Это самая интересная глава книги.
Часть Б: Скрытый и явный порядок в физических законах
1 Вступление
Глава 5 привлекла внимание к появлению новых порядков
на протяжении всей истории физики. Общей чертой
развития этого предмета была тенденция рассматривать
определенные базовые понятия порядка как постоянные и неизменяемые.
Задача физики тогда заключалась в том, чтобы приспособить новые
наблюдения к этим базовым понятиям порядка, чтобы они соответствовали новым фактам. Такого рода адаптация началась с эпициклов Птолемея, которые продолжались с древних времен до появления работ Коперника, Кеплера, Галилея и Ньютона. Как только основные понятия
порядка в классической физике были сформулированы достаточно четко, предполагалось, что дальнейшая работа в физике будет заключаться
в адаптации этого порядка к новым фактам. Это
продолжалось до появления теории относительности и квантовой
теории. Можно с уверенностью сказать, что с тех пор основным направлением
работы в физике была адаптация в рамках общих принципов,
лежащих в основе этих теорий, для учета фактов, к которым
они, в свою очередь, привели.
Таким образом, можно сделать вывод, что приспособление к уже
существующим рамкам порядка обычно считалось
основным видом деятельности, которому следует уделять особое внимание в физике, в то время как восприятие новых порядков рассматривалось как нечто,
происходящее лишь изредка, возможно, в революционные периоды, во время которых то, что считается нормальным процессом развития. вышло из строя.
В связи с этой темой уместно рассмотреть описание
любого интеллектуального восприятия, данное Пиаже в терминах двух взаимодополняющих движений - аккомодации и усвоения. Из корней "mod",
означающих "измерять", и "com", означающих "вместе", видно
, что "приспосабливать" означает "устанавливать общую меру"
(смотрите главу 5 для обсуждения более широкого смысла понятий
меры, которые уместны в данном контексте). Примерами
приспособления являются подгонка под образец, адаптация, подражание, соблюдение правил и т.д. С другой стороны, ‘ассимилироваться’
это значит "переварить" или превратить во всеобъемлющее и неразделимое
целое (которое включает в себя и вас самих). Таким образом, ассимилировать означает ‘понимать’.
Очевидно, что при разумном восприятии основное внимание
, как правило, должно уделяться ассимиляции, в то время как аккомодация
, как правило, играет относительно второстепенную роль в том смысле, что ее основное значение заключается в содействии ассимиляции.
Конечно, в определенных контекстах мы способны просто
приспособить то, что мы наблюдаем, к известным порядкам
мышления, и именно в этом акте это будет адекватно усвоено. Однако в более общих контекстах необходимо уделять серьезное
внимание возможности того, что старые порядки мышления могут
утратить свою актуальность, так что их больше нельзя будет последовательно
адаптировать к новым фактам. Как было довольно
подробно показано в главе 5, возможно, тогда придется увидеть неуместность
старых различий и актуальность новых различий, и, таким образом,
это может открыть путь к восприятию новых порядков, новых
мер и новых структур.
Очевидно, что такое восприятие может иметь место практически
в любое время и не обязательно должно ограничиваться необычными и
революционными периодами, когда обнаруживается, что старые порядки
больше не могут быть удобно адаптированы к фактам. Скорее, человек
может быть постоянно готов отказаться от старых представлений о порядке в различных контекстах, которые могут быть широкими или узкими, и воспринимать новые понятия, которые могут быть уместны в таких контекстах. Таким образом, понимание факта путем включения его в новые порядки может стать тем, что, возможно, можно было бы назвать нормальным способом проведения научных исследований.
Работать таким образом, очевидно, означает уделять основное внимание
чему-то подобному художественному восприятию. Такое восприятие начинается с наблюдения всего факта в его полной индивидуальности, а затем постепенно выстраивается порядок, необходимый для усвоения этого факта.
Все начинается не с абстрактных предубеждений относительно
того, каким должен быть порядок, которые затем адаптируются к тому порядку
, который соблюдается.
Какова же тогда надлежащая роль учета фактов
в рамках известных теоретических порядков, мер и структур? Здесь
важно отметить, что факты не следует рассматривать так, как если
бы они были независимо существующими объектами, которые мы могли бы найти или собрать в лаборатории. Скорее, как указывает латинский корень слова "facere", факт - это "то, что было сделано" (например,
"изготовление"). Таким образом, в определенном смысле мы ‘создаем’ факт. То
есть, начиная с непосредственного восприятия действительного
в сложившейся ситуации мы развиваем факт, придавая ему дальнейший порядок, форму и структуру с помощью наших теоретических концепций.
Например, используя представления о порядке, господствовавшие в древние
времена, люди пришли к "установлению" факта о движении планет
, описывая и измеряя его в терминах эпициклов. В классической
физике этот факт был "установлен" в терминах порядка планетарных
орбит, измеряемого через положения и времена. В общей теории относительности этот факт был "установлен" в терминах порядка римановой
геометрии и меры, подразумеваемой такими понятиями, как
‘искривление пространства’. В квантовой теории этот факт описывается в
терминах порядка энергетических уровней, квантовых чисел,
групп симметрии и т.д., а также соответствующих показателей (например
, сечений рассеяния, зарядов и масс частиц и т.д.).
Таким образом, ясно, что изменения порядка и мер в
теории в конечном счете приводят к новым способам проведения экспериментов и к новым видам инструментов, которые, в свою очередь, приводят к "созданию" соответственно упорядоченных и измеряемых фактов нового типа. При таком развитии событий экспериментальный факт служит, в первую очередь, проверкой теоретических представлений. Таким образом, как
указывалось в главе 5, общая форма теоретического объяснения - это обобщенный вид рационального отношения. ‘Как А соотносится с В
в нашей структуре мышления, так оно и есть на самом деле’. Это соотношение или причина представляет собой своего рода "общую меру’ или ‘согласование’
между теорией и фактами.
До тех пор, пока преобладает такая общая мера, конечно
, используемую теорию менять не нужно. Если обнаруживается, что общая мера
не реализована, то первым шагом является выяснение того, можно ли ее
восстановить с помощью корректировок в рамках теории
без изменения лежащего в ее основе порядка. Если, несмотря на разумные
усилия, надлежащего приспособления такого рода достичь не удается,
то необходимо по-новому взглянуть на этот факт.
Теперь это включает в себя не только результаты экспериментов, но и
неспособность определенных направлений теории привести экспериментальные результаты в соответствие с ‘общей мерой’. Затем, как указывалось ранее, нужно очень внимательно относиться ко всем существенным различиям, которые лежат в основе основных порядков в старой теории, чтобы понять, есть ли место для изменения общего порядка. Здесь подчеркивается, что такого рода восприятие должно надлежащим образом постоянно переплетаться с деятельностью, направленной на адаптацию, и не должно откладываться так долго, что вся ситуация становится запутанной и хаотичной, и, по-видимому, для ее прояснения требуется революционное разрушение старого порядка.
Поскольку теория относительности и квантовая теория показали, что нет
смысла отделять аппаратуру наблюдения от того, что
наблюдается, поэтому обсуждаемые здесь соображения указывают на то, что
нет смысла отделять наблюдаемый факт (вместе с
инструментами, используемыми для его наблюдения) от теоретических представлений о порядке, которые помогают придать ему форму.- к этому факту. По мере того как мы будем разрабатывать новые понятия порядка, выходящие за рамки теории относительности и квантовой теории, будет неуместно пытаться
сразу же применить эти понятия к текущим проблемам, которые
которые возникли при рассмотрении существующего набора экспериментальных фактов. Скорее, в данном контексте требуется в очень
широком смысле включить весь физический факт в
новые теоретические представления о порядке. После того, как этот факт будет генетически "усвоен", мы сможем начать искать новые способы, с помощью которых такие представления о порядке могут быть проверены и, возможно, расширены в различных направлениях. Как указывалось в конце главы 5, здесь мы должны действовать медленно и терпеливо, иначе "непереваренные" факты могут сбить нас с толку.
аким образом, факт и теория рассматриваются как различные аспекты одного
целого, в котором анализ на отдельные, но взаимодействующие части
неуместен. Иными словами, нераздельная целостность заложена не только
в содержании физики (в частности, в теории относительности и квантовой теории), но и в методах работы в физике. Это означает, что мы
не всегда пытаемся заставить теорию соответствовать тем фактам, которые
может быть уместным в принятых в настоящее время общих порядках описания, но мы также готовы при необходимости рассмотреть изменения в том, что подразумевается под фактом, которые могут потребоваться для включения такого факта в новые теоретические представления о порядке.
2. НЕРАЗДЕЛИМАЯ ЦЕЛОСТНОСТЬ – ЛИНЗА И ГОЛОГРАММА
Указанная выше неразрывная целостность способов наблюдения, инструментария и теоретического понимания подразумевает
необходимость рассмотрения фактов нового порядка, то есть факта о том,
каким образом способы теоретического понимания, наблюдения
и инструментария связаны друг с другом. До сих пор мы
более или менее просто принимали такую взаимосвязь как нечто само собой разумеющееся, не уделяя серьезного внимания тому, каким образом она
возникает, весьма вероятно, из-за убеждения, что изучение
предмет относится скорее к "истории науки", чем к "собственно науке’. Однако в настоящее время высказывается предположение, что рассмотрение этой взаимосвязи необходимо для адекватного понимания самой науки, поскольку содержание наблюдаемого факта нельзя последовательно рассматривать отдельно от способов наблюдения, инструментария и способов теоретического
понимания.
Пример очень тесной взаимосвязи между приборами и теорией можно увидеть, рассмотрев объектив, который действительно был одной из ключевых особенностей развития современной научной мысли. Существенной особенностью объектива, как показано на рис. 6.1, является то, что он формирует изображение, в котором заданная точка P на объекте соответствует (с высокой степенью приближения) точке Q на изображении.
Придавая, таким образом, четкую рельефность соответствию определенных характеристик объекта и изображения, линза значительно усиливала восприятие человеком окружающего мира. различные части объекта и взаимосвязи между этими частями. Таким образом, это способствовало развитию тенденции мыслить в терминах анализа и синтеза. Более того, это позволило значительно расширить классический порядок анализа и синтеза, применив его к объектам, которые были слишком далекими, слишком большими, слишком маленькими или слишком быстро
движущимися, чтобы их можно было упорядочить с помощью невооруженного зрения. В результате ученым было предложено экстраполировать свои идеи и
думать, что такой подход будет актуален и обоснован
независимо от того, как далеко они зайдут, во всех возможных условиях и контекстах, и степени приближения.
Однако, как было показано в главе 5, теория относительности и квантовая
теория подразумевают неразделимую целостность, в которой анализ на отдельные и четко определенные части больше не имеет значения. Существует ли инструмент, который может помочь дать определенное непосредственное
представление о том, что может подразумеваться под неделимой целостностью, как это сделал объектив для анализа системы на части?
Здесь предполагается, что такое представление можно получить, рассматривая голограмму. (Название происходит от греческих слов "holo",
что означает "целый", и "gram", что означает "писать". Таким образом,
голограмма - это инструмент, который как бы "записывает целое’.)
Как показано на рисунке 6.2, когерентный лазерный свет проходит
через наполовину посеребренное зеркало. Часть луча попадает непосредственно на фотопластинку, в то время как другая часть отражается,
освещая определенную структуру в целом. Свет, отраженный от
всей этой структуры, также попадает на пластину, где он интерферирует
с тем, который поступает туда прямым путем. Результирующая интерференционная картина, которая регистрируется на пластине, не только очень сложна, но и обычно настолько тонка, что ее даже не видно невооруженным глазом. невооруженным глазом. Тем не менее, это каким-то образом имеет отношение ко всей освещенной структуре, хотя и весьма неявным образом.
Это соответствие интерференционной картины всей
освещенной структуре проявляется при освещении фотопластинки
лазерным лучом. Как показано на рисунке 6.3,
в этом случае создается волновой фронт, который по форме очень похож на тот, который исходит от исходной освещенной структуры. Располагая глаз таким образом, человек, по сути, видит всю исходную структуру целиком, в трех
измерениях и с различных возможных точек зрения (как если
бы он смотрел на нее через окно). Если мы затем осветим
только небольшую область R пластины, мы все равно увидим всю структуру целиком, но в несколько менее четко очерченных деталях и с меньшего
диапазона возможных точек зрения (как если бы мы смотрели через
меньшее окно).
Таким образом, ясно, что нет однозначного соответствия
между частями "освещенного объекта" и частями "изображения
этого объекта на пластине’. Скорее, интерференционная картина в
каждой области R пластины имеет отношение ко всей структуре, и
каждая область структуры имеет отношение ко всей
интерференционной картине на пластине.
Из-за волновых свойств света даже линза не может обеспечить точное взаимно однозначное соответствие. Таким образом, линзу можно рассматривать как предельный случай голограммы.
Однако мы можем пойти дальше и сказать, что в своих общих способах выражения смысла наблюдений типичные эксперименты, проводимые в настоящее время в физике (особенно в "квантовом" контексте), больше похожи на общий случай голограммы, чем на частный случай линзы. Например, рассмотрим эксперимент с рассеянием. Как показано на рис. 6.4, то, что можно наблюдать с помощью детектора, в целом относится ко всей мишени или, по крайней мере, к области, достаточно большой, чтобы содержать большое количество атомов.
Более того, хотя в принципе можно было бы попытаться создать
изображение конкретного атома, квантовая теория подразумевает, что
это не имело бы большого значения или вообще не имело бы никакого значения. Действительно, как показывает обсуждение эксперимента с микроскопом Гейзенберга, приведенное в главе 5, формирование изображения - это как раз то, что не имеет отношения к "квантовому" контексту; в лучшем случае обсуждение формирования изображения служит для обозначения пределов применимости классических методов описания.
Таким образом, мы можем сказать, что в современных исследованиях в области физики инструмент, как правило, имеет отношение ко всей структуре в целом, что довольно похоже на то, что происходит с голограммой. Безусловно, есть
определенные различия. Например, в современных экспериментах с
электронными пучками или рентгеновскими лучами эти последние редко когерентны на заметных расстояниях. Однако, если когда-нибудь окажется
возможным разработать что-то вроде электронного или рентгеновского
лазера, то эксперименты непосредственно выявят "атомное" и "ядерное ядро’
структуры без необходимости в сложных цепочках вывода, которые обычно требуются в настоящее время, как это делает голограмма для обычных крупномасштабных структур.
3 СКРЫТЫЙ И ЯВНЫЙ ПОРЯДОК
Здесь предполагается, что рассмотрение
разницы между линзой и голограммой может сыграть значительную роль
в восприятии нового порядка, который имеет отношение к физическому закону.
Поскольку Галилей отметил различие между вязкой средой и
вакуумом и понял, что физический закон должен относиться в первую очередь к порядок движения объекта в вакууме, так что теперь мы могли бы отметить различие между линзой и голограммой и рассмотреть возможность того, что физический закон должен относиться в первую очередь к порядку неразделимой целостности содержания описания, аналогичного тому, которое указано в голограмме, а не к порядку анализа изображения. в котором содержимое делится на отдельные части, обозначенные линзой.
Однако, когда идеи Аристотеля о движении были отвергнуты,
Галилею и его последователям пришлось задуматься над вопросом о том, как можно более подробно описать новый порядок движения. Ответ пришел в виде декартовых координат, переведенных на язык математического анализа (дифференциальные уравнения и т.д.). Но такого рода описание, конечно
, уместно только в контексте, в котором уместен анализ на отдельные и
автономные части, и поэтому, в свою очередь, от него придется отказаться. Каким же тогда будет новый тип описания, соответствующий нынешнему контексту?
Как и в случае с декартовыми координатами и математическим анализом,
на такой вопрос нельзя ответить сразу же в терминах
определенных предписаний относительно того, что делать. Скорее, нужно очень широко и ориентировочно оценить новую ситуацию и "нащупать"
, какие новые возможности могут оказаться существенными. Из этого возникнет
понимание нового порядка, который будет формироваться и разворачиваться
естественным образом (а не в результате усилий подогнать его под четко определенные и предвзятые представления о том, чего этот порядок должен
быть способен достичь).
Мы можем начать такое исследование с того, что заметим, что в некотором тонком смысле, который не проявляется обычным зрением, интерференционная картина во всей пластине может различать различные порядки и размеры во всей освещенной структуре. Например,
подсвечиваемая структура может содержать геометрические формы всевозможных форм и размеров (показано на рисунке 6.5а), а также
топологические взаимосвязи, такие как внутренняя и внешняя (показано
на рисунке 6.5б), а также пересечение и разделение (показано на рисунке
Рис. 6.5, в). Все это приводит к различным интерференционным картинам
и именно эта разница должна быть как-то подробно описана.
Различия, указанные выше, однако, касаются не только
пластины. На самом деле, последняя имеет второстепенное значение, в том смысле, что ее основная функция заключается в создании относительно постоянной "письменной записи" интерференционной картины света, которая присутствует в каждой области пространства. В более общем плане, однако, в каждой такой области движение света неявно содержит широкий
спектр различий в порядке и мере, соответствующих
всей освещаемой структуре. Действительно, в принципе, эта структура
распространяется на всю вселенную и на все прошлое, имея последствия для всего будущего. Рассмотрим, например, как, глядя на ночное небо, мы можем различать структуры, охватывающие огромные участки пространства и времени, которые в некотором смысле содержатся в движениях света в крошечном пространстве, охватываемом глазом (а также как такие инструменты, как
оптические и радиотелескопы, могут различать структуры, охватывающие огромные участки пространства и времени). различать все больше и больше этой совокупности, содержащейся в каждой области пространства).
Здесь заложен зародыш нового понятия порядка. Этот порядок
не следует понимать исключительно в терминах регулярного расположения
объектов (например, в виде рядов) или как регулярное расположение событий (например, в виде последовательности). Скорее, в каждой области пространства и времени в некотором неявном смысле присутствует полный порядок.
Итак, слово "неявный" основано на глаголе "подразумевать".
Это означает "складывать внутрь" (как умножение означает ‘
многократное складывание’). Таким образом, мы можем прийти к выводу, что в
некотором смысле каждая область содержит в себе общую структуру, "свернутую" внутри нее.
В ходе такого исследования будет полезно рассмотреть
еще несколько примеров скрытого или импликативного порядка. Таким образом, в телевизионной передаче визуальный образ преобразуется во временной порядок, который "переносится" радиоволнами. Точки, которые находятся рядом друг с другом на визуальном изображении, не обязательно являются "близкими" в порядке прохождения радиосигнала. Таким образом, радиоволна передает визуальный образ в косвенном порядке. Затем функция получателя состоит в том, чтобы эксплицировать этот порядок, то есть "развернуть" его в виде нового визуального образа.
Более яркий пример неявного порядка может быть продемонстрирован в лаборатории с помощью прозрачного контейнера, наполненного
очень вязкой жидкостью, такой как патока, и оснащенного механическим вращателем, который может "перемешивать" жидкость очень медленно, но очень тщательно. Если поместить в жидкость нерастворимую каплю чернил
и привести в действие перемешивающее устройство, капля чернил постепенно
превращается в нить, которая распространяется по всей жидкости. Теперь
чернила распределяются более или менее "случайным" образом, так что
что он воспринимается как какой-то оттенок серого. Но если механическое перемешивающее устройство повернуть в противоположную сторону,
превращение происходит в обратном порядке, и капля красителя внезапно
появляется в восстановленном виде. (Эта иллюстрация импликативного порядка
обсуждается далее в главе 7.)
Когда краситель распределялся, казалось бы, случайным образом, он, тем не менее, имел некоторый порядок, который отличается, например, от того, который возникает из-за другой капли, первоначально помещенной в другое положение. Но этот порядок заключен в ‘серой массе’, которая видна в жидкости. Действительно, таким образом можно было бы "сложить" целую картину. Разные картинки выглядели бы неразличимыми, но при этом имели бы разный порядок следования элементов, и эти различия были бы выявлены при их расшифровке, когда перемешивающее устройство поворачивалось бы в обратном направлении.
То, что происходит здесь, очевидно, в некоторых важных аспектах похоже
на то, что происходит с голограммой. Безусловно, есть различия. Таким образом, при достаточно тщательном анализе можно было бы увидеть, что части
капли чернил находятся в взаимно однозначном соответствии, поскольку
они перемешиваются и жидкость непрерывно движется. С
другой стороны, в функционировании голограммы нет такого
однозначного соответствия. Таким образом, в голограмме (как и в
экспериментах в "квантовом" контексте) в конечном счете нет
способа свести скрытый порядок к более тонкому и сложному типу
явного порядка.
Все это привлекает внимание к актуальности нового различия
между подразумеваемым и явным порядком. Вообще говоря,
законы физики до сих пор относились в основном к явному
порядку. Действительно, можно сказать, что основная функция декартовых координат состоит в том, чтобы просто дать ясное и точное описание явного порядка. Итак, мы предлагаем, чтобы при формулировании законов физики основное внимание уделялось импликативный порядок, в то время как экспликативный порядок должен иметь второстепенное значение (например, как это произошло с понятием движения у Аристотеля после развития классической физики). Таким образом, можно ожидать, что описанию в терминах декартовых координат больше не будет уделяться первостепенного внимания и что для обсуждения законов физики действительно потребуется разработать новый вид описания.
4 ХОЛОДВИЖЕНИЕ И ЕГО АСПЕКТЫ
.Чтобы указать на новый тип описания, подходящий для придания
первостепенного значения подразумеваемому порядку, давайте еще раз
рассмотрим ключевую особенность функционирования голограммы, т.е. в каждой области пространства порядок всей освещенной структуры
"сворачивается" и "поддерживается" движением света. Нечто
подобное происходит с сигналом, который модулирует радиоволну (см.
Рисунок 6.6). Во всех случаях содержание или смысл, который
"упаковывается" и "переносится", в первую очередь является порядком и мерой,
позволяющими развивать структуру. С помощью радиоволны,
этой структурой может быть вербальная коммуникация, визуальный
образ и т.д., но при использовании голограммы таким образом могут быть задействованы гораздо более тонкие структуры (в частности, трехмерные структуры, видимые со многих точек зрения).
В более общем плане, такой порядок и мера могут быть "заложены"
и "перенесены" не только с помощью электромагнитных волн, но и другими
способами (электронными лучами, звуком и другими бесчисленными формами движения). Обобщая, чтобы подчеркнуть неделимую целостность, мы скажем, что то, что "несет" имплицитный порядок, - это
холодвижение, представляющее собой неразрывную и неделимую целостность. В некоторых случаях мы можем абстрагироваться от конкретных аспектов холодвижения (например, света, электронов, звука и т.д.), но в более общем плане все формы холодвижения сливаются воедино и неразделимы.
Таким образом, в целом, холодвижение вообще не ограничено каким-либо
определенным образом. Оно не обязано соответствовать какому-либо определенному порядку или быть ограниченным какой-либо конкретной мерой. Таким образом, холодвижение является неопределимым и неизмеримым.
Придание первостепенного значения неопределимому и
неизмеримому холодвижению подразумевает, что нет смысла
говорить о фундаментальной теории, на которой вся физика могла бы найти
постоянную основу или к которой в конечном счете можно было бы свести все физические явления. Скорее, каждая теория будет абстрагировать определенный аспект, который имеет значение только в некотором ограниченном контексте, на который указывает некоторая соответствующая мера.
При обсуждении того, как следует привлекать внимание к таким аспектам,
полезно напомнить, что слово "релевантный" - это форма, образованная
от глагола "придавать значение", который вышел из
употребления и который означает "поднимать" (например, "возвышать’).
Таким образом, мы можем сказать, что в конкретном контексте, который может быть рассмотрен, общие способы описания, относящиеся к данной
теории, служат для того, чтобы придать значимость определенному содержанию, то есть привлечь к нему внимание так, чтобы оно выделялось ‘рельефно’. Если это содержание имеет отношение к обсуждаемому контексту, то считается, что оно имеет отношение к делу, и в противном случае это не имеет значения.
Чтобы проиллюстрировать, что значит учитывать определенные аспекты импликативного порядка в холодвижении, полезно
еще раз рассмотреть пример механического устройства для перемешивания
вязкой жидкости, как описано в предыдущем разделе. Предположим, что
мы сначала вводим капельку красителя и поворачиваем механизм перемешивания n раз. Затем мы могли бы поместить рядом еще одну капельку красителя и снова перемешать в течение n оборотов. Мы могли бы повторять этот процесс бесконечно, используя длинный ряд капель, расположенных более или менее по одной линии, как показано на рис. 6.7.
Итак, предположим, что после того, как мы таким образом "обволакиваем" большое количество капель, мы поворачиваем перемешивающее устройство в обратном направлении, но так быстро, что отдельные капли не различаются при восприятии. Затем мы увидим то, что кажется "твердым" объектом (например
, частицей), непрерывно движущимся в пространстве. Эта форма
движущегося объекта появляется при непосредственном восприятии главным
образом потому, что глаз нечувствителен к концентрациям красителя
ниже определенного минимума, так что человек непосредственно не видит движущийся объект. ‘целостное движение" краски. Скорее, такое восприятие придает значение определенному аспекту. Иными словами, это позволяет этому аспекту выделяться ‘рельефно’ в то время как остальная часть жидкости видна только как "серый фон", внутри которого, кажется, движется соответствующий "объект".
Конечно, сам по себе такой аспект не представляет особого интереса, т.е. в отрыве от его более широкого значения. Таким образом, в данном примере одно из возможных значений заключается в том, что в жидкости действительно перемещается автономный объект. Это, конечно, означало бы, что
весь порядок движения следует рассматривать как аналогичный тому, который
непосредственно воспринимается в аспекте. В некоторых контекстах такое
значение является уместным и адекватным (например, если на
обычном уровне восприятия мы имеем дело с камнем, летящим по воздуху).
Однако в данном контексте используется совсем другое значение.
указано, и это может быть передано только с помощью совершенно
иного рода описания.
Такое описание должно начинаться с концептуального описания определенных
более широких порядков движения, выходящих за рамки тех, которые аналогичны тем, которые релевантны непосредственному восприятию. При этом всегда начинают с холодвижения, а затем выделяют
специальные аспекты, которые охватывают совокупность, достаточно широкую для надлежащего описания на рисунке 6.7 в обсуждаемом контексте. В данном примере эта совокупность должна включать в себя все движение
жидкости и красителя, определяемое механическим перемешивающим
устройством, и движение света, которое позволяет нам визуально
воспринимать происходящее, наряду с движением глаз и нервной системы, что определяет различия, которые могут быть восприняты в движении света.
Тогда можно сказать, что содержание, релевантное непосредственному
восприятию (то есть "движущийся объект"), является
своего рода пересечением двух порядков. Один из них - это порядок движения, который обеспечивает возможность прямого перцептивного контакта (в данном
случае, со светом и реакцией нервной системы на
этот свет), а другой - это порядок движения, который определяет детальное содержание, которое воспринимается (в данном случае,
порядок перемещения красителя в жидкости). Такое описание в
терминах пересечения порядков, очевидно, очень широко применимо.
Уже было замечено, что, в общем, движение света
следует описывать в терминах "свертывания и переноса" имплицитных порядков, относящихся к целостной структуре, в которой
анализ на отдельные и автономные части неприменим
(хотя, конечно, в определенных ограниченных контекстах, описание в терминах конкретных заказов будет адекватным). В данном
примере, однако, также уместно описать движение красителя в аналогичных терминах. То есть в движении, определенные имплицитные порядки (в распределении красителя) становятся эксплицитными, в то время как эксплицитные порядки становятся имплицитными.
Чтобы более подробно описать это движение, здесь полезно
ввести новую меру, т.е. "параметр импликации", обозначаемый
T. В жидкости это было бы число оборотов, необходимое для того, чтобы
придать данной капельке красителя четкую форму. Таким образом, общую структуру красителя, присутствующего в любой момент, можно рассматривать как упорядоченный ряд подструктур, каждая из которых соответствует отдельной капле N со своим параметром T_N.
Очевидно, что здесь мы имеем дело с новым понятием структуры, поскольку мы больше не строим структуры исключительно как упорядоченные и выверенные
схемы, с помощью которых мы соединяем отдельные вещи, которые все
вместе эксплицируются. Скорее, теперь мы можем рассмотреть структуры, в
которых аспекты различной степени значимости (измеряемые
T) могут быть расположены в определенном порядке.
Такие аспекты могут быть довольно сложными. Например, мы могли
бы создать "целостную картину", повернув перемешивающее устройство n раз.
Затем мы могли бы создать несколько иную картину и так далее
до бесконечности. Если быстро повернуть перемешивающее устройство в
обратном направлении, мы могли бы увидеть "трехмерную сцену", по-видимому, состоящую из "целой системы" объектов, находящихся в
непрерывном движении и взаимодействии.
В этом движении "картина", представленная в любой данный момент
, состояла бы только из аспектов, которые могут быть объяснены вместе
(т.е. аспектов, соответствующих определенному значению параметра импликации T). Поскольку события, происходящие в одно и то же время,
называются синхронными, аспекты, которые могут быть объяснены вместе, можно назвать синхронными, в то время как те, которые не могут быть объяснены вместе, могут быть названы асинхронными. Очевидно,
что обсуждаемые здесь новые понятия структуры включают в себя неординарные аспекты, тогда как предыдущие понятия включают только неординарные аспекты.
Здесь следует подчеркнуть, что порядок следования,
измеряемый параметром T, не имеет необходимой связи с
порядком времени (измеряемым другим параметром, t). Эти
два параметра связаны только случайным образом (в данном
случае скоростью вращения перемешивающего устройства). Именно параметр T имеет непосредственное отношение к описанию
предполагаемой структуры, а не параметр t.
Когда структура неординарна (то есть состоит из аспектов
с разной степенью значимости), то, очевидно, временной
порядок в целом не является основным, который имеет отношение к
выражению закона. Скорее, как можно видеть из рассмотрения
предыдущих примеров, весь импликативный порядок присутствует в любой момент таким образом, что вся структура, вырастающая из
этого импликативного порядка, может быть описана без придания времени какой-либо первостепенной роли. Тогда закон структуры будет просто
законом, связывающим аспекты с различной степенью значимости. Такой
закон, конечно, не будет детерминированным во времени. Но, как
было указано в главе 5, детерминизм во времени - это не единственная
форма соотношения или разумности; и до тех пор, пока мы можем находить соотношение или разумность в порядках, которые имеют первостепенное значение, это все, что нужно для закона.
В "квантовом контексте" можно увидеть значительное сходство
с порядком перемещения, который был описан в терминах
простых примеров, рассмотренных выше. Таким образом, как показано на рисунке 6.8 "элементарные частицы" обычно наблюдаются с помощью
следов, которые они должны оставлять в детекторных устройствах
(фотографических эмульсиях, пузырьковых камерах и т.д.).
Очевидно, что такой трек следует рассматривать не более чем как аспект, возникающий при непосредственном восприятии (как это было сделано с последовательностью движений из капель красителя, показанных на рисунке 6.7). Описывать это как след "частицы" - значит, дополнительно предполагать, что в первую очередь относящийся к делу порядок движения аналогичен тому, который непосредственно воспринимается.
Однако все обсуждение нового порядка, подразумеваемого
квантовой теорией, показывает, что такое описание не может быть последовательным. Например, необходимость описывать прерывистое движение в терминах "квантовых скачков" подразумевает, что
понятие четко определенной орбиты частицы, которая соединяет видимые метки, составляющие дорожку, не может иметь никакого смысла. В
любом случае, корпускулярно-волновые свойства материи показывают, что
общее движение зависит от общей организации эксперимента таким образом, что это не согласуется с идеей автономного
движение локализованных частиц; и, конечно же, обсуждение
эксперимента с микроскопом Гейзенберга указывает на актуальность
нового порядка нераздельной целостности, при котором не имеет смысла говорить о наблюдаемом объекте так, как если бы он был отделен от
всей экспериментальной ситуации, в которой происходит наблюдение. Таким образом, использование описательного термина "частица" в этом
"квантовом" контексте вводит в заблуждение.
Очевидно, что здесь мы имеем дело с чем-то, что в некоторых важных аспектах схоже с примером смешивания красителя
с вязкой жидкостью. В обоих случаях непосредственному
восприятию предстает явный порядок, который нельзя последовательно
рассматривать как автономный. В примере с красителем явный порядок определяется как пересечение явного порядка "всего движения" жидкости и явного порядка различий в плотности красителя, которые имеют отношение к
чувственное восприятие. В "квантовом" контексте аналогичным образом будет происходить пересечение имплицитного порядка некоторого "целостного
движения", соответствующего тому, что мы назвали, например,
"электроном", и другого имплицитного порядка различий, которые
релевантны (и регистрируются) нашими приборами. Таким образом,
слово "электрон" следует рассматривать не более чем как название, с помощью
которого мы привлекаем внимание к определенному аспекту холодвижения, аспекту, который можно обсуждать, только принимая во
внимание всю экспериментальную ситуацию, и который не может быть
задается в терминах локализованных объектов, автономно перемещающихся в пространстве. И, конечно, каждый вид "частиц", которые в
современной физике считаются основной составляющей материи, должен обсуждаться в таких же терминах (чтобы такие "частицы" больше не рассматривались как автономные и существующие отдельно). Таким образом, мы приходим к новому общему физическому описанию, в котором "все включает в себя все" в порядке нераздельной целостности.
Математическое обсуждение того, как "квантовый" контекст может
быть воспринят в терминах того рода импликативного порядка, который обсуждался выше, приведено в приложении к этой главе.
5 ЗАКОН В ХОЛОДВИЖЕНИИ
Мы видели, что в "квантовом" контексте порядок в каждом
непосредственно воспринимаемом аспекте мира следует рассматривать как
вытекающий из более всеобъемлющего имплицитного порядка, в котором
все аспекты в конечном счете сливаются в неопределимом и неизмеримом холодвижении. Как же тогда нам следует понимать тот факт, что описания, включающие анализ мира на автономные компоненты, действительно работают, по крайней мере, в определенных контекстах (например, в тех, в которых справедлива классическая физика)?
Чтобы ответить на этот вопрос, мы сначала отметим, что слово "автономия" основано на двух греческих словах: "авто", что означает "самость", и
"номос", что означает "закон". Итак, быть автономным - значит быть самоуправляемым.
Очевидно, что ничто не является "законом само по себе". Самое большее, что-то может вести себя с относительной и ограниченной степенью автономии, при
определенных условиях и в определенной степени приближения.
Действительно, по крайней мере, каждая относительно автономная вещь (например, частица) ограничена другими такими же относительно автономными вещами. В настоящее время такое ограничение описывается в терминах взаимодействия. Однако мы введем здесь слово "гетерономия", чтобы привлечь
внимание к закону, согласно которому многие относительно автономные вещи
соотносятся подобным образом, то есть внешне и более или менее
механически.
Итак, что характерно для гетерономии, так это применимость
аналитических описаний. (Как указывалось в главе 5, корень
слова "анализ" происходит от греческого "лизис", что означает ‘растворять’ или ‘
расшатывать’. Поскольку приставка "ана" означает "выше", можно сказать, что
"анализировать" означает "смотреть сверху", то есть получать широкий обзор, как будто с большой высоты, с точки зрения компонентов, которые
рассматриваются как автономные и очевидные по отдельности, хотя и находятся во взаимном взаимодействии.)
Однако, как было замечено, в достаточно широких контекстах такие
аналитические описания перестают быть адекватными. Тогда требуется
голономия, то есть закон целого. Голономия не
полностью отрицает актуальность анализа в том смысле, который обсуждался
выше. Действительно, "закон целого", как правило, включает в
себя возможность описания "отделения" аспектов
друг от друга, так что они будут относительно автономны в ограниченных контекстах (а также возможность описания взаимодействия отдельных аспектов). эти аспекты в системе гетерономии). Однако любая форма относительной автономии (и гетерономии) в конечном счете ограничена
голономией, так что в достаточно широком контексте такие формы
рассматриваются как просто аспекты, связанные с голодвижением, а
не как несвязанные и отдельно существующие вещи, находящиеся во взаимодействии.
Научные исследования, как правило, начинались с
изучения кажущихся автономными аспектов совокупности. Поначалу, как правило, особое внимание уделялось изучению закономерностей этих аспектов, но, как правило, такого рода исследования постепенно приводили к
осознанию того, что такие аспекты связаны с другими, которые, как первоначально считалось, не имеют существенного отношения к предмету, представляющему основной интерес.
Время от времени широкий спектр аспектов осмысливался в рамках ‘нового целого’. Но, конечно, до сих пор общей тенденцией было зацикливаться на этом "новом целом" как на окончательно утвержденном общем порядке, который в дальнейшем должен быть адаптирован (способом, описанным в разделе 1) с учетом любых дальнейших фактов, которые могут быть обнаружены.
Однако здесь подразумевается, что даже такое "новое целое" само
по себе будет раскрыто как аспект в еще одном новом целом. Таким образом,
голономию следует рассматривать не как фиксированную и конечную цель
научных исследований, а скорее как движение, в ходе которого постоянно возникают "новые целостности’. И, конечно, это также подразумевает, что общий закон неопределимого и неизмеримого
холодвижения никогда не мог быть известен, определен или выражен
словами. Скорее, такой закон необходимо рассматривать как неявный.
Теперь мы обсудим общий вопрос об ассимиляции общего
физического факта в таком понятии закона.
ПРИЛОЖЕНИЕ: ИМПЛИЦИТНЫЙ И ЭКСПЛИЦИТНЫЙ ПОРЯДОК В ФИЗИЧЕСКОМ ЗАКОНЕ
A.1 Введение
В этом приложении понятия имплицитного и эксплицитного порядка, которые были представлены ранее, будут представлены в более математической форме
Однако важно подчеркнуть, что математика и физика рассматриваются здесь не как отдельные, а как взаимосвязанные структуры (так что, например, можно сказать, что математика применяется к физике так же, как краска наносится на дерево). Скорее, предполагается, что математику и физику следует
рассматривать как аспекты единого неразделимого целого.
Обсуждая все это в целом, мы начнем с общего языка, который используется для описания в физике. Затем можно сказать, что мы математизируем этот язык, то есть формулируем или определяем его более
подробно, чтобы он позволял делать более точные утверждения, из
которых можно было бы сделать широкий спектр важных выводов
ясным и последовательным образом.
Для того чтобы общий язык и его математизация могли работать согласованно и гармонично, эти два аспекта должны быть схожи друг с другом в определенных ключевых аспектах, хотя они, конечно, будут отличаться в других отношениях
(в частности, в том, что математический аспект обладает большими возможностями для точности выводов). Благодаря рассмотрению этих
сходств и различий может возникнуть то, что можно назвать
своего рода "диалогом", в котором появляются новые значения, общие для обоих создаются различные аспекты. Именно в этом ‘диалоге’ проявляется целостность общего языка и его математическая основа.
Затем в этом приложении мы укажем, хотя и только в самых
предварительных чертах, как мы можем математизировать
общий язык для разработки имплицитных и эксплицитных порядков
последовательным и гармоничным образом.
A.2 Евклидовы системы порядка и меры
Мы начнем с математического описания явного порядка.
Итак, явный порядок возникает, прежде всего, как определенный аспект
чувственного восприятия и опыта, связанного с содержанием такого
чувственного восприятия. Можно добавить, что в физике явный
порядок обычно проявляется в ощутимых результатах
функционирования прибора.
Общим для функционирования инструментов, обычно
используемых в физических исследованиях, является то, что чувственно воспринимаемое содержание в конечном счете поддается описанию в терминах евклидовой системы порядка и меры, то есть такой, которая может быть адекватно понята в терминах обычной евклидовой геометрии. Поэтому мы начнем с обсуждения евклидовых систем порядка и меры.
В этом обсуждении мы примем хорошо известную точку зрения
математика Клейна, который считает общие преобразования существенными определяющими свойствами геометрии. Таким образом, в евклидовом трехмерном пространстве существуют три оператора перемещения D_i .
Каждый из этих операторов определяет набор параллельных
прямых, которые преобразуются в самих себя при
выполнении рассматриваемой операции. Далее, есть три оператора вращения R_i. Каждый из них определяет набор концентрических цилиндров вокруг начала координат, которые преобразуются в себя при выполнении рассматриваемой операции. Вместе они определяют концентрические сферы, которые преобразуются в себя при выполнении всего набора R_i. Наконец, существует оператор расширения R_0, который преобразует сферу заданного радиуса в сферу другого радиуса. При выполнении этой операции
радиальные линии, проходящие через начало координат, преобразуются в себя.
Из любого набора операторов R_i, R_0 мы получаем другой набор R'_i , R'_0, соответствующий другому центру, посредством смещения
Из D_i мы получаем набор перемещений D'_iв новых направлениях при вращении
Теперь, если D_i - это определенное смещение, (D_i)^n будет смещением
на n одинаковых шагов. Это означает, что перемещения могут быть упорядочены естественным образом в порядке, аналогичном порядку целых чисел. Таким образом, мы можем описать перемещения в числовом масштабе. Это дает не только порядок, но и меру (в той мере, в какой мы рассматриваем последовательные перемещения как эквивалентные по размеру).
Аналогично, каждый поворот R_i определяет упорядоченный и измеренный ряд (R_i)^n оборотов, в то время как расширение R_0 определяет упорядоченный и измеренный ряд (R_0)^n расширений.
Понятно, что операции такого рода определяют, что подразумевается
под параллельностью и перпендикулярностью, а также что подразумевается под
конгруэнтностью и подобием геометрических фигур. Таким образом, они
определяют существенную особенность евклидовой геометрии со
всей ее системой порядка и меры. Однако следует иметь в виду,
что весь набор операций - это то, что воспринимается
как наиболее значимое, в то время как статические элементы (например, прямые линии, круги, треугольники и т.д.) теперь рассматриваются как "инвариантные подпространства" операций и как конфигурации, сформированные из этих подпространств.
A.3 Преобразование и метаморфоза
Теперь мы обсудим математическое описание импликативного порядка.
Импликативный порядок, как правило, описывается не в терминах
простых геометрических преобразований, таких как перемещения, повороты и растяжения, а скорее в терминах другого вида
операций. Поэтому в интересах ясности мы будем использовать
слово "трансформация" для описания простого геометрического изменения
в пределах заданного явного порядка. То, что происходит в более широком контексте скрытого порядка, мы будем называть метаморфозой. Этот
слово указывает на то, что это изменение гораздо более радикально, чем изменение положения или ориентации твердого тела, и что в
некотором смысле оно больше похоже на превращение гусеницы в бабочку
(при котором все меняется полностью, в то время
как некоторые тонкие и в высшей степени неявные черты остаются неизменными). Очевидно, что изменение между освещенным объектом и его голограммой (или между капелькой чернил и "серой массой", полученной при
перемешивании) следует описывать скорее как метаморфозу, чем как
трансформацию.
Мы будем использовать символ M для обозначения метаморфозы и T для
преобразования, в то время как E обозначает целый набор преобразований, которые имеют значение в заданном явном порядке (D_i, R_i, R_0). При
метаморфозе множество E преобразуется в другое множество E, заданное
До сих пор это обычно называлось трансформацией подобия, но отныне это будет называться метаморфозой подобия.
Чтобы показать основные особенности преобразования подобия, давайте рассмотрим пример с голограммой. В этом случае соответствующее преобразование M определяется функцией Грина, связывающей амплитуды на освещенной структуре с амплитудами на фотографической пластинке. Для волн определенной частоты ω функция Грина равна
где x - координата, относящаяся к освещаемой конструкции, а
y - координата, относящаяся к пластине. Таким образом, если A(x) - это амплитуда волны на освещаемой конструкции, то амплитуда B(y) на
пластине равна
Из приведенного выше уравнения видно, что вся освещенная структура
"переносится" и "сворачивается" в каждой области пластины способом, который, очевидно, не может быть описан в терминах преобразования от точки к точке или соответствия между x и y. Матрицу M(x, y), которая по существу является G(x − y), можно, таким образом, назвать преобразованием амплитуд на освещенной структуре в амплитуды на голограмме.
Давайте теперь рассмотрим взаимосвязь между преобразованием
E в освещенной структуре и сопутствующими изменениями в
голограмме, которые следуют за этими преобразованиями. В освещенной структуре E можно охарактеризовать как соответствие точка-точка, при котором любая похожая область преобразуется в аналогичную область. Соответствующее изменение в голограмме описывается формулой E' = MEM^{−1}. Это не соответствие точек в голограмме по отношению друг к другу, в которых сохранялось бы свойство локальности таких наборов точек. Скорее, каждая область голограммы изменяется таким образом, который зависит от всех других таких областей. Тем не менее, изменение E' в голограмме, очевидно, определяет изменение E в структуре, которое можно увидеть, когда
голограмма освещается лазерным лучом.
Аналогично, в квантовом контексте унитарное преобразование (например,
заданное функцией Грина, воздействующей на вектор состояния) может
пониматься как метаморфоза, при которой двухточечные
преобразования пространства и времени, сохраняющие локальность, "сворачиваются" в более общие операции, сходные по смыслу определенные выше и которые, тем не менее, не являются локальными преобразованиями типа "точка-точка".
A.4 Математизация описания импликативного порядка
Следующим шагом является обсуждение математизации языка
для описания имплицитного порядка.
Начнем с рассмотрения метаморфозы M. Применяя M снова и снова, мы получаем (M)^n, которая описывает сворачивание данной структуры n раз. Если мы запишем Q_n = (M)^n, то получим
Таким образом, в Q_n имеется ряд сходных различий (на самом деле,
различия не только сходны, но и все равны M). Как
указывалось в главе 5, такой ряд сходных различий
указывает на порядок. Поскольку различия заключаются в степени импликации, этот порядок является импликативным. Более того, поскольку
последовательные операции M рассматриваются как эквивалентные, существует также мера, в которой n может быть принято в качестве параметра импликации.
Если мы рассмотрим пример с капельками нерастворимого красителя, размешанными в вязкой жидкости (так что мы позволим M описать изменение состояния капли, когда система сворачивается на определенное количество
оборотов), то M_n описывает изменение состояния капли при n сворачиваниях. Однако каждая капля помещается в положение, которое смещено на определенную величину относительно исходящей капли. Пусть это смещение обозначается через D. Сначала n-я капля подвергается смещению D_n, а затем происходит метаморфоза M_n, так что итоговый результат равен M_nD_n. Давайте далее предположим, что плотность красителя, вводимого в каждую каплю, может варьироваться, и обозначим плотность красителя, вводимого в n
-ю каплю, с помощью операции Q_n = C_nM_nD_n. Оператор, соответствующий всей серии капель, получается путемсложения вкладов каждой из них, чтобы получить
Более того, любое количество структур, соответствующих Q, Q', Q"
и т.д., также может быть наложено друг на друга, чтобы получить
Кроме того, любая такая структура сама может подвергаться смещению, такому как D, и метаморфозе, такой как M, с образованием
Если бы жидкость уже имела "однородно-серый" фон, мы
могли бы придать значение отрицательному коэффициенту C_n, означающему
удаление определенного количества красителя из области, соответствующей
капле (а не добавление такого красителя в область).
В приведенном выше описании каждый математический символ соответствует операции (преобразованию и/или метаморфозе). Операции сложения, умножения результата на число C и умножения операций друг
на друга имеют определенный смысл. Если мы далее введем единичную операцию (которая оставляет все операции неизменными при умножении) и нулевую операцию (которая оставляет все операции неизменными при сложении), мы будем удовлетворять всем условиям, необходимым для алгебры.
Таким образом, мы видим, что алгебра содержит ключевые признаки, которые
аналогичны ключевым признакам структур, построенных на имплицитных порядках. Таким образом, такая алгебра делает возможной соответствующую математизацию, которая может быть логически связана с общим языком для обсуждения имплицитных порядков.
Так вот, в квантовой теории алгебра, подобная
описанной выше, также играет ключевую роль. Действительно, теория выражается в терминах линейных операторов (включая единичный оператор
и нулевой оператор), которые могут быть добавлены друг к другу, умножены
на числа и перемножены друг на друга. Таким образом, все содержание
квантовой теории может быть выражено в терминах такой алгебры.
Конечно, в квантовой теории алгебраические термины
интерпретируются как обозначающие "физические наблюдаемые величины", которым они соответствуют. Однако в предлагаемом
здесь подходе такие термины не следует рассматривать как обозначающие что
-то конкретное. Скорее, их следует рассматривать как расширения
общего языка. Таким образом, отдельный алгебраический символ подобен
слову в том смысле, что его скрытое значение полностью
раскрывается только при использовании языка в целом.
Этот подход действительно используется во многих областях современной
математики, особенно в теории чисел. Таким образом, можно начать
с так называемых неопределимых символов. Значение такого
символа никогда не имеет прямого отношения к делу. Скорее всего, имеют значение только отношения и операции, в которых участвуют эти символы.
Здесь мы предполагаем, что по мере того, как мы математизируем язык указанным выше способом, внутри языка будут возникать порядки, меры и структуры, которые похожи на (но также и отличаются от) порядков, мер и структур, которые должны восприниматься в обычном опыте и в опыте
функционирования научных приборов. Как далее указывалось выше, между этими двумя видами порядков, мер и структур может существовать взаимосвязь, так что то, о чем мы говорим, и думаем о том, будет ли у нас общее соотношение или причина с тем, что мы можем наблюдать и делать (смотрите главу 5 для обсуждения этого смысла "соотношения" или "причины’).
Это, конечно, означает, что мы не рассматриваем такие термины, как "частица", "заряд", "масса", "положение", "импульс" и т.д., как имеющие
первостепенное значение в алгебраическом языке. Скорее всего, в лучшем случае им придется предстать в виде высокоуровневых абстракций. Как указывалось в этом разделе, истинное значение "квантовой алгебры"
тогда будет заключаться в том, что это математизация общего языка, которая обогащает последний и делает возможным более точно
сформулированное обсуждение импликативного порядка, чем это возможно только в терминах общего языка.
Конечно, алгебра сама по себе является ограниченной формой математизации. В принципе, нет причин, по которым мы не могли бы в конечном итоге перейти к другим видам математизации (включая, например, кольца и решетки или еще более общие структуры, которые еще предстоит создать). Однако в этом приложении будет показано, что даже в рамках алгебраической структуры можно усвоить очень широкий спектр аспектов современной физики, и
можно открыть множество новых интересных направлений для исследований. Поэтому полезно более подробно рассмотреть алгебраическую математизацию общего языка, прежде чем переходить к более общим видам математизации.
A.5 Алгебра и холодвижение
Мы начинаем наше исследование алгебраической математизации
общего языка с привлечения внимания к тому факту, что
основное значение алгебраического символа заключается в том, что он описывает определенный вид движения.
Таким образом, рассмотрим множество неопределимых алгебраических терминов, обозначаемых A. Для алгебры характерно, что эти термины имеют
отношение, заданное формулой
где λ^K_lj - набор числовых констант. Это соотношение означает
, что когда данный член A_i предшествует другому члену A_j, результат
эквивалентен "взвешенной сумме" или суперпозиции членов
(так что алгебра содержит своего рода "принцип суперпозиции", аналогичный в ключевых аспектах тому, который имеет место в квантовой теории).
По сути, можно сказать, что, хотя термин A_i "сам по себе" не поддается определению, он, тем не менее, обозначает определенного рода "перемещение" всего набора терминов, в котором каждый символ A_j
заменяется (или превращается в) суперпозицию символов Σλ^K_ijА_к.
Однако, как указывалось ранее, на общем языке
описания имплицитного порядка неопределимое и
неизмеримое холодвижение рассматривается как совокупность, в
которой в конечном счете должно быть уместно все, что подлежит обсуждению.
Аналогично, при алгебраической математизации этого общего языка мы рассматриваем как совокупность неопределимую алгебру, в которой
основное значение каждого термина заключается в том, что он обозначает "целое". движение" во всех терминах алгебры. Благодаря этому ключевому сходству возникает возможность последовательной математизации такого рода общего описания, при котором совокупность рассматривается
как неопределимое и неизмеримое холодвижение.
Теперь мы можем пойти дальше в этом направлении. Таким образом, точно так же, как на общем языке мы можем рассматривать относительно автономные аспекты холодвижения, так и при его математизации мы можем рассматривать относительно автономные подалгебры, которые являются аспектами
неопределимой ‘целой алгебры’. Поскольку каждый аспект холодвижения в конечном счете ограничен в своей автономии законом
целого (т.е. голономией), каждая подалгебра в конечном
счете ограничена тем фактом, что соответствующий закон предполагает движения, выходящие за рамки тех, которые могут быть описаны в терминах рассматриваемой подалгебры.
Тогда данный физический контекст будет поддаваться описанию в терминах
соответствующей подалгебры. Когда мы приблизимся к границам этого
контекста, мы обнаружим, что такое описание неадекватно, и будем рассматривать более широкие алгебры, пока не найдем описание, адекватное новому контексту, к которому мы таким образом пришли.
Например, в контексте классической физики можно
абстрагировать подалгебру, соответствующую набору евклидовых операций E. Однако в "квантовом" контексте "закон целого" включает в себя метаморфозы M, которые ведут из этой подалгебры в различные (но похожие) подалгебры, заданные
Как уже отмечалось, в настоящее время имеются признаки того, что даже "квантовая" алгебра неадекватна в еще более широких контекстах. Поэтому естественно перейти к рассмотрению еще более широких алгебр (и, в конечном счете, конечно, к еще более общим видам математизации, которые могут
оказаться актуальными).
A.6 Распространение принципа относительности на имплицитные порядки
В качестве шага к исследованию более всеобъемлющих форм
математизации мы укажем на возможность некоторого
расширения принципа относительности для включения порядков, что
предлагается при рассмотрении того, как квантовая алгебра ограничивает
автономию классической алгебры описанным выше способом.
Теперь, в классическом контексте, любая структура может быть задана в
терминах набора операций E1, E2, E3, ... (которые описывают
длины, углы, соответствие, подобия и т.д.). Когда мы переходим к более
широкому, "квантовому" содержанию, мы можем прийти к аналогичным результатам. операции, E' = MEM^{−1}. Это сходство означает, что если любые два элемента, скажем, E1 и E2, связаны определенным образом в описании
указанной структуры, то существует набор элементов E1' и E2'
, описывающих нелокальные "свернутые" преобразования, которые связаны
аналогичным образом. Или, выражаясь более кратко,
Из этого следует, что если нам дана евклидова система
порядка и меры с определенными структурами, построенными на ее основе, мы
всегда можем получить другую систему E', свернутую относительно E,
но способную иметь аналогичные структуры, построенные на ней.
До сих пор принцип относительности имел форму, которую можно сформулировать следующим образом: "При наличии любого структурного соотношения, описанного в системе координат, соответствующей определенной
скорости, всегда возможно иметь аналогичное структурное соотношение, описанное в системе координат, соответствующей любой
другой скорости’. Однако из приведенного выше обсуждения следует,
что математизация общего языка в терминах
"квантовой" алгебры открывает возможность расширения
принципа относительности. Очевидно, что такое расширение аналогично
к принципу дополнительности, заключающемуся в том, что когда условия
таковы, что заданный порядок, соответствующий набору операций
E, является очевидным, тогда другой порядок, соответствующий аналогичным
операциям E' = MEM−1 является косвенным (так что в определенном смысле
оба порядка не могут быть определены вместе). Однако это отличается от принципа дополнительности тем, что теперь основной упор делается на порядки и меры, которые имеют отношение к геометрии, а не на взаимно несовместимые экспериментальные схемы.
Из этого расширения принципа относительности следует, что
представление о пространстве как о наборе уникальных и четко определенных точек, связанных топологически набором окрестностей
и метрически определением расстояния, больше не является адекватным.
Действительно, каждый набор евклидовых операций E' определяет такой набор
точек, окрестностей, мер и т.д., которые являются имплицитными
по отношению к тем, которые определены другим набором E'. Таким образом, понятие пространства как набора точек с топологией и метрикой является лишь
аспектом более широкой совокупности.
Здесь будет полезно ввести еще одно новое использование
языка. В топологии пространство можно описать как покрытое
комплексом, состоящим из элементарных фигур (например, треугольников или других базовых многоугольных ячеек), каждая из которых называется симплексом. Слово "plex" является формой латинского "plicare", что, как мы
уже видели, означает "складывать’. Итак, "симплекс" означает "односторонний", а "сложный" - "сложенный вместе", но в смысле множества отдельных объектов, соединенных друг с другом.
Чтобы описать вложение неограниченного множества евклидовых
систем порядков и мер друг в друга, мы можем
ввести слово мультиплекс (которое является новым в данном контексте). Это
означает "множество комплексов, сложенных вместе’. Буквально это также
означает "многообразие". Однако, по сложившейся традиции, это последнее слово стало означать "континуум’. Таким образом, мы вынуждены использовать слово "мультиплекс", чтобы привлечь внимание к первостепенной важности импликативного порядка и неадекватности описания в терминах
континуума.
До сих пор пространство, как правило, рассматривалось как континуум
, который может быть покрыт комплексом (что, очевидно, является формой
явного упорядочения пространства). Такой комплекс можно рассматривать в терминах систем координат. Таким образом, каждый симплекс может
быть описан с помощью локальной евклидовой структуры, и
затем все пространство может быть обработано с помощью очень большого
количества перекрывающихся координатных "пятен’. Или, в качестве альтернативы, можно найти единый набор криволинейных координат, применимый ко всему пространству. Тогда принцип относительности гласит
что все такие системы координат предоставляют эквивалентные рамки
описания (т.е. эквивалентны для выражения отношения, или причины,
или закона).
Теперь мы можем перейти к рассмотрению аналогичных наборов операций E и
E', которые имплицируются относительно друг друга. Как указывалось
выше, мы расширяем принцип относительности, предполагая
, что порядки, определенные с помощью любых двух операций E и E'
, эквивалентны в том смысле, что "закон целого" таков, что
для каждого порядка могут быть построены аналогичные структуры. Чтобы было понятнее, что здесь имеется в виду, отметим, что порядок движения,
непосредственно воспринимаемый органами чувств, обычно рассматривается как эксплицируются, в то время как другие порядки (такие, например, как те, которые соответствуют описанию "электрона" в квантовом
контексте) считаются имплицитными. Однако, согласно
расширенному принципу относительности, можно с равным успехом считать
"электронный" порядок явным, а наш чувственный порядок - подразумеваемым. Это значит поставить себя (метафорически) в положение
"электрона", а затем понять последний, уподобив себя ему, а его - себе.
Это, очевидно, означает абсолютную целостность нашего
мышления. Или, как было сказано ранее, "Все подразумевает все", вплоть до того, что "мы сами" связаны со "всем, что мы видим
и о чем думаем’. Таким образом, мы присутствуем везде и всегда,
хотя и только косвенно (то есть неявно, подразумеваемо).
То же самое относится к любому "объекту". Только в определенных специальных
порядках описания такие объекты предстают как эксплицитные.
Общий закон, то есть голономия, должен быть выражен во всех порядках, в
которых все объекты и все времена ‘сложены воедино’.
A.7 Некоторые предварительные предложения, касающиеся закона в мультиплексе
Теперь мы дадим несколько предварительных предложений относительно направлений исследования общего закона, сформулированных в терминах мультиплекса, а не континуума.
Начнем с того, что напомним, что классические описания уместны
только в том контексте, в котором выражение закона ограничено
конкретной подалгеброй, соответствующей данной евклидовой системе порядка и меры. Если распространить эту систему не только на пространство, но и на время, то такой закон может быть совместим со специальной
теорией относительности.
Существенной особенностью специальной теории относительности является то, что скорость света является неизменным пределом распространения сигналов (и причинных воздействий). В этой связи мы отмечаем, что сигнал
всегда будет состоять из определенного явного порядка событий, и
что в контексте, в котором этот явный порядок перестает быть актуальным, понятие сигнала также перестает быть актуальным (например, если
порядок "распределен" по всему пространству и времени, оно не может
быть последовательно рассмотрено как составляющее сигнал, который мог бы
передавать информацию из одного места в другое в течение определенного периода времени). Это означает, что там, где задействован имплицитный порядок, описательный язык специальной теории относительности, в общем, больше не будет применим.
Общая теория относительности похожа на специальную теорию
в том смысле, что в каждой области пространства–времени существует световой конус, который определяет предельную скорость распространения сигнала. Однако он отличается тем, что каждый регион имеет свою собственную локальную систему координат (обозначаемую m), связанную с системами координат его соседей (обозначаемыми n) посредством определенных
общих линейных преобразований T_mn. Но локальная система координат
, с нашей точки зрения, должна рассматриваться как выражение
соответствующей евклидовой системы порядка и меры (которая
, например, генерировала бы линии рассматриваемой системы координат
как инвариантные подпространства операций E). Поэтому мы рассмотрим евклидовы системы операций E_m и E_n и связанные с ними преобразования:
Когда мы рассматриваем серию преобразований этих систем вокруг замкнутого контура участков, мы приходим к тому, что в
математических терминах называется "группой голономии". В некотором смысле это название уместно, поскольку эта группа действительно определяет характер ‘всего пространства’. Таким образом, в общей теории относительности эта группа эквивалентна группе Лоренца, которая совместима с
требованием инвариантного "локального светового конуса". Использование другой группы здесь, конечно, подразумевало бы, соответственно, другой характер ‘всего пространства’.
Однако в другом смысле было бы лучше рассматривать рассматриваемую группу как "автономную группу", а не как "голономную группу", поскольку в общей теории относительности (а также в широком
классе современных теорий поля) общий закон инвариантен к
произвольным "калибровочным преобразованиям".' количество кадров в каждой области, E_m' = R_mE_mR^{−1}_m. Значение этих преобразований можно увидеть , рассмотрев несколько соседних областей, каждая из которых содержит локализованную структуру, т.е. такую, которая имеет незначительную связь с соседними структурами (так что можно соответствующим образом
рассматривайте пространство между ними как пустое (или приблизительно так).
Таким образом, значение калибровочной инвариантности заключается в том, что законы таковы, что любые две структуры могут быть преобразованы независимо друг от друга, по крайней мере, в определенных пределах (например, при наличии достаточного "пустого пространства" между ними). Примером такой относительной автономии структур является то, что объекты, расположенные не слишком близко, можно поворачивать и перемещать относительно друг друга. Очевидно, это особенность ‘закона целого’ (т.е.,
калибровочная инвариантность), которая обеспечивает относительную автономию, подобную описанной выше.
Когда мы перейдем к квантовому контексту, "закон целого"
(то есть обобщение того, что подразумевается под "группой голономии"
в геометрии Римана) будет включать в себя метаморфозы M, а также
преобразования T. Это приведет нас к мультиплексу, в котором появятся новые виды порядка и меры.
Однако важно подчеркнуть, что ‘закон
целого’ не будет просто переводом современной квантовой
теории на новый язык. Скорее всего, весь контекст физики
(классической и квантовой) должен быть представлен в другой
структуре, в которой пространство, время, материя и движение
описываются по-новому. Такая ассимиляция затем приведет к
новым возможностям для изучения, о которых невозможно даже помыслить
с точки зрения современных теорий.
Здесь мы укажем лишь на некоторые из многих возможностей такого рода.
Во-первых, напомним, что мы начинаем с неопределимой общей алгебры
и выбираем подалгебры, которые подходят для описания
определенных контекстов физических исследований. Итак, математики
уже разработали некоторые интересные и потенциально значимые
особенности таких подалгебр.
Итак, рассмотрим данную подалгебру A. Среди ее членов A_i могут быть некоторые A_N , которые являются нильпотентными, т.е. которые обладают свойством, заключающимся в том, что некоторые степени A_N (скажем, (A_N)^s
) равны нулю. Среди них есть подмножество членов A_p, которые являются собственно нильпотентными, т.е. которые остаются нильпотентными при умножении на любой член алгебры A_i (так что (A_iA_p)^s = 0).
В качестве примера рассмотрим сначала алгебру Клиффорда, в которой каждый
член является собственно нильпотентным. Однако в фермионной алгебре
с членами C_i и C_j^* каждый C_i и C_j^* является нильпотентным (т.е. (C_i)^2 =
С_j^*) 2 = 0), но не является должным образом нильпотентным (т.е. (C_i^* C_j)^2 ≠ 0).
Можно сказать, что надлежащим образом нильпотентные члены описывают движения, которые в конечном итоге приводят к исчезновению признаков. Таким образом, если мы стремимся описать инвариантные и относительно постоянные признаки движения, у нас должна быть алгебра, в которой нет надлежащим образом нильпотентных членов. Такая алгебра всегда может быть получена из любой алгебры A путем вычитания надлежащим образом нильпотентных членов, чтобы получить то, что называется разностной алгеброй.
Теперь мы рассмотрим следующую теорему.
Каждая отдельная алгебра может быть выражена в терминах произведений матричной алгебры (т.е. алгебры, правила умножения которой
аналогичны правилам умножения матриц) и алгебры с делением (т.е. алгебры, в
которой произведение двух ненулевых членов никогда не равно нулю).
Что касается алгебры с делением, то возможные ее типы
зависят от полей, для которых берутся числовые коэффициенты. Если это поле относится к действительным числам, то существует
ровно три алгебры с делением, сами действительные числа,
алгебра второго порядка, которая эквивалентна комплексным числам,
и действительные кватернионы. С другой стороны, в поле
комплексных чисел единственной алгеброй с делением являются сами комплексные числа (это объясняет, почему кватернионы,
расширенные до комплексных коэффициентов, становятся двухрядной
матричной алгеброй).
Важно отметить, что, математизируя общий язык в
терминах изначально неопределенной и неуказанной алгебры, мы
естественным образом приходим к алгебрам, используемым в современной квантовой теории для "частиц со спином", то есть к произведениям матриц и кватернионов. Однако, кроме того, эти алгебры имеют значение, выходящее за рамки технических вычислений, выполняемых в
квантовой теории. Например, кватернионы подразумевают инвариантность относительно группы преобразований, аналогичных вращениям в
трехмерное пространство (которое может быть простым образом расширено до групп, подобных группе Лоренца). Это указывает на то,
что в некотором смысле ключевые преобразования, определяющие (3 + 1)-
мерный порядок "релятивистского пространства–времени", уже содержатся в холодвижении, описываются через имплицитный порядок,
математизируются в терминах алгебры.
Точнее, можно сказать, что, отталкиваясь от общей
алгебраической математизации языка и запрашивая те
признаки, которые являются относительно постоянными или инвариантными (описываются алгебрами без надлежащим образом нильпотентных членов), и те признаки, которые не ограничены определенным масштабом (описываются
алгебрами, члены которых могут быть умножены на произвольное действительное число), мы пришли к преобразованиям, определяющим
порядок, эквивалентный порядку релятивистского пространства–времени. Это означает, однако, что если бы мы рассматривали непостоянные и неинвариантные признаки (подразумевающие алгебры с должным образом нильпотентными членами) и признаки, которые ограничены определенными масштабами (подразумевающие алгебры над рациональными числами или над полями конечных чисел), тогда могут стать актуальными совершенно новые порядки (вообще не сводимые к (3 + 1)-мерному порядку)
. Таким образом, становится ясно, что здесь существует обширная
область для возможных исследований.
Еще одной областью для исследований могла бы стать разработка
нового описания, сочетающего классические и квантовые аспекты в
единой или более всеобъемлющей структуре языка. Вместо
того чтобы рассматривать классический и квантовый языки как отдельные, но
связанные каким-то соответствием (как это обычно делается в
современных теориях), можно, следуя указаниям, приведенным в
этом приложении, исследовать возможность абстрагирования их как
ограничивающие случаи языков, математизируемых в терминах более широких алгебр. Очевидно, что это могло бы привести к появлению различных теорий, имеющих новое содержание, выходящее за рамки как классических, так и
квантовых теорий. В этой связи было бы особенно интересно посмотреть, будут ли обнаружены алгебраические структуры, которые
также приводят к релятивистским представлениям как к предельным случаям (например, в терминах алгебр над полями конечных чисел, а не над реальными числами). Можно было бы ожидать, что такие теории будут свободны от бесконечности современные теории и привести к в целом согласованному подходу к проблемам, которые современные теории не могут решить.