Задача 153. Игра в «Камешки»
Даны 10 куч, по 9 камней в каждой куче. Андрей и Борис по очереди делают ходы, начинает Андрей. Андрей в свой ход берет из какой-нибудь кучи 1, 2 или 3 камня. А Борис в свой ход берет по 1 камню из одной, двух или трех куч. Тот, кто не может сделать ход, проиграл. Кто выигрывает при правильной игре?
Решение:
Борис.
Расположим камни в клетки таблицы 10 на 10 так, что главная диагональ была пустой (столбцы будут кучами). Андрей должен брать несколько камней из одного столбца, а Борис — из разных. Тогда заметим, что если Борис будет делать ходы симметричные ходам Андрея относительно пустой главной диагонали, то условие будет выполняться. Поэтому у Бориса всегда есть ход. Так как игра конечна, то когда-то Андрей проиграет.
Задача 153. Игра в «Заполнение доски»
Андрей и Борис по очереди красят клетки белой доски 7×7 в черный цвет. Начинает Андрей. За один ход можно покрасить в черный цвет любую белую клетку, не находящуюся в одной строке или в одном столбце с покрашенной на предыдущем шаге клеткой. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выигрывает при правильной игре?
Решение:
Андрей.
Давайте разобьём клетки на пары следующим образом. Каждой клетке не из главной диагонали поместим в пару клетку, симметричную ей относительно главной диагонали. Клетке на главной диагонали, отличной от центральной, поставим в соответствие клетку из главной диагонали, симметричную ей относительно центральной. Центральная клетка останется без пары.
Теперь приведём стратегию за Андрея. Пусть первым ходом он покрасит центральную, а дальше на каждый ход второго будет отвечать ходом в парную клетку. Нетрудно заметить, что клетки в парах находятся в разных столбцах и строках, а значит, Андрей всегда сможет сделать ход.
Задача 154. Игра в «Заполнение доски»-II
Клетчатая доска 9×9 вся заполнена фишками. Андрей и Борис играют в следующую игру: за один ход можно выбрать горизонталь или вертикаль, на которой ещё остались фишки, и снять оттуда все оставшиеся фишки. Выигрывает игрок, после хода которого доска опустеет. Первым ходит Андрей. Кто выиграет при правильной игре?
Решение:
Борис.
Заметим, что строки и столбцы можно переставлять, не влияя на ход игры. Значит, можно считать, что каждый раз убирается крайняя строка или крайний столбец, а оставшиеся фишки образуют прямоугольник.
Борис будет действовать так: если Андрей убирает строку, Борис убирает столбец, и наоборот. Таким образом, оставшиеся фишки всегда будут образовывать квадрат. Так будет продолжаться, пока оставшиеся фишки не образуют квадрат 2×2. После этого Андрей убирает две фишки, а Борис — две оставшиеся.
Задача 155. Игра в «Заполнение доски»-III
Круглое поле разделено на 20 секторов. В каждом секторе лежит по фишке. Андрей и Борис играют в следующую игру. За один ход можно взять либо одну фишку, либо две фишки из двух соседних секторов. Начинает Андрей, проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто из игроков может победить, как бы ни играл соперник?
Решение:
Борис.
Приведем стратегию за Бориса, позволяющую ему победить. Будем повторять ходы Андрея симметрично относительно центра круглого поля. Покажем, что у Андрея всегда есть ход согласно этой стратегии.
Пусть до какого-то момента Борис мог ходить симметрично. Тогда после его хода картинка симметрична относительно центра. Затем Андрей взял одну или две соседних фишки. До хода Андрея в симметричных секторах также были фишки. Заметим, что никакой сектор не симметричен сам себе и не симметричен соседнему сектору. Значит, после хода Андрея в симметричных секторах по-прежнему лежат фишки. Поэтому Борис может сделать симметричный ход.
Итак, мы доказали, что Борис всегда может сходить. Значит, он не проиграет. Между тем игра точно закончится не позже, чем через 20 ходов. Значит, кто-то все-таки проиграет. Это точно не Борис, значит, проиграет Андрей.
Задача 156. Игра в «Заполнение доски»-IV
На столе нарисован ряд из 20 секторов (клеток). В каждом секторе лежит по фишке. Андрей и Борис играют в следующую игру. За один ход можно взять либо одну фишку, либо две фишки из двух соседних секторов. Начинает Андрей, проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто из игроков может победить, как бы ни играл соперник?
Решение:
Андрей.
Приведем стратегию за Андрея, позволяющую ему победить. Первым ходом возьмем две центральных фишки, оставив два отдельных ряда из 9 фишек каждый.
Дальше будем повторять ходы Бориса симметрично, то есть брать столько же фишек и с тех же мест, откуда только что взял фишки Борис, но из другого ряда.
Пусть до какого-то момента Андрей мог ходить симметрично. Тогда после его хода картинка симметрична относительно центра. Затем Борис взял одну или две соседних фишки. До хода Бориса две части были симметричны. Значит, Андрей может взять фишки из симметричных секторов другого ряда.
Итак, мы доказали, что Андрей всегда может сходить. Значит, он не проиграет. Между тем игра точно закончится не позже, чем через 20 ходов. Значит, кто-то все-таки проиграет. Это точно не Андрей, значит, проиграет Борис.
Задача 157. Игра в «Заполнение доски»-V
Круглое поле разделен на 21 сектор. В каждом секторе лежит по фишке. Андрей и Борис играют в следующую игру. За один ход можно взять либо одну фишку, либо две фишки из двух соседних секторов. Начинает Андрей, проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто из игроков может победить, как бы ни играл соперник?
Решение:
Борис.
Приведем стратегию за Бориса, позволяющую ему победить. Первым ходом Андрей может забрать одну или две соседних фишки. Разберем эти два случая отдельно и приведем для каждого из них ответный ход Бориса.
Пусть Андрей первым ходом взял одну фишку. Рассмотрим два соседних сектора, противоположных тому, откуда Андрей взял фишку, и возьмем по фишке оттуда.
Если же Андрей первым ходом взял две фишки, рассмотрим один сектор, противоположной паре соседних секторов, откуда взял яблоки Андрей, и возьмем одну фишку оттуда.
Заметим, что в обоих случаях мы получили картинку, на которой есть два отдельных ряда по 9 фишек в каждом. Значит, сейчас Борис может воспользоваться симметричной стратегией и победить.