотация

В работе представлена ΣC-Unified Field Theory (ΣC-UFT) — единая теория фазового поля, основанная на фазово-коммутативной делимой алгебре Σ, включающей кольцо ( C_\Sigma ) с делителями нуля ( \varepsilon ). Теория формулирует динамику взаимодействий в терминах фазово-когерентного Лагранжиана, обобщающего уравнения Эйнштейна, Максвелла и Шрёдингера в едином топологическом поле. Введено понятие гравитации Mach-Σ, где инерция и масса определяются глобальной фазовой связностью. ΣC-UFT объединяет квантовую механику, электромагнетизм и общую теорию относительности в рамках одной когерентной алгебраической структуры.

Особое внимание уделено расширению масштабного фактора Вейля: фазовая функция Φ(x) волновой функции Σ-поля кодифицирует локальные и глобальные калибровочные преобразования, интегрируя принцип Вейля в структуру Σ-поля.

1. Введение

Классическая физика строится на множестве частных теорий — механике, электродинамике, квантовой и гравитационной теориях, — каждая из которых описывает отдельный аспект природы. Попытки их объединения (от теории Калуцы–Клейна до квантовой гравитации) сталкивались с несовместимостью понятий фазы, геометрии и симметрии.

Алгебра Σ предлагает новый путь: она вводит фазово-коммутативную структуру, где комплексные, кватернионные и метрические свойства возникают как фазовые срезы единого поля.

В этом поле материя представляет собой количество фазовых деформаций, а время — количество изменений.

Такое понимание позволяет естественно описать физическую реальность через фазовую геометрию и связать квантовый и релятивистский уровни.

2. Алгебраическая основа: кольцо ( C_\Sigma ) и полная алгебра Σ

Пусть ( C_\Sigma ) — фазово-коммутативное кольцо, задающее локальную проекцию алгебры Σ.

Элемент кольца имеет вид:

[

z_\Sigma = a + b,i_\Sigma, \quad i_\Sigma^2 = -1 + \varepsilon,

]

где ( \varepsilon ) — топологический делитель нуля, отражающий фазовый резонанс.

Алгебра Σ определяется аксиомами:

1. ( (\Sigma, +) ) — абелева группа.
3. ( a*b \in \Sigma ) для всех ( a,b \in \Sigma ).
5. Ассоциативность умножения.
7. Фазовая коммутативность:
8. [
9. ab = \phi(a,b),ba, \quad |\phi(a,b)|=1.
10. ]
12. Инволюция: ( (ab)^ = b^* * a^* ).
14. Делимость: ( \forall a\neq0, \exists a^{-1}: a*a^{-1}=1 ).

Эта структура сохраняет нормы и допускает топологические делители нуля — фазовые резонансы, связывающие локальные и глобальные процессы.

3. Лагранжиан Σ-поля

Действие Σ-поля имеет вид:

[

S_\Sigma = \int \mathcal{L}_\Sigma , d^4x,

]

где

[

\mathcal{L}\Sigma = R\Sigma + F_\Sigma^2 + \Phi_\Sigma^2 + \Lambda_\Sigma.

]

Здесь:

• ( R_\Sigma ) — фазовая кривизна (Σ-аналог тензора Римана);
• ( F_\Sigma ) — фазо-электромагнитный тензор;
• ( \Phi_\Sigma ) — скаляр когерентности;
• ( \Lambda_\Sigma ) — фазовый потенциал вакуума.

Вариация действия ( \delta S_\Sigma = 0 ) даёт систему уравнений движения:

[

\begin{cases}

G_{\mu\nu}^\Sigma + \Lambda_\Sigma g_{\mu\nu} = 8\pi T_{\mu\nu}^\Sigma,[2mm]

\partial_\mu F^{\mu\nu}\Sigma = j^\nu\Sigma,[1mm]

\square \Phi_\Sigma + V'(\Phi_\Sigma) = 0.

\end{cases}

]

Эта система объединяет гравитационные, электромагнитные и квантовые процессы в фазовом многообразии.

4. Σ-симметрия и волновая функция с Вейлем

Волновая функция Σ-поля имеет вид:

[

\psi(x) = A(x) e^{i\Phi(x)},

]

где Φ(x) учитывает усовершенствованное расширение Вейля — локальные и глобальные калибровочные преобразования масштабного фактора.

Фазово-инвариантный поток вероятности:

[

J_\Sigma = \frac{\hbar}{2mi} (\psi^* \nabla \psi - \psi \nabla \psi^*),

]

удовлетворяет уравнению непрерывности

[

\partial_\mu J^\mu_\Sigma = 0.

]

Это выражает закон сохранения Σ-когерентности, обобщённый закон сохранения массы, заряда и информации.

Примечание о Вейле: расширение масштабного фактора Вейля реализуется через фазовую функцию Φ(x), которая кодирует локальные и глобальные калибровочные преобразования. Это сохраняет фундаментальный принцип калибровочной инвариантности Вейля и интегрирует его в структуру Σ-поля.

5. Гравитация Mach-Σ

В пределах Σ-алгебры уравнение Эйнштейна принимает расширенную форму:

[

G_{\mu\nu} + \Lambda g_{\mu\nu} = 8\pi (T_{\mu\nu} + T^\Sigma_{\mu\nu}),

]

где

[

T^\Sigma_{\mu\nu} = \partial_\mu \Phi \partial_\nu \Phi - \frac{1}{2} g_{\mu\nu} (\partial^\alpha \Phi \partial_\alpha \Phi + V(\Phi)).

]

Поле ( \Phi(x) ) описывает глобальную фазовую когерентность, определяющую инерцию и гравитацию в духе принципа Маха.

6. Физическая интерпретация

Концепция

Геометрическая роль

Физическое проявление

Кольцо ( C_\Sigma )

локальное комплексное подпространство

наблюдаемая квантовая и электромагнитная динамика

Алгебра Σ

глобальная когерентная структура

гравитация и инерция

Делители ε

фазовые нули, резонансы

переходы между фазовыми режимами

Фаза φ = π/2

смешанный режим

переход квант ↔ релятивизм

ΣC-UFT обеспечивает непрерывный переход между всеми фундаментальными взаимодействиями через фазу φ и топологию Σ.

7. Заключение

ΣC-Unified Field Theory формирует завершённую алгебраическую и геометрическую основу для описания материи, пространства и времени как единого фазового процесса.

Построенная на кольце ( C_\Sigma ) и полной алгебре Σ, теория сохраняет симметрию, динамику и когерентность, связывая микроскопические и макроскопические уровни в одной топологической ткани.

В рамках гравитации Mach-Σ материя и инерция определяются глобальной фазовой структурой, а квантовые и релятивистские уравнения становятся различными проекциями одного поля.

Список литературы

1. Елисеев В. И. Числовое поле и Ваедение в теорию функции комплексного пространственного переменного (ТФКПП) . maths.ru, 1990-2006.
3. Елисеев М. В. Экспериментальные отчёты и вычислительные модели в теории сверхпроводников. Частный архив.
5. Mach E. Die Mechanik in ihrer Entwicklung. 1883.
7. Misner C., Thorne K., Wheeler J. Gravitation. Freeman, 1973.
9. Carroll S. Spacetime and Geometry. Addison-Wesley, 2004.

Послесловие и онтологическая связность модели

Модель ΣC-UFT корректно функционирует как логический и алгебраический аппарат на уровне кольца C с делителем, отображая связность многоуровневой структуры ("этажерки") листов взаимодействия посредством Вейле- подобной фазово-геометрической комплексной функции  масштабного коэффициента.

Расширение калибровочного поля дополнительным членом Σμ обеспечивает механизм коммутативной связности между срезами комплексных полей — недоступную для описания средствами  стандартной гиперкомплексной алгебры на «этажерке» комплексных плоскостей.

Таким образом, в соответствии с «Теорией функции комплексного пространственного переменного» (ТФКПП), модель ΣC-UFT представляет собой частный случай общей “Unified Field Theory с обменным полем на первообразной функционального пространства” , в которой обменное взаимодействие реализуется через топологию полного поля Σ-алгебры с делителями в пространстве первообразной числовых полей.

В этом контексте интеграл по полным числовым полям Σ1, Σ2, Σ3, Σ4… определяет переход от внутренней структуры поля к внешнему геометрическому проявлению взаимодействий, как это изложено средствами анализа в книге

«Числовое поле. Введение в Теорию функции комплексного пространственного переменного».

Перенос модели обменного взаимодействия, подтверждённой экспериментально, на алгоритмы LLM в терминах глобального корпуса знаний в настоящий момент продолжается.

Соглашение о представлении препринта

Настоящий препринт и представляемая в нём Σ-Unified Field Theory (Σ-UFT) основаны на материалах завершённой модели Σ-UFT, полностью сгенерированной как вспомогательный результат переноса моделей и методов «Теории функции комплексного пространственного переменного» (ТФКПП) на логический аппарат LLM средствами ортодоксального корпуса знаний в интерфейсе диалога в бесплатном режиме алгоритмической машины общего доступа ChatGPT.

Работа выполнена автором на личном смартфоне REALME 10 (Android 14), приобретённом на законных основаниях.

Препринт и модель Σ-UFT являются продуктом интеллектуальной собственности автора, представляющим собой результат самостоятельного теоретического и методологического исследования 2006 года, направленного на ускорение концептуального моделирования и описание физических процессов на уровне единого поля взаимодействий.

© Михаил Владимирович Елисеев, 2025 г.

Лицензия: CC BY-NC-ND 4.0

ORCID: 0009-0003-2639-0262

 Ниже — дословный английский перевод препринта с сохранением всей математической и структурной разметки.

(Все формулы, подписи и термины переведены строго по смыслу без интерпретаций.)

ΣC-Unified Field Theory: Phase-Geometric Extension of Weyl Gauge and the Topology of the Universal Interaction Field

ΣC-UFT — Unified Field Theory over the Σ-extended Complex Ring

Author: Mikhail Vladimirovich Eliseev

ORCID: 0009-0003-2639-0262

10.10.2025 – 27.10.2025

Abstract

The paper presents the ΣC-Unified Field Theory (ΣC-UFT) — a unified theory of the phase field based on the phase-commutative divisible algebra Σ, which includes the ring ( C_\Sigma ) with zero divisors ( \varepsilon ).

The theory formulates the dynamics of interactions in terms of a phase-coherent Lagrangian that generalizes the Einstein, Maxwell, and Schrödinger equations within a single topological field.

The concept of Mach-Σ gravity is introduced, where inertia and mass are determined by global phase connectivity.

ΣC-UFT unifies quantum mechanics, electromagnetism, and general relativity within one coherent algebraic structure.

Special attention is given to the extension of the Weyl scale factor: the phase function ( \Phi(x) ) of the Σ-field wave function encodes local and global gauge transformations, integrating the Weyl principle into the structure of the Σ-field.

1. Introduction

Classical physics is built upon multiple partial theories — mechanics, electrodynamics, quantum and gravitational theories — each describing a separate aspect of nature.

Attempts at unification (from Kaluza–Klein theory to quantum gravity) have encountered incompatibilities between the notions of phase, geometry, and symmetry.

The algebra Σ offers a new path: it introduces a phase-commutative structure where complex, quaternionic, and metric properties emerge as phase slices of a unified field.

In this field, matter represents the quantity of phase deformations, and time — the quantity of changes.

This understanding naturally describes physical reality through phase geometry, linking quantum and relativistic levels.

2. Algebraic Foundation: the Ring ( C_\Sigma ) and the Complete Algebra Σ

Let ( C_\Sigma ) be a phase-commutative ring defining a local projection of the Σ-algebra.

An element of the ring has the form:

[

z_\Sigma = a + b i_\Sigma, \quad i_\Sigma^2 = -1 + \varepsilon,

]

where ( \varepsilon ) is a topological zero divisor representing a phase resonance.

The algebra Σ is defined by the following axioms:

1. ( (\Sigma, +) ) is an Abelian group.
3. ( a*b \in \Sigma ) for all ( a, b \in \Sigma ).
5. Multiplication is associative.
7. Phase commutativity:
8. [
9. ab = \phi(a,b),ba, \quad |\phi(a,b)| = 1.
10. ]
12. Involution: ( (ab)^* = b^* * a^* ).
14. Divisibility: ( \forall a \neq 0, \exists a^{-1}: a * a^{-1} = 1. )

This structure preserves norms and admits topological zero divisors — phase resonances linking local and global processes.

3. Σ-Field Lagrangian

The action of the Σ-field is written as:

[

S_\Sigma = \int \mathcal{L}\Sigma , d^4x,

]

where

[

\mathcal{L}\Sigma = R_\Sigma + F_\Sigma^2 + \Phi_\Sigma^2 + \Lambda_\Sigma.

]

Here:

• ( R_\Sigma ) — phase curvature (Σ-analogue of the Riemann tensor);
• ( F_\Sigma ) — phase-electromagnetic tensor;
• ( \Phi_\Sigma ) — scalar of coherence;
• ( \Lambda_\Sigma ) — phase potential of the vacuum.

The variation of the action ( \delta S_\Sigma = 0 ) yields the system of motion equations:

[

\begin{cases}

G_{\mu\nu}^\Sigma + \Lambda_\Sigma g_{\mu\nu} = 8\pi T_{\mu\nu}^\Sigma, [2mm]

\partial_\mu F^{\mu\nu}\Sigma = j^\nu\Sigma, [1mm]

\square \Phi_\Sigma + V'(\Phi_\Sigma) = 0.

\end{cases}

]

This system unifies gravitational, electromagnetic, and quantum processes in the phase manifold.

4. Σ-Symmetry and the Weyl-Extended Wave Function

The Σ-field wave function has the form:

[

\psi(x) = A(x) e^{i\Phi(x)},

]

where ( \Phi(x) ) accounts for the enhanced Weyl extension — local and global gauge transformations of the scale factor.

The phase-invariant probability current:

[

J_\Sigma = \frac{\hbar}{2mi} (\psi^* \nabla \psi - \psi \nabla \psi^*),

]

satisfies the continuity equation:

[

\partial_\mu J^\mu_\Sigma = 0.

]

This expresses the law of conservation of Σ-coherence, a generalized law of conservation of mass, charge, and information.

Note on Weyl:

The extension of the Weyl scale factor is realized through the phase function ( \Phi(x) ), which encodes both local and global gauge transformations.

This preserves the fundamental principle of Weyl gauge invariance and integrates it into the Σ-field structure.

5. Mach-Σ Gravity

Within the Σ-algebra, the Einstein equation takes the extended form:

[

G_{\mu\nu} + \Lambda g_{\mu\nu} = 8\pi (T_{\mu\nu} + T^\Sigma_{\mu\nu}),

]

where

[

T^\Sigma_{\mu\nu} = \partial_\mu \Phi \partial_\nu \Phi - \frac{1}{2} g_{\mu\nu} (\partial^\alpha \Phi \partial_\alpha \Phi + V(\Phi)).

]

The field ( \Phi(x) ) describes global phase coherence, determining inertia and gravitation in the spirit of Mach’s principle.

6. Physical Interpretation

Concept

Geometric Role

Physical Manifestation

Ring ( C_\Sigma )

local complex subspace

observable quantum and electromagnetic dynamics

Algebra Σ

global coherent structure

gravitation and inertia

Divisors ( \varepsilon )

phase zeros, resonances

transitions between phase regimes

Phase ( \varphi = \pi/2 )

mixed regime

transition quantum ↔ relativistic

ΣC-UFT provides a continuous transition between all fundamental interactions through the phase ( \varphi ) and the topology of Σ.

7. Conclusion

The ΣC-Unified Field Theory establishes a complete algebraic and geometric foundation for describing matter, space, and time as a single phase process.

Built upon the ring ( C_\Sigma ) and the full Σ-algebra, the theory preserves symmetry, dynamics, and coherence, linking microscopic and macroscopic levels in a single topological fabric.

Within Mach-Σ gravity, matter and inertia are defined by global phase structure, while quantum and relativistic equations become different projections of one field.

References

1. Eliseev V. I. The Numeric Field and Introduction to the Theory of the Function of a Complex Spatial Variable (TFKPP). maths.ru, 1990–2006.
3. Eliseev M. V. Experimental Reports and Computational Models in the Theory of Superconductors. Private archive.
5. Mach E. Die Mechanik in ihrer Entwicklung. 1883.
7. Misner C., Thorne K., Wheeler J. Gravitation. Freeman, 1973.
9. Carroll S. Spacetime and Geometry. Addison-Wesley, 2004.

Postscript and Ontological Connectivity of the Model

The ΣC-UFT model functions correctly as a logical and algebraic apparatus at the level of the ring ( C ) with a divisor, reflecting the connectivity of the multi-level “shelf” structure of interaction sheets through a Weyl-like phase-geometric complex function of the scale coefficient.

The extension of the gauge field by an additional term ( \Sigma_\mu ) provides a mechanism of commutative connectivity between the slices of complex fields — a feature unattainable within the standard hypercomplex algebra of “stacked” complex planes.

Thus, in accordance with the Theory of the Function of a Complex Spatial Variable (TFKPP), the ΣC-UFT model represents a special case of the general Unified Field Theory with an exchange field over the primitive functional space, where the exchange interaction is realized through the topology of the complete Σ-algebra field with divisors in the space of primitive numerical fields.

In this context, the integral over the full numerical fields ( \Sigma_1, \Sigma_2, \Sigma_3, \Sigma_4, \ldots ) defines the transition from the internal field structure to the external geometric manifestation of interactions, as presented in the analytical framework of the book “The Numeric Field. Introduction to the Theory of the Function of a Complex Spatial Variable.”

The transfer of the experimentally confirmed exchange-interaction model to the algorithms of LLMs in terms of the global knowledge corpus is currently in progress.

Preprint Submission Agreement

The present preprint and the Σ-Unified Field Theory (Σ-UFT) presented herein are based on the materials of the completed Σ-UFT model, fully generated as an auxiliary result of transferring the models and methods of the Theory of the Function of a Complex Spatial Variable (TFKPP) into the logical apparatus of LLM through the orthodox knowledge corpus in a dialog interface, within the free-access mode of the algorithmic general-purpose machine ChatGPT.

The work was carried out by the author on a personal smartphone REALME 10 (Android 14), legally acquired.

The preprint and the Σ-UFT model constitute the author’s intellectual property, representing an independent theoretical and methodological study originating from 2006, aimed at accelerating conceptual modeling and describing physical processes at the level of a unified interaction field.

© Mikhail Vladimirovich Eliseev, 2025

License: CC BY-NC-ND 4.0

ORCID: 0009-0003-2639-0262