Доброй субботы, читатель.
За неделю (45 неделя 2025 года) в Дзен Премиум вышли следующие заметки.
Формат подписок - самый честный и открытый способ взаимодействия автора с читателем. Вы платите непосредственно мне и получаете от трёх до семи материалов в неделю на самые разные темы. Можете высказывать пожелания в почте, которые я постараюсь учесть.
Игра Холмса и Мориарти - когда интересы противников противоположны или хотя бы разного знака, то игрок сам не должен знать, что сделает. Отсюда смешанные стратегии, которые (и это принципиально!) от выигрышей игрока не зависят. Зависят они от выигрышей противника. То есть, неважно, что Вы выиграете, если будет так, а что потеряете, если эдак: имеет смысл только то, что выиграет или потеряет ваш оппонент. Правда, именно в этой истории Конан Дойла есть один нюанс, который способен всё объяснить без применения теории игр.
О проективной плоскости и фундаментальной группе. Что такое проективная плоскость, как её определяют разными способами и чем она от обычной отличается. Любые прямые там пересекаются, эллипс, парабола и гипербола это всё одна кривая, и так далее. На такой плоскости мы вычислим фундаментальную группу: то есть, найдём все петли, которые друг в друга не стягиваются. Их две всего, что довольно необычно. Это всё само по себе интересно и понавательно, но нам это нужно для ответа на один вопрос из Арнольда, про который следующая заметка.
Фундаментальная группа группы вращений. Группа вращений в трёхмерном пространстве это набор преобразований (вращений) вокруг одной точки. Эта группа сама по себе имеет фундаментальноу группу: на ней можно рисовать петли и стягивать их друг в друга. Какая это группа? Такая же, как у проективной плоскости, как ни странно. В.И. Арнольд об этом упоминает вскользь, имеет смысл разобраться. По сути-то этот факт намекает, что существуют спиноры: объекты, которые при повороте на 360 градусов меняются (меняют знак). При чём здесь гравитон? Потом обсудим.
Математика сериала Числа. Статистика. Обсудим один жутковатый случай и посмотрим, как работает статистика (и откуда взялось само слово).
Задача Менделеева. Д.И. Менделеев, про которого все, наверное, слышали, поставил в своей книге о растворах математическую задачу: как оценить производную (квадратного) многочлена на отрезке. Задачу решил проф. Марков, тогда же, а сам Менделеев получил нужные ему оценки и они совпали с решением Маркова. Потом более ста лет задачу развивали и обобщали. Вашему вниманию предлагается краткий обзор. В комплексном случае, как и следовало ожидать, всё естественнее и проще. В вещественном вылезают неведомо откуда многочлены Чебышёва, которые и сами намекают о существовании комплексных чисел.
Кстати, если Вы школьник или школьница: докажите, что cos (n arccos(x)) это многочлен степени n, а когда докажете (это несложно), подумайте, почему данная формула применима только на [-1, 1], а полученный многочлен этим отреком не ограничен?
Игра в Золотой рыбке. Коварство и любовь, шантаж и игры без равновесия, Пушкин и Конан Дойл, а также практические рекомендации.