Дорогие друзья, сегодня у нас на повестке дня — задача на равноускоренное прямолинейное движение, в которой даны не привычные начальная скорость или ускорение, а отношение скоростей и путь за определённое время. Такие задачи учат нас работать с связями между кинематическими величинами, не зная их абсолютных значений. Мы будем использовать основные формулы кинематики и немного алгебры, чтобы выразить конечную скорость только через путь S и время τ.
Итак, условие задачи:
Двигаясь прямолинейно равноускоренно, за время τ тело прошло расстояние S, увеличив свою скорость в три раза.
Найти конечную скорость тела.
Решим задачу пошагово, с подробными пояснениями.
Шаг 1. Введём обозначения
Пусть:
- v₀ — начальная скорость тела;
- v — конечная скорость;
- По условию: v = 3·v₀;
- Время движения: t = τ;
- Пройденный путь: S;
- Ускорение: a (постоянно).
Наша цель — найти v через S и τ.
Шаг 2. Используем формулу пути при равноускоренном движении
Одна из самых полезных формул, не содержащая ускорения явно, — это формула через среднюю скорость:
S = v_ср · τ
При равноускоренном движении средняя скорость равна полусумме начальной и конечной скоростей:
v_ср = (v₀ + v) / 2
Подставим v = 3v₀:
v_ср = (v₀ + 3v₀) / 2 = (4v₀) / 2 = 2v₀
Тогда путь:
S = 2v₀ · τ → v₀ = S / (2τ)
Теперь найдём конечную скорость:
v = 3v₀ = 3 · (S / (2τ)) = (3S) / (2τ)
Шаг 3. Проверка через другую формулу (для уверенности)
Можно также использовать стандартную формулу:
S = v₀·τ + (a·τ²)/2
И уравнение скорости:
v = v₀ + a·τ → 3v₀ = v₀ + a·τ → a·τ = 2v₀ → a = 2v₀ / τ
Подставим a в формулу пути:
S = v₀·τ + (1/2)·(2v₀ / τ)·τ² = v₀·τ + (1/2)·2v₀·τ = v₀·τ + v₀·τ = 2v₀·τ
→ v₀ = S / (2τ) → v = 3S / (2τ) — то же самое.
Всё сходится!
Ответ:
Конечная скорость тела равна:
v = (3S) / (2τ)
Эта задача показывает, как даже при отсутствии численных значений можно установить точную связь между физическими величинами. Ключевой момент — использование средней скорости, которая при постоянном ускорении даёт простой и мощный инструмент. Такой подход часто оказывается эффективнее, чем прямое использование ускорения.
Представьте, что вы едете на велосипеде и за 10 минут проезжаете 3 километра, при этом ваша скорость к концу пути стала втрое больше, чем в начале. Вы не знаете, с какой скоростью стартовали, но точно можете сказать: «В конце я ехал со скоростью 9 км/ч!» — потому что v = 3S/(2τ) = 3·3/(2·(1/6)) = 27 км/ч? Нет, подождите… Лучше считать в СИ! Вот так и в жизни: если не следить за единицами измерения, можно «разогнаться» до небес… а на самом деле просто перепутать минуты с часами. Главное — помнить, что физика прощает ошибки в арифметике, но не в логике!